Die komplexe projektive Gerade P₁C

Ausgangspunkt: die reelle (affine) Gerade R. Zwei Erweiterungen:

• eine geometrische - der Übergang zu projektiven Koordinaten.
  In der affinen Geometrie gilt: je zwei Geraden in der Ebene schneiden sich üblicherweise in einem Punkt, dagegen schneiden sich parallele Geraden nicht.
  Die projektive Geometrie verwendet nun zusätzliche ("uneigentliche") Punkte als Schnittpunkte paralleler Geraden.
  Projektiv gilt also: Je zwei Geraden schneiden sich in einem Punkt.
  Die projektiven Gerade P₁R entsteht aus der affinen Geraden R durch Hinzufügung eines einzelnen Punkts, der mit ∞ bezeichnet wird.
• eine algebraische - das Arbeiten mit komplexen Zahlen.
  Ausgangspunkt ist die Tatsache, dass zum Beispiel das Polynome X² + 1 keine (reelle) Nullstelle hat. Beim Arbeiten mit komplexen Koordinaten werden derartige Nullstellen zu R hinzugefügt.

Geometrische Veranschaulichung von P1C als 2-Sphäre ("Riemannsche Zahlenkugel")

Bernhard Riemann 1826-1866