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   <META NAME="Author" CONTENT="Claus Michael Ringel">
   <META NAME="Keywords" CONTENT="">
<TITLE>Permutationen: Gruppe</TITLE>
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<p>
<h1>Einordnung</h1>

<p>
Die <b>Menge aller Permutationen</b> einer n-elementigen Menge wird mit S<sub>n</sub>
bezeichnet.
<br>Dies ist eine "Gruppe" 
<br>&nbsp; &nbsp; (und zwar bzgl. der Komposition von Abbildungen).
<br>F&uuml;r n > 2 sind die Gruppen S<sub>n</sub> nicht-kommutativ (also ungewohnt kompliziert).
<br>Wichtig: Jede endliche Gruppe ist Untergruppe einer S<sub>n</sub>, also sind
<br>&nbsp; &nbsp; die Gruppen S<sub>n</sub> in vielerlei Hinsicht die kompliziertesten Gruppen.
<br><br>
Wir haben nur <b>einzelne Permutationen</b> (und ihre Potenzen) betrachtet.
<br>Diese Potenzen  bilden eine kommutative Untergruppe der S<sub>n</sub>.
<br>&nbsp; &nbsp; (Die Nicht-Kommutativit&auml;t hat also 
 <b>keine</b> Rolle gespielt.)


<br>
<br>
Was hat eine Rolle gespielt? Die m&ouml;glichen Zykell&auml;ngen!
<table>
<tr><td><p>-&nbsp; <td><p>Die Ordnung 8 der Verdoppelungsabbildung d<sub>8</sub> (Fotoautomat).
<tr><td><p>-&nbsp; <td><p>Fixpunkte (also Zykeln der L&auml;nge 1) (beim Wichteln und bei Treize).
<tr><td><p>-&nbsp; <td><p>Zykel gro&szlig;er L&auml;nge (bei den 100 Gefangenen).
</table>
<br>
<p>Das Arbeiten mit Permutationen liefert viele weitere &Uuml;berraschungen!
<br>(Zum Beispiel die der Catalan-Kombinatorik.)
</body>
</html>