Panorama-Fotografie und mehr …
Sinuskurven überall

In der letzten Zeit werden in Zeitungen und im Internet immer häufiger Panorama-Fotografien veröffentlicht. Solche Bilder entstehen, indem die Kamera einen vollen Schwenk um 360° durchführt. Genau genommen werden dabei viele kleine senkrechte Streifen aneinander gesetzt, bis der Kreis geschlossen ist. Das Gesamtbild kann man sich als einen abgerollten Zylinder vorstellen. In der Süddeutschen Zeitung fand sich das folgende Panorama-Bild (Abb. 1) vom Landschaftspark Riem in München. Es schreit geradezu danach, die hier sichtbaren Kurven zu untersuchen. Sie erinnern an Parabeln, oder sind es doch eher Teile von Hyperbeln, oder …? Will man dies untersuchen und die zugehörigen Funktionsterme entwickeln, muss man sich zunächst Gedanken machen über die Projektionen, die hier eine Rolle spielen.

Abbildung 1

1.1. Zentralprojektion auf einen Zylinder.

Abbildung 2

Wir verwenden hier für den R³ ein uvw-Koordinatensystem, um im Panorama-Bild mit einem xy-Koordinatensystem arbeiten zu können. Projektionszentrum ist der Ursprung, den wir mit Z bezeichnen werden, projiziert wird auf den Zylinder über dem Einheitskreis. Die uv-Ebene ist also die (waagrechte) Ebene in Augenhöhe, sie entspricht auf dem projizierten Bild der Horizontlinie.

Unser Punkt P (der Vogel) liefert als Bildpunkt den Punkt P' auf dem Zylinder. Als erstes wollen wir die Höhe y von P' über der uv-Ebene bestimmen. Bezeichnen wir mit Q den Fußpunkt der Projektion von P auf die uv-Ebene, so erhalten wir links die Strahlensatzfigur QZP

Abbildung 3

Die Länge einer Strecke AB wird im Folgenden mit |AB| bezeichnet; entsprechend ist |ZQ'| = 1. Wir setzen |P'Q'| = y und |PQ| = h. Der zweite Strahlensatz liefert |P'Q'| : |PQ| = |ZQ'| : |ZQ|, also y : h = 1 : |ZQ|, und demnach y = h/|ZQ|.

Wir zeichnen die Parallele s zur u-Achse durch den Punkt Q. Sei a der Abstand der Gerade s vom Ursprung Z (in der Zeichnung ist dies gerade die Länge der Strecke ZA). Wir betrachten nun das Dreieck ZQA. Den Winkel zwischen der x-Achse und der Strecke ZQ haben wir mit φ bezeichnet. Das Dreieck ZQA zeigt, dass |ZQ| = a/sin(φ) gilt. Daher ist

Das gesuchte Panorama-Bild entsteht, wenn man den Zylinder abrollt: Abgerollt erhält man als xy-Koordinaten des Punkts P' die folgenden beiden Werte: x = -φ (das Minus-Zeichen erhalten wir, da der Drehwinkel φ zwischen der u-Achse und der Strecke ZQ' entgegengesetzt zum Uhrzeigersinn angesetzt wird, im xy-Koordinatensystem des abgerollten Zylinders aber rechtsorientiert gelesen wird), und y ist wie bisher der Abstand von P' von der uv-Ebene, da wir die Horizontlinie auf die x-Achse legen.

Nehmen wir nun zusätzlich an, dass P auf einer Geraden g liegt, die parallel zur u-Achse verläuft (dann ist s die Vertikalprojektion der Geraden g in die uv-Ebene), so ist klar, dass der Quotient konstant ist: Das Bild der Geraden g auf dem abgerollten Zylinder ist also eine Sinus-Kurve. Wirklich? Nein, wir erhalten nur die Hälfte einer Sinuskurve, nämlich den Bogen mit 0 < φ < π.

Unabhängig von diesen Überlegungen sieht man: Je weiter der Punkt P auf der Geraden g nach außen wandert, umso geringer ist die Höhe y, der Punkt P' liegt dann fast auf dem Einheitskreis. Das entspricht der Erfahrung, dass weit entfernte Objekte (fast) auf der Horizontlinie liegen. Wir haben hier vorausgesetzt, dass die Gerade g zur u-Achse parallel ist. Im Allgemeinen werden wir für eine beliebige horizontale Gerade einen entsprechenden Bogen erhalten, der allerdings entlang der x-Achse verschoben ist.

1.2. Die Sinus-Bögen im Panoramabild des Landschaftsparks Riem.

Wir beginnen nun umgekehrt mit dem Panorama-Bild und stellen uns die Aufgabe, einen derartigen Sinus-Bogen effektiv zu beschreiben. Es bietet sich hier an, einen der beiden Fluchtpunkte F₁ (an dem die Straße in der Horizontlinie endet) als Ursprung zu wählen, und dann den 2. Fluchtpunkt (die 2. Nullstelle) F₂ durch Ablesen anzupeilen, und damit haben wir die Periodenlänge. Neben der Periodenlänge haben wir als zweiten Parameter die Amplitude, also den Quotienten h/a zu bestimmen: auch hier ist man auf Augenmaß und Probieren angewiesen (manchmal werden die Maße von a und h aber auch bekannt sein).

Zusätzlich halten wir Folgendes fest: Alle Parallelen zu unserer Straßenkante erreichen die Horizontlinie in denselben beiden Punkten. Wir erhalten also eine ganze Schar von Sinus-Bögen durch unsere Fluchtpunkte, die parallele Geraden der Realität (Straßenränder, Baumreihen, Schattenränder der Bäume, Baumwipfel) auf dem Foto wiedergeben.

Abbildung 4a

Abbildung 4b

Wir haben oben notiert, dass die x-Achse des Panorama-Bilds den Rechtsschwenk der Kamera beschreibt, im Gegensatz zur üblichen Konvention eines Drehwinkels, der einem Linksschwenk entsprechen würde, dass also x = -φ gesetzt wird. Die Funktionsgleichungen, die sich hier beim Experimentieren ergaben, sind:

Ganz allgemein gilt: Gerade Linien unterhalb der Augenhöhe ergeben einen unteren (also konkaven) Sinus-Bogen, Linien oberhalb entsprechend einen oberen (also konvexen) Sinusbogen.

Noch einige Hinweise zum Panorama-Bild von Riem:

1. Die Seilbahn, die am rechten Bildrand recht deutlich zu erkennen ist, verläuft offensichtlich nicht parallel zur Straße, der Fluchtpunkt ist hier ein anderer. Eine Sinuskurve, die ihren Verlauf nachzeichnen würde, gehört deshalb nicht zur betrachteten Schar. (Außerdem ist bei der Seilbahn zu berücksichtigen, dass die Seile sicher keine Gerade bilden, sondern durchhängen.)
2. Das Bild musste für die Kurvenanpassung leicht gedreht werden, da offensichtlich die Drehachse der Kamera bei der Aufnahme nicht absolut vertikal ausgerichtet war.
3. Das Bild zeigt kein vollständiges Panorama von 360^o, wie man an den beiden Fluchtpunkten, die außerhalb des Bildes liegen, erkennen kann. Es fehlen etwa 12^o (man beachte, dass das Hintergrundbild in Abbildung 4 b bei den Kurvenanpassungen mit GeoGebra links noch weiter beschnitten wurde).

1.3. Ebene Schnitte eines Zylinders.

Abbildung 5

Man kann sich die entstehenden Sinuskurven leicht ansehen, wenn man den Pappkern einer Toilettenpapier-Rolle schräg zersägt, den Mantel aufschneidet und die Säge-Kante betrachtet. Eine Wurstpelle, gekonnt abgezogen, tut’s auch.

Abbildung 6

Betont werden sollte, dass die so entstandenen Ellipsen den uv-Einheitskreis in diametral gegenüberliegenden Punkten schneiden, dass wir also im Panorama-Bild immer Sinus-Funktionen erhalten, deren Wendepunkte im Abstand π auf der x-Achse liegen (falls wir mit einem Zylinder mit Radius 1 arbeiten): Da die Ebene E durch den Ursprung geht, schneidet sie die uv-Ebene in einer Ursprungsgeraden, eine Ursprungsgerade schneidet aber den Einheitskreis in diametral entgegengesetzten Punkten. Es gibt einen Ausnahme-Fall: steht die Ebene senkrecht auf der uv-Ebene, so erhält man als Schnitt mit dem Zylinder zwei gegenüberliegende Mantellinien.

1.4. Zusammenfassung: Die Sinusbögen der Panoramabilder.

2. Geraden im Raum: eine Systematisierung der Möglichkeiten.

2.1. Zentralprojektion von Geraden auf den Zylinder.

Zuerst notieren wir, was passiert, wenn g eine Ursprungsgerade ist:

1	Ist g die w-Achse, so erhält man keinen einzigen Projektionspunkt.
2	Ist g eine Ursprungsgerade, aber nicht die w-Achse, so erhält man zwei Punkte.

Es sei betont, dass sich die x-Koordinaten der beiden Punkte um π unterschieden, und dass die y-Koordinate des einen Punkts das Negative der y-Koordinate des anderen Punkts ist. Derartige Punktepaare spielen eine wichtige Rolle, wir nennen solche Punkte ein entgegengesetztes Punktepaar.

Nun wenden wir uns den Geraden zu, die nicht durch den Ursprung gehen: Von besonderem Interesse sind für uns horizontale und vertikale Geraden, also Geraden, die parallel zur w-Achse, oder parallel zur uv-Ebene sind. Wir bezeichnen mit E die (eindeutig bestimmte) Ursprungsebene, die g enthält. Dabei skizzieren wir jeweils rechts im Panorama-Bild das Bild einer typischen derartigen Geraden g unter der Zentralprojektion (gestrichelt ist die x-Achse eingezeichnet, dies ist gerade die Horizontlinie).

3	Ist g parallel zur w-Achse, aber verschieden von ihr, so erhält man eine Mantellinie des Zylinders, also eine senkrechte Gerade im Panorama-Bild.
4	Schneidet g die w-Achse in einem Punkt, aber nicht im Ursprung, und ist sie parallel zur uv-Ebene, so erhält man zwei gegenüberliegende halbe Mantellinien (dabei ist zu unterscheiden, ob g oberhalb oder unterhalb der uv-Ebene liegt).

5	Ist g eine Gerade in der uv-Ebene, die nicht durch den Ursprung geht, so ist der Schnitt von E mit dem Zylinder ein Kreis, im Panorama-Bild ist dieser Schnitt die Horizontlinie. Als Projektionspunkte der Geraden g erhält man auf dem Zylinder einen Halbkreis, also im Panorama-Bild einen Abschnitt der x-Achse der Länge π.
6	Ist die Gerade g parallel zur uv-Ebene und schneidet sie nicht die w-Achse, so schneidet E den Zylinder in einer echten Ellipse, im Panorama-Bild ist dieser Schnitt eine Sinuskurve. Als Projektionspunkte der Geraden g erhält man auf dem Zylinder eine halbe Ellipse, mit Randpunkten auf dem Einheitskreis. Im Panorama-Bild liefert g einen Sinus-Bogen. (Auch hier gibt es wieder zwei verschiedene Möglichkeiten, je nach dem, ob g oberhalb oder unterhalb der uv-Ebene liegt).

Schließlich notieren wir, was mit einer Geraden g passiert, die weder parallel zur w-Achse, noch parallel zur uv-Ebene ist:

7	Schneidet g die w-Achse in einem Punkt, aber nicht im Ursprung, und ist sie nicht parallel zur uv-Ebene, so erhält man zwei gegenüberliegende partielle Mantellinien, die sich von oben oder unten einem entgegengesetzten Punktepaar nähern (dabei ist zu unterscheiden, ob der Schnittpunkt von g mit der w-Achse oberhalb oder unterhalb der uv-Ebene liegt).
8	Ist die Gerade g nicht parallel zur uv-Ebene und schneidet sie nicht die w-Achse, so schneidet E den Zylinder ebenfalls in einer echten Ellipse, im Panorama-Bild ist dieser Schnitt eine Sinuskurve. Als Projektionspunkte der Geraden g erhält man auf dem Zylinder eine halbe Ellipse. Die Randpunkte liegen nicht mehr auf dem Einheitskreis. Im Panorama-Bild liefert g einen Ausschnitt der Sinus-Kurve über einem Intervall der Länge π. Die Randpunkte sind ein entgegengesetztes Punktepaar.

2.2. Die Geraden und ihre Fluchtpunkte.

3. Konstruktiver Zugang und Anwendungen.

3.1. Rechtecksmuster in der uv-Ebene.

Abbildung 9 a

Und wieder zur Verdeutlichung einige hervorgehobene Sinus-Kurven:

Abbildung 9 b

3.2. Ein Zimmer – konstruiert.

Abbildung 10a

Dabei bezeichnet K die Stelle, über der die Kamera stehen soll. Wir erhalten als Bild der Fußbodenkanten vier Ausschnitte aus Sinus-Bögen

Abbildung 10b

Wir haben in der Grundriss-Zeichnung die Richtungen eingetragen, in denen die Fluchtpunkte F₁ … F₄ liegen. Auf unserem Panorama-Foto sind die entsprechenden Fluchtpunkte markiert (es sind Punkte im Abstand π/2). Sobald die Lage dieser Fluchtpunkte fixiert ist, kennen wir die Lage der Sinus-Bögen, nicht aber die jeweiligen Amplituden: sie sind abhängig vom Abstand der Wände von der Kamera (und grundsätzlich beliebig!). In unserem Beispiel gehen wir davon aus, dass die Kamera den gleichen Abstand von den Wänden BC und DA hat, also sind die entsprechenden Amplituden gleich – dagegen ist die Kamera sehr nah an der Wand CD, die entsprechende Amplitude ist daher viel größer.

Nun geben wir noch die Höhe vor, zum Beispiel also das Bild A' der Zimmer-Ecke über dem Punkt A.

Abbildung 10c

Wir haben schon eingezeichnet, auf welchen Sinus-Bögen die zugehörigen Decken-Kanten liegen müssen. Dies liefert uns die Punkte B' und D' (als Schnittpunkte der Sinus-Bögen mit den vertikalen Geraden durch B bzw. D). Entsprechend erhalten wir nun die Sinus-Bögen für die beiden restlichen Decken-Kanten und diese schneiden sich in einem Punkt C', der vertikal über C liegt.

Abbildung 10d

Natürlich ist dieses konstruierte „Foto“

Abbildung 10e

nicht sehr realistisch, hat unser Raum doch nicht einmal eine Tür oder ein Fenster, durch die wir ihn hätten betreten können! Hier also eine kleine Vervollständigung (alle Hilfslinien bis auf die Horizontlinie sind gelöscht), und zum Vergleich auch eine Außenansicht in Parallelprojektion.

Abbildung 10f

3.3. Arc de Triomphe.

Abbildung 11a

Zur Verdeutlichung zeigen wir zwei Ausschnitte, die sich leicht überlappen:

Abbildung 11b

4. Rundblicke in der Geschichte.

4.1. Zylinder-Projektionen.

Abbildung 13

Die Idee geht auf Johann Adam Breysig und Robert Barker zurück. Barker ließ 1787 seine Erfindung patentieren. Zwei derartige Rundbauten sind z.B. das alte Gebäude des Salzburg-Panoramas und ein Neubau in Bad Frankenhausen:

Abbildungen 14 und 15

Die meisten dieser Gebäude wurden Anfang des 20.Jahrhunderts abgerissen, aber es entstanden auch neue, wie das in Bad Frankenhausen mit dem berühmten Bauernkriegs-Panorama des Malers Werner Tübke.

Gut erhalten ist das Salzburg-Panorama von Johann Michael Sattler, das in den Jahren 1825 - 1829 entstanden ist. Es wurde zuerst in Salzburg selbst, danach in vielen europäischen Städten gezeigt. In den Jahren 1875 - 1937 war es wieder in Salzburg zu besichtigen, in einem eigenen Pavillon, dann verschwand für eine Weile das Interesse. Erst 1977 wurde das Panorama wieder gezeigt, 2005 wurde es vollständig renoviert. Es handelt sich um einen Rundblick von der Festung Hohensalzburg aus (die zur Entstehungszeit militärisch genutzt wurde, und damit auch den Salzburgern selbst nicht zugänglich war).

Abbildung 16

Erhaltene Entwürfe von Sattler zeigen, dass er mit einem Gitterraster gearbeitet hat:

Abbildung 17

Sucht man nach den charakteristischen Sinus-Bögen, so wird man enttäuscht: zum Beispiel verlaufen die einzigen Landstraßen, die dafür in frage kämen, ziemlich in Augenhöhe. Nun gibt es aber eine Reihe von Gebäuden, bei denen Sinus-Bögen zu sehen sein müssten - aber Sattler hat offensichtlich jedes einzelne Gebäude zentralperspektivisch gezeichnet. Dies führt dazu, dass im Panorama-Museum bei einigen der dargestellten Gebäude geradlinige Dachkanten und Friese leicht gebogen erscheinen: der Effekt ist um so stärker, je tiefer die Gebäude unter der Horizont-Linie erscheinen. Hier ein Foto, das im Panorama-Museum aufgenommen wurde (der untere Bogen ist die Unterkante des Zylinder-Bildes):

Abbildung 18

Wir betrachten das helle Gebäude näher (es ist übrigens dasjenige, das heute das Panorama-Museum beherbergt): links ein Ausschnitt aus dem (planen) Panorama-Bild, das Photos rechts gibt noch einmal den Blick im Panorama-Museum wieder, diesmal mit eingezeichneten Hilfslinien, die zeigen, wie extrem die Abweichungen sind:

Abbildung 19

Abbildung 20

Dass die Dachkante wie auch die Friese an den Häusern beim Blick im Panorama-Museum konkav erscheinen, kann nicht verwundern: Dargestellt sind Geraden unterhalb der Horizont-Linie, die also eigentlich als konvexe Sinus-Bögen im Panorama-Bild zu zeichnen gewesen wären.

Zur Verdeutlichung sei hier wieder eine kleine Skizze eingefügt. Nehmen wir an, der graue Bereich links sei die Vorderfront eines Hauses, gezeichnet in Panorama-Perspektive (Ober- und Unterkante müssen, wie wir wissen, auf Sinus-Bögen mit gleichen Fluchtpunkten E und F liegen). Unser Haus liege unterhalb der Augenlinien, also sind beide Sinusbögen konkav. Für den Betrachter im Inneren des Zylinders wird auf diese Weise der Eindruck erzeugt, dass die Punkte A und B geradlinig verbunden sind!

Abbildung 21

Wird nun auf dem Panorama-Bild der Bogen zwischen A und B durch eine Strecke ersetzt, wie dies rechts geschehen ist (und wie man dies bei Sattler findet), so verläuft diese Strecke oberhalb des Sinus-Bogens und erzeugt somit für den Betrachter im Zylinder einen konvexen Bogen!

Wir haben oben schon erwähnt, dass das Gebäude auch heute noch existiert, hier zum Vergleich eine Abbildung:

Abbildung 22

Als Beispiel einer historischen Aufnahme ein (knapp) 180^o-Bild von San Francisco nach dem Erdbeben von 1906, die Sinus-Bögen sind unübersehbar:

Abbildung 23

Abbildung 25

Bekanntlich weisen die klassischen griechischen Tempel ganz charakteristische Krümmungen auf. Horizontal betrifft dies den Architrav, also das Gesims über den Säulen, manchmal aber auch schon das Fundament, den Stylobat. Diese Linien sind dann konkav gekrümmt, man spricht von Kurvatur. Vertikale Krümmungen treten bei den einzelnen Säulen auf: sie verjüngen sich nach oben hin, dies erfolgt jedoch nicht gradlinig, sondern mit einer Wölbung, sodass auf etwa einem Drittel der Höhe der größte Umfang (Entasis) erreicht wird. In der Literatur wird darauf verwiesen, dass durch derartige Krümmungen die geometrische Starrheit der Linien aufgebrochen werde und dass so der Bau harmonischer und lebendiger erscheine. Spätere Nachahmungen, bei den Römern wie auch im Klassizismus, die auf diese Krümmungen verzichteten, erscheinen dem Betrachter dagegen statisch und starr. Offensichtlich wird aber durch diese optischen Effekte auch der Eindruck der Monumentalität vergrößert. Die Ansicht entspricht derjenigen, die das wandernde Auge bei einem viel größeren Gebäude erzeugen würde. Eine mathematische Beschreibung der Krümmungen ist sicher von Interesse und wird seit langem diskutiert.

Kurvatur. Im Buch von Schneider-Höcker liest man zur Kurvatur,

Abbildung 26

die ganze Architektur sei "sphärisch gekrümmt": "Nicht auf einer ebenen Plattform erhebt sie sich, sondern gewissermaßen auf dem Ausschnitt einer riesigen Kugel", dazu werden folgende Illustrationen geboten (Links: „Stufenbau des Parthenon mit Kurvatur. Nordseite, von Osten gesehen“. Rechts: „Kurvator des Parthenon, schematisch verstärkt“.)

Abbildungen 27 und 28

Unsere Überlegungen legen dagegen nahe, dass es sich um (Ausschnitte von) Sinuskurven handelt sollte (und die Höhenlage derartiger Tempel erklärt, warum schon das Fundament konvex gekrümmt gebaut wurde). Diese Sinuskurven imitieren also diejenigen der Panorama-Fotografie, die durch die Drehung des Kopfes hervorgerufen werden.

Abbildung 29

Das folgende Diagramm zeigt die Kurvatur des Nord-Stylobats des Parthenon (mit 400-facher Maßstabs-Verzerrung);

Abbildung 30 a

5.1. Beispiele

Ellipse: 5.43x² - 0.29xy + 1y² - 106.6x - 200y = 0

Parabel: f(x) = 0.0285 x (x - 19.5)

Hyperbel: 4.86x² - 0.04xy - 6.77y² - 95.36x - 200y = 0

Abbildung 33

Die Hyperbel und die Ellipse ließen sich leicht mit GeoGebra erzeugen: Man zeichnet den zu fünf Punkten gehörenden Kegelschnitt und passt die Kurve an, indem man die Punkte möglichst genau auf die gewünschte Linie zieht; hier wurden die Fluchtpunkte mit einbezogen und dann nicht mehr verändert, nur die drei anderen Punkte wurden noch zurecht geschoben. Die Parabel dagegen ließ sich auf diese Weise nicht finden, hier war das Fingerspitzengefühl nicht an die nötige Geduld gekoppelt. Es war leichter, einen Funktionsterm anzupassen.

Die Parabel-Approximation ist zwar nicht ganz optimal, aber die Abweichungen fallen nicht wirklich auf. Betont werden sollte, dass eine derartige Parabel-Approximation sofort auch Ellipsen- und Hyperbel-Approximationen liefert - ganz kleine Störungen einer Parabel-Gleichung führen zu Ellipsen- wie auch Hyperbel-Gleichungen.

Unsere Ausgangsfrage, eine mathematische Beschreibung der charakteristischen Kurven eines Panorama-Fotos (der Bilder von Geraden) zu finden, lässt sich durch optische Modellierungsversuche nicht lösen. Nur die theoretischen Überlegungen, die wir gleich zu Beginn vorgestellt haben, liefern die eindeutige Antwort, dass es sich um Sinus-Bögen handelt.

Es gibt aber durchaus heuristische Argumente dafür, dass die Wahl von Sinus-Bögen eigentlich naheliegend ist. Erstens: wegen der zugrunde liegenden Drehung sollte man von Anfang an trigonometrische Funktionen denken! Und zweitens: Auch aus einem anderen Grund sind die Sinus-Bögen den Parabeln, den Ellipsen und den Hyperbel-Ästen überlegen: die Kurven, die wir approximieren wollen, haben endliche Länge, sie enden in den beiden Fluchtpunkten. Bei den Sinus-Bögen sind diese Endpunkte die Wendepunkte der Kurve, also wohl-bestimmte Punkte auf dem Funktionsgraphen. Weder die Parabeln, noch die Ellipsen oder die Hyperbel-Äste besitzen jedoch derartig ausgezeichnete Punkte.

5.2. Kurvenvergleich

Schlussbemerkungen

6.1. Panoramaeindrücke vs. Zentralperspektive.

Mit etwas Übung stellt man zur eigenen Überraschung fest, dass sich all die geraden Linien, die man zu sehen meint, wenn man durch eine Straße geht, oder vor seinem Schreibtisch hockt, spätestens beim Drehen des Kopfes als gar nicht gradlinig erweisen, sondern als Bögen! Noch deutlicher wird man dieser Bögen gewahr, wenn man sich auf einen Drehstuhl setzt und dann langsam oder auch immer schneller im Kreis dreht: dabei wird ja gerade das ganze Panoramabild abgerollt.

Von Interesse scheint auch folgender Satz zu sein, der sich bei Bollnow (Mensch und Raum, p.78) findet:

6.2. Zum Abschluss noch zwei Fotos.

Abbildungen 34 und 35

Links eine Innenansicht der Kathedrale von Winchester, auch hier sieht man Sinuskurven, aber in y-Richtung!
Rechts eine Herbst-Landschaft, bei der man erst beim zweiten Hinsehen die Sinus-Bögen erkennt.

Weitere schöne Panorama-Bilder findet man u.a. unter den folgenden Adressen im Internet:

Literatur

• Sehsucht. Das Panorama als Massenunterhaltung des 19.Jahrhunderts. Katalog der Kunst- und Ausstellungshalle der Bundesrepublik Deutschland. Stroemfeld/Roter Stern 1993
• Bollnow, Otto Friedrich: Mensch und Raum. 10.Aufl. Kohlhammer 2004
• Haselberger, L (Hrsg.), Appearance and Essence. Refinements of Classical Architecture:- Curvature (1999). Proceedings of the Second Williams Symposium on Classical Architecture
• Haselberger, L & Seybold, H: Seilkurve oder Ellipse? In: Archäologischer Anzeiger (1991), 165-188
• Marx, Erich & Laub, Peter (ed): Das Salzburg-Panorama von Johann Michael Sattler. Band 1. Das Werk und sein Schöpfer. Salzburg 2005
• Meers, Nick: Faszination Panoramafotografie. München 2003
• Menze, Rainer & Ringel, Barbara: Oh wie schön ist ... Oh wie schön sind Panoramen. Erscheint in Mathematik lehren.
• Schneider, Lambert & Höcker, Christoph: Die Akropolis von Athen. Darmstadt 2001
• Thomä, Walter: Die Schwellung der Säule (Entasis) bei den Architekturtheoretikern bis in das XVIII. Jahrhundert. Dresden 1915

Quellen-Verzeichnis der Abbildungen

• Abb. 1 Landschaftspark Riem: Süddeutsche Zeitung, 8./9. Oktober 2005
• . 7 Himmelsstürmer in Kassel: http://www.reiseportal-hessen.de
• Abb. 8 Alpen: http://www.panphoto.de/
• Abb. 9 Gendarmenmarkt in Berlin: www.panoshot.de/de/
• Abb. 11 Arc de Triomphe: http://www.paris.org/Curiosites/EtoilePan/
• Abb. 12 Tag und Nacht: http://www.jgiesen.de/daylight/details/map.gif
• Abb. 13 Panorama London: http://www.panoramafoto.ch/panorama_geschichte.htm
• Abb. 14 Rotunde Salzburg: http://www.smca.at
• Abb.15 Rotunde Frankenhausen: http://www.bad-frankenhausen.de
• Abb. 16 Panorama Salzburg: http://www.smca.at
• Abb. 17 Sattler Entwurf: [Marx, Laub]
• Abb. 19 Panorama Salzburg:(Ausschnitt) Ausschnitt aus dem Faltposter des Panoramamuseums Salzburg
• Abb. 23 San Francisco: http://memory.loc.gov/ammem/collections/panoramic_photo/
• Abb. 25 http://www.pitt.edu/~tokerism/0040/greek.html (links) und http://www.volny.cz/kamil.fris/poseidonie/Hera%20II_PaestumB.jpg (rechts)
• Abb. 26 http://www.utexas.edu/courses/classicalarch/images3/parthenoncurve.jpg
• Abb. 27 Kurvatur Akropolis, aus Schneider-Höcker, p.131
• Abb. 28 Skizze der Kurvatur aus Schneider-Höcker, p.131
• Abb. 30 Kurvatur Parthenon: Daten von Stevens 1943, nach Haselberger & Seybold
• Abb. 31 http://luna.cas.usf.edu/~demilio/images/greek/gktmples.htm
• Abb.34 Winchester: [Meers]
• Abb.35 Herbstbild: Neue Westfälische, 29./30. Oktober 2005:

Anschrift der Verfasser

Claus Michael Ringel
Fakultät für Mathematik, Universität Bielefeld
33501 Bielefeld
e-Mail: ringel@math.uni-bielefeld.de