Behauptung: Die Wurzel aus 2 ist nicht rational.Der Standard-Beweis: Ein Widerspruchsbeweis
Angenommen, a = √2 ist rational. Wir können annehmen, dass p und q keinen von 1 verschiedenen gemeinsamen Teiler besitzen. Aus a = p/q folgt 2 = a2 = p2/q2. Also 2 q2 = p2 also ist p2 eine gerade Zahl, demnach ist auch p eine gerade Zahl, etwa p = 2p'. 2 q2 = p2 = (2p')2 = 4(p')2. Teilen wir beide Seiten durch 2, so erhalten wir q2 = 2(p')2. Wir sehen also, dass auch q eine gerade Zahl ist. Also waren p,q nicht teilerfremd.
Alternativer Beweis, ebenfalls ein Widerspruchsbeweis.
Wir nehmen wieder an, a = √2 sei rational. Wähle q minimal mit dieser Eigenschaft. Es ist 1 < a < 2, also q < qa < 2q. Subtrahiere q. Also ist 0 < qa-q < q. Es ist qa-q eine natürliche Zahl, echt kleiner als q und es gilt: (qa-q)a = qa2 - qa = 2q - qa ist eine natürliche Zahl. Widerspruch zur Minimalität von q. Vorteil:
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