| r1
| r2
| r3
| N
| G
| N/r1
| N/r2
| N/r3
|
2
3
3
12
| Tetraedergruppe
| 6
4
4
2
3
4
24
| Oktaedergruppe
| 12
8
6
2
3
5
60
| Ikosaedergruppe
| 30
20
| 12
| | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |
|
| Kanten
Flächen
Ecken
|
| (des Tetraeders, bzw Oktaeders, bzw Ikosaeders).
| | | |
G-Orbiten von Drehachsen:
- Eine einzige Drehachse (im zyklischen Fall, im Diederfall).
- Drehachsen, die eine Ebene aufspannen (im Diederfall).
- Ein G-Orbit von Drehachsen, die den dreidimensionalen Raum aufspannen:
- Drei Achsen der Ordnung 4 (Oktaeder: Raumdiagonalen; beim Tetraeder
die Achsen durch die Kantenmittelpunkte - als Achsen der Ordnung 2)
- Vier Achsen der Ordnung 3 (Oktaeder: Achsen durch die
Flächenmittelpunkte, beim Tetreder: Achsen durch die Ecken und
Flächenmittelpunkte)
- 6 Achsen der Ordnung 2 (Oktaeder:
die Achsen durch die Kantenmittelpunkte).
Das "Wurzelsystem" A3.
Winkel ziwschen zwei Geraden ist 60 oder 90 Grad.
- 6 Achsen der Ordnung 5 (Ikosaeder: die Raumdiagonalen)
Geraden schneiden sich paarweise im gleichen Winkel.
- 10 Achsen der Ordnung 3 (Ikoseder: Achsen durch die
Flächenmittelpunkte
- 15 Achsen der Ordnung 2 (Ikosaeder: Achsen durch die
Kantenmittelpunkte
Anzahl der Drehachsen der Ordnung 4 ist 0, 1, 4 oder 10.
Anzahl der Drehachsen der Ordnung 5 ist 0, 1 oder 6.
Gibt es in G mindestens zwei Drehachsen der Ordnung ≥ 3, und ist
Q ein G-Orbit von Drehachsen der Ordnung ≥ 3, so handelt es sich um:
Drei Drehachsen der Ordnung 4
- Die Raumdiagonalen eines Oktaeders
- Dabei handelt es sich gerade um die Koordinatenachsen eines
rechtwinkligen Koordinatensystems
Die Geraden sind paarweise orthogonal.
|
| Vier Drehachsen der Ordnung 3
- Die Raumdiagonalen eines Würfels.
Die Geraden schneiden sich paarweise mit dem gleichen Winkel
|
| Sechs Drehachsen der Ordnung 5
- Die Raumdiagonalen eines Ikosaeders
Die Geraden schneiden sich paarweise mit dem gleichen Winkel
|
| Zehn Drehachsen der Ordnung 3
- Die Raumdiagonalen eines Dodekaeders.
|
|
|
