Differenzen von Quadraten

Dies wäre einen eigenen Vortrag wert! Ich muss mich daher kurz fassen. Dies ist also eher ein Einschub!

Die Pell'sche Gleichung

Dies ist die Pell'sche Gleichung:
x2 - dy2 = 1,
dabei sei d eine natürliche Zahl und keine Quadratzahl.

Einige Namen

Zur Theorie:

Satz: Ist (x,y) eine Lösung der Pell'schen Gleichung x2 - dy2 = 1, und schreiben wir (x+y√d)n = xn+yn√d, so ist auch (xn,yn) eine Lösung.

Einfach zu verfizieren, wenn man mit quadratischen Körper-Erweiterungen vertraut ist; schon Brahmagupta kannte dies!

Auf diese Weise erhält man aus der Gleichung 152 - 14.42 = 1, die folgenden Lösungen der Pell'schen Gleichung für d = 14:

n x2 y2
1 15 4
2 449 120
3 13455 3596
4 403201 107760
5 12082575 3229204

Von Brahmagupta stammt der Satz: Wer innerhalb eines Jahres ein Lösungspaar (natürlicher Zahlen) der Gleichung x2 - 92y2 = 1 findet, ist ein Mathematiker.


Das Rinder-Problem des Archimedes

Es führt auf die Pell'sche Gleichung mit d = 410 286 423 278 424.

Der Sonnengott hat Rinder: weiße, schwarze, gescheckte und braune. Und natürlich Stiere und Kühe. Die Anzahlen sollen wie folgt bezeichnet werden:

Farbe weißschwarz geschecktbraun
Stiere xy zt
Kühex'y' z't'

Hier die Gleichungen, die erfüllt sein sollen:

Die ersten Bedingungen:
x = (1/2+1/3)y+t
y = (1/4+1/5)z+t
z = (1/6+1/7)x+t

Die zweiten Bedingungen:
x' = (1/3+1/4)(y+y')
y' = (1/4+1/5)(z+z')
z' = (1/5+1/6)(t+t')
t' = (1/6+1/7)(x+x')

Als Lösungen der ersten drei Gleichungen erhält man

(x,y,z,t) = m(2226,1602,1580,891),

dabei ist m eine natürliche Zahl.

Die nächsten Gleichungen sind (nur dann) ganzzahlig lösbar, falls m durch 4657 teilbar ist. Sei also m = 4657.k mit einer natürlichen Zahl k, dann ist

(x',y',z',t') = k(7206360,4893246,3515820,5439213).

Die dritten Bedingungen: x+y und 8(z+t)+1 sind Quadratzahlen

Ist x+y Quadratzahl, so ist k = a.l2 mit a = 3.11.29.4657.

Ist 8(z+t)+1 = h2, so erhalten wir die Gleichung

h2 = 8(z+t)+1 = 8.4657.2471.a.l2 + 1,

also ist (h,l) eine Lösung der Pell'schen Gleichung für d = 8.4657.2471.a = 2.3.7.11.29.353.22.46572 = 410 286 423 278 424

Diese Pell'sche Gleichung wurde 1880 von A.Amthor gelöst:
Die Gesamtzahl der Rinder ist eine Zahl mit 206545 Ziffern, diemit 7760... beginnt... (1980/1 wurde die Zahl auf 47 Seiten ausgedruckt).


Es gibt aber dennoch Möglichkeiten, die gesuchten Zahlen exakt zu notieren. Hier eine Formel von Lenstra: