Wie zeigt man, dass die Wurzel aus 2 nicht rational ist?

Standard-Beweis

Ein Widerspruchsbeweis: Angenommen, a = √2 ist rational.
Schreibe also a = p/q, dabei sind p,q natürliche Zahlen.

Wir können annehmen, dass p und q keinen von 1 verschiedenen gemeinsamen Teiler besitzen.

Aus a = p/q folgt 2 = a2 = p2/q2. Also

2 q2 = p2

also ist p2 eine gerade Zahl, demnach ist auch p eine gerade Zahl, etwa p = 2p'.

2 q2 = p2 = (2p')2 = 4(p')2.

Teilen wir beide Seiten durch 2, so erhalten wir q2 = 2(p')2.

Wir sehen also, dass auch q eine gerade Zahl ist. Also waren p,q nicht teilerfremd.

 

Alternativer Beweis

Auch ein Widerspruchsbeweis: Wir nehmen wieder an, a = √2 sei rational.
Also gibt es eine natürliche Zahl q, sodass qa wieder eine natürliche Zahl ist.

Wähle q minimal mit dieser Eigenschaft.

Es ist 1 < a < 2, also q < qa < 2q. Subtrahiere q.

Also ist 0 < qa-q < q.

Es ist qa-q eine natürliche Zahl, echt kleiner als q und es gilt:

(qa-q)a = qa2 - qa = 2q - qa ist eine natürliche Zahl.

Widerspruch zur Minimalität von q.

Vorteil: