Die reelle projektive Ebene

Dies ist die Fläche N₁.

Realisierungen

Das Heptaeder
Wir beginnen mit einem Oktaeder mit den Ecken 0,1,2,3,4,5 und den Dreiecken 012, 023, 034, 041, 125, 235, 345, 045. Wähle 4 paarweise nicht benachbarte Dreiecke; zum Beispiel 012, 034, 235, 145.
Nun fügen wir vier Quadratflächen hinzu; das erste habe die Kanten 10,03,35,51; das zweite habe die Kanten 20,04,45,52; das dritte die Kanten 12,23,34,45.

Bei der üblichen Realisierung des Oktaeders im R³ (mit Ecken auf den Koordinatenachsen) sind die Durchdringungen der Quadratflächen (entlang der Koordinatenachsen) wegzudenken.
(Bemerkungen: "Hepta" = 7, also Heptaeder = Siebenflächner". Das Heptaeder hat, wie das Oktaeder, 12 Kanten und 6 Ecken.
Steiner'sche Römerfläche
Boy'sche Fläche
Hilbert vermutete, dass es keine Immersion der Fläche N₁ in den 3-dimensionalen Raum R³ geben könne. Sein Schüler Werner Boy sollte dies in seiner Dissertaion zeigen - das Ergebnis war ein anderes: Boy konstruierte eine Immersion, die sogenannte Boy'sche Fläche. Ein Modell davon steht auf dem Rasen zwischen den Gebäuden in Oberwolfach:

Die projektive Ebene im Schulunterricht

Geometrie: Kegelschnitte
Analysis: gebrochen rationale Funktionen

Nachtrag: Whiteney's Regenschirm

"Whitney's Regenschirm" ist ein Rechteck R mit einer Abbildung f:R → R³, die keine topologische Immersion ist; dabei gibt es genau einen Punkt x in R, den man entfernen muss, will man eine topologische Immersion erhalten!

Abbildung

Siehe auch: Whitney's Regenschirm (Animation)
(Aus Eric Weisstein's world of Mathematics))

Simpliziale Version

Beschreibung

Sei R das folgende (ein wenig "verzogene") Rechteck in der Ebene R². Whitney's Regenschirm ist die durch die Skizze gegebene (simpliziale) Abbildung f:R → R³ mit Bild W.

Dies ist keine topologische Immersion, denn im Punkt x=0 gilt: Ist U eine beliebige Umgebung dieses Punkts, so ist die Einschränkung f|U nicht injektiv (unter f wird ja jeder Punkt der Kante [0,3] mit einem Punkt der Kante [0,6] identifiziert, die Umgebung U enthält also Punkte, die unter f identifiziert werden!)
Jeder von x verschiedendene Punkt y in R besitzt dagegen eine Umgebung V, so dass die Einschränkung von f auf V ein Homöomorphismus V → f(V) ist. Entfernen wir also den Punkt x=0, so gilt: die Einschränkung von f auf R-{x} ist eine topologische Immersion.