Reguläre Polyeder
Gegeben durch polygonale (insbesondere also ebene) Flächenstücke,
die an den Kanten zusammenstoßen, mit:
- Die Flächenstücke sind regulär und kongruent.
- Jede Kante gehört zu genau zwei Flächenstücken.
- Alle Ecken sind kongruent.
Beispiel: Das große Dodekaeder
| Ecken | Kanten | Polygone | Euler-Charakteristik
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|---|
12 30 12 | -6
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Also: F4 oder N8.
Offensichtlich zweiseitig, also F4.
Klassifikation
Neben den 5 platonischen Kärpern gibt es nur 4 weitere reguläre
Polyeder, die Kepler-Poinsot-Körper (Cauchy 1810):
| | f | k | e | χ(F)
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|---|
| 1 | das große Dodekaeder
| 12
30
12
-6
Poinsot (1806)
Jamnitzer (1568)
| 2 | das große Ikosaeder
| 20
30
12
2
Poinsot (1806)
| 3 | das große Stern-Dodekaeder
| 12
30
20
2
Kepler (1619)
| 4 | das kleine Stern-Dodekaeder
| 12
30
12
-6
Kepler (1619) | Uccello (15.Jh.)
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Also: Das große Ikosaeder und das große Stern-Dodekaeder sind beides
nichts anderes als 2-Sphären ("durcheinandergewurschtelt"); beim
großen Dodekaeder und beim kleinen kleinen Stern-Dodekaeder dagegen handelt es sich
um die Fläche F4 (ebenfalls "durcheinandergewurschtelt"):
Eine Voraussetzung wurde vergessen: man setzt immer (und meist heimlich!) voraus, dass
es sich um eine zusammenhängende Fläche handelt - sonst spricht man
von einem Polyeder-Verbund.
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Rechts ein Verbund von 5 Tetraedern:
- einmal als Pappmodell,
- einmal als Holzpuzzle von Arjeu
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Siehe auch: Mathematik 2003 (Darstellung und Bewegung von Polyedern, Zwei- und Dreitafelprojektion, Polyeder, Platonische Körper, Krummlinig begrenzte Körper, Archimedische Körper, Johnson-Polyeder, Spezielle Polyeder, Verbund- und Sternkörper, Punktmengen, Torus, ,...)
