Mathematischer Hintergrund

Isometrien = abstandserhaltende Abbildungen des Rn in sich.

Beispiele: Translationen, Drehungen, Spiegelungen, ....

Sätze.

  1. Eine Isometrie ist eine Hintereinanderschaltung einer Translation und einer Isometrie mit mindestens einem Fixpunkt.

Sei nun φ eine Isometrie mit mindestens einem Fixpunkt x.
Wir wählen x als Urspung eines kartesischen Koordinatensystems.

  1. φ ist eine lineare Abbildung,
    wird also durch eine Matrix A beschrieben und es gilt AAt = I = AtA
    (solche Matrizen nennt man "orthogonale" Matrizen).

  2. Es ist det A = +1 oder det A = -1.
    (Es gibt also zwei wesentlich verschiedene Fälle:
        orientierungserhaltend - orientierungsumkehrend).

  3. φ ist Hintereinanderschaltung von t Spiegelungen, dabei ist t ≤ n.
    t ist genau dann gerade, wenn det A = 1 gilt.





n = 3

Satz. Ist φ eine orientierungserhaltende Isometrie mit mindestens einem Fixpunkt x,
so ist φ eine Drehung um eine Gerade, die durch x geht.

Folgerungen: "Satz vom Fußball": Bei jedem Fußballspiel gibt es zwei Punkte auf dem Ball, die sich zu Beginn der ersten und der zweiten Halbzeit (wenn der Ball auf dem Anstoßpunkt liegt) an der gleichen Stelle des R3 befinden.

Jede Hintereinanderschaltung von Drehungen einer Kugel ist wieder eine Drehung.

n = 2

Jede Drehung   mit Zentrum Z und Drehwinkel α
ist Hintereinanderschaltung
zweier Spiegelungen 		wobei sich die Spiegelachsen in Z
mit Winkel α/2 schneiden,
- eine der beiden Spiegelachsen
kann beliebig vorgegeben werden.