Eleganz in der Mathematik: Verkettete Kreise im Raum

Abstract: Im Sommer dieses Jahres veanstaltete das Ästhetische Zentrum der Universität zusammen mit der Kunsthalle Bielefeld ein Ästhetik-Festival mit dem Titel Eleganz: das Thema sollte aus ganz verschiedenen Perspektiven beleuchtet werden: von der Eleganz in der Mode und beim Produktdesign, von geschmeidigen Bewegungen bis hin zur Eleganz einer wissenschaftlichen Beweisführung. Als Beitrag der Mathematik habe ich dort über zwei Beispiele gesprochen: den Erdös-Beweis des Bertrand'schen Postulats, und die Geometrie der Hopf'schen Faserung.

Im didaktischen Kolloquium soll das zweite Beispiel noch einmal vorgestellt, nun aber auch genauer analysiert werden. Die Hopf'sche Faserung der 3-Sphäre liefert ein System paarweiser verketteter Kreise im 3-dimensionalen Raum - eine überaus überraschende Konfiguration von Kreisen im Raum! Ausgangspunkt sind die Villarceau-Kreise auf einem Torus, bei denen man sich ohne einen Beweis nicht ganz sicher fühlt, ob es denn nun wirklich Kreise sind, auch wenn man sie schon am Frühstückstisch sehen kann. Verwiesen sei hier auf das Buch Räumliche Kurven und Flächen von Wolfgang Kroll, das vielfältige Materialien für den Mathematik-Unterricht bereitstellt; in einem Exkurs geht Kroll auch auf die Villarceau-Kreise ein. In diesem Buch, wie auch im Vortrag, geht es um Werbung für räumliche Geometrie im Mathematik-Unterricht!

In einem Ausblick soll versucht werden, die Bedeutung der Hopf'schen Faserung in der modernen Mathematik (als Ausgangspunkt der stabilen Homotopietheorie) zu skizzieren. Aber wie bei den bisherigen Weihnachtsvorträgen werden auch einige zum Thema gehörende Puzzles und Denkspiele vorgestellt werden.