Poincaré-Vermutung (Satz von Perrelmann)

Die einzige einfach zusammenhängende kompakte
3-Mannigfaltigkeit M ist die 3-Sphäre S³.

• 3-Mannigfaltigkeit: lokal ist M nicht vom R³ unterscheidbar: jeder Punkt von M hat eine Umgebung wie im R³,

• kompakt: M lässt sich durch endlich viele 3-dimensionale Kugeln überdecken,

• einfach-zusammenhängend: π₁(M) = 1, d.h.:
  jede Schlaufe lässt sich in M zu einem Punkt zusammenziehen.