Homotopie-Gruppen

Wir betrachten weiterhin die Hopf-Abbildung (oder Hopf-Faserung)

Ist Y ein topologischer Raum (hier: Y = S²),
so betrachtet man die Menge der stetigen Abbildungen Sⁿ → Y,
oder besser: deren Homotopieklassen.

π_n(Y) = Menge der Homotopieklassen stetiger Abbildung Sⁿ → Y.

Für n = 1 ist dies eine Gruppe, die "Fundamentalgruppe" von Y,
n ≥ 2 ist dies sogar eine abelsche Gruppe.

Satz (Hopf, 1931). Es ist π3(S2) = Z, die Hopf-Faserung erzeugt diese Gruppe.

Dieses Ergebnis war damals völlig überraschend! Man wusste:

Homologie-Gruppen:

Hn(Sn) = Z, und Hm(Sn) = 0 für m ≠ n.

Entsprechend hatte man erwartet:

Homotopie-Gruppen:

πn(Sn) = Z, und πm(Sn) = 0 für m ≠ n.