Addition: | (x,y) + (x',y') = (x+x',y+y') Multiplikation:
| (x,y)(x',y') = (xx'-yy',x'y+yx') |
C ist ein Körper, Division ist möglich, denn für (x,y) ≠ (0,0) gilt:
| (x,y)-1 = (x2+y2)-1(x,-y) |
Betrag | |(x,y)| = √(x2+y2) |
In C×C betrachte die Teilmenge {(z,w) in C2 | |z|2+|w|2 = 1},
|
dies ist gerade | S3 | . |
PC bezeichne die komplexe projektive Gerade, sie entsteht aus
|
C = R2 durch Hinzufügung des Punkts ∞, es ist also PC = | S2 | . |
|
Und natürlich ist | S1 | = {λ in C | |λ| = 1}. |
Wir definieren die Hopf-Abbildung η:
η: S3 = {(z,w) in C2 | |z|2+|w|2 = 1}
→ PC = S2
η(z,w) = z/w.