Also: Die Hopf-Abbildung ist die Divisions-Abbildung
η: S3 = {(z,w) in C2 | |z|2+|w|2 = 1} → PC = S2, η(z,w) = z/w.
Und wir verwenden S1 = { λ in C | |λ = 1 }.
Ist (z,w) in S3, so sei
C(z,w) = { (λz,λw) | λ in S1 },
dies ist ein Kreis in S3 (sogar ein Großkreis)
(mit (z',w') gehört auch (-z',-w') zum Kreis)
Es gilt: | η-1η(z,w) = C(z,w) | , die Fasern von η sind Großkreise. |
Umformulierung ("Clifford-Translationen"):
Auf S3 operiert die Gruppe S1
vermöge λ*(z,w) = (λz,λw),
die Orbiten sind gerade die Fasern der Abbildung η.
Und wir erhalten für z ≠ 0 ≠ w Tori:
T(z,w) = { (λz,λ'w) | λ, λ' in S1 }.
S3 ist disjunkte Vereinigung solcher Tori und C(1,0) und C(0,1).