DER MULTIPLIKATIVE TRANSFER AUF DEM GROTHENDIECK-WITT-RING

DIPLOMARBEIT

VON SIMON KRSNIK

FAKULTÄT FÜR MATHEMATIK

UNIVERSITÄT BIELEFELD NOVEMBER 2006

Date: 7. Dezember 2006.

Zusammenfassung. Ziel dieser Arbeit ist es, einen multiplikativen Transfer auf dem Grothendieck-Witt-Ring zu erklären. Dazu werde ich zunächst einen Norm-Funktor auf der Kategorie der freien Moduln über freien kommutativen Algebren definieren. Meinen Erkenntnissen liegen die unveröffentlichten Arbeiten [8], [9] und [10] zugrunde.

Inhaltsverzeichnis

Einleitung  1
1. Grundlegendes  4
1.1. Universelle Konstruktionen auf Gruppen und Ringen  4
1.2. Partitionen und symmetrische Gruppe  8
1.3. Das Tensorprodukt  9
1.4. Spezielle Tensorpotenzen  11
1.5. Spezielle Algebren und Endomorphismen  13
2. Symmetrische Tensoren  16
2.1. Symmetrische Tensoren  16
2.2. Ein Erzeugendensystem für symmetrische Tensoren  18
2.3. Grundringwechsel von symmetrischen Tensoren  19
2.4. Algebren auf Tensorpotenzen  20
2.5. Der Funktor S_{r}  24
3. Bilinearformen  27
3.1. Symmetrische Bilinearformen  27
3.2. Einige Berechnungen zu S_{r}β  28
3.3. Einige wichtige Eigenschaften von S_{r}β  29
3.4. Symmetrische Tensoren über Algebren  30
3.5. Symmetrische Tensoren über besonderen Ringen  33
4. Die Norm von Moduln und symmetrischen Bilinearformen  36
4.1. Ein Algebra-Homomorphismus für symmetrische Tensoren  36
4.2. Die Norm eines Moduls  37
4.3. Die Norm spezieller Moduln  40
4.4. Die Norm im Falle einer separablen Algebra  43
4.5. Die Norm einer bilinearen Abbildung  44
5. Der multiplikative Transfer auf dem Grothendieck-Witt-Ring  48
5.1. Eine Erweiterung für den Begriff der Norm eines Moduls  48
5.2. Der Spezialfall C_{(k,d−k)}A  50
5.3. Der Grothendieck-Witt-Ring  55
5.4. Eine Erweiterung der Norm auf bilineare Abbildungen  56
5.5. Polynomiale Abbildungen  58
5.6. Die Norm auf Bilinearformen als polynomiale Abbildung  62
Literatur  64

Einleitung

Diese Diplomarbeit beschäftigt sich mit einem Thema, welches der Theorie der symmetrischen Bilinearformen (bzw. der quadratischen Formen) angehört. Sie ist aus den Arbeiten ”Scratches on multiplicative transfer“ [8], ”A Pfister form invariant for etale algebras“ [9] und ”The multiplicative transfer for the Grothendieck-Witt ring“ [10] von Markus Rost entstanden, der sich bereits mit der Multiplikativität der Norm von Moduln und Bilinearformen beschäftigt hat. Der Text ”A Pfister form invariant for etale algebras“ [9] wurde schon 2003 von Skip Garibaldi, Alexander Merkurjev und Jean-Pierre Serre in ”Cohomological Invariants in Galois Cohomology“ [2, Remark 29.5] zitiert.

Ich werde mich ausschließlich mit symmetrischen Bilinearformen beschäftigen, aber wenn man an geeigneter Stelle 2 als invertierbar voraussetzt, bekommt man natürlich das gewünschte Resultat auch für quadratische Formen.

Die Isometrieklassen regulärer symmetrischer Bilinearformen über einem gegebenen Körper K haben, vermöge der orthogonalen Summe und des Tensorprodukts bilinearer Abbildungen, die Struktur eines Semirings (siehe Abschnitt 5.3). Vervollständigt man diesen Semiring nach der Methode Grothendiecks zu einem Ring (siehe Unterabschnitt 1.1.2), so ist dieses Konstrukt als der Grothendieck-Witt-Ring für symmetrische Bilinearformen

GW (K)

bekannt. Ich werde den Grothendieck-Witt-Ring ausschließlich im Kontext regulärer symmetrischer Bilinearformen gebrauchen.

Das Hauptresultat dieser Arbeit ist schließlich der Nachweis einer eindeutigen polynomialen Abbildung vom Grothendieck-Witt-Ring einer separablen Körpererweiterung L in den Grothendieck-Witt-Ring des Grundkörpers K, die außerdem multiplikativ ist (siehe Satz 5.6.4).

N_{K}^{L}: GW (L) ⟶ GW (K) vermöge [β] ↦ [N (β)]

Eine Definition dieser Abbildung auf dem Witt-Ring bilinearer Abbildungen ist nicht möglich, denn wie man der Arbeit ”Die multiplikative quadratische Norm für den Grothendieck-Witt-Ring“ von Tobias Wittkop entnehmen kann, ist die Norm einer hyperbolischen Form nicht hyperbolisch.

Um verstehen zu können, wie diese Abbildung auf Bilinearformen wirkt, werde ich mich zunächst mit dem Begriff der Norm eines Moduls auseinandersetzen.

Im Falle eines L-Vektorraumes V über einer Galoiserweiterung L|K, ist dies einfach der K-Vektorraum

N (V) = ( ⨂_{g∈Gal(L|K)} g • V )^{Gal(L|K)}

Diesen klassischen Ansatz findet man z.B. in dem Buch ”Brauergruppen von Körpern“ [4] von Ina Kersten bei der Konstruktion eines Gruppen-Homomorphismusses von der Brauergruppe über L in die Brauergruppe über K.

Ich werde mich der Norm eines Moduls etwas allgemeiner nähern und eine Definition benutzen, die man auch in den Texten [8] und [10] von Markus Rost finden kann. Dazu werde ich Moduln bzw. Algebren von symmetrischen Tensoren benötigen. Zu einer kommutativen R-Algebra A ist das gerade die Unteralgebra

S_{r}A := (A^{⊗r})^{S_{r}} ⊂ A^{⊗r}

der Invarianten unter der Operation der symmetrischen Gruppe S_{r}. Für den Fall, dass A frei vom Rang d ist, werde ich einen Ringhomomorphismus

ν_{R}^{A}: S_{d}A ⟶ R mit ν_{R}^{A}(a ⊗ … ⊗ a) = N(a)

definieren (siehe Satz 4.2.3), wobei N die Algebren-Norm (N: A ⟶ R; a ↦ det(λ_{a})) ist. Die Norm eines freien A-Moduls V erhalte ich dann aus dem S_{d}A-Modul S_{d}V = (V^{⊗d})^{S_{d}} durch einen Grundringwechsel nach R via ν_{R}^{A}:

N (V) := S_{d}V ⊗_{S_{d}A} R

Abgesehen von den oben genannten Arbeiten von Markus Rost, findet man eine vergleichbare Konstruktion auch in dem Text ”Un Foncteur Norme“ [1] von Daniel Ferrand.

Auf Grund der Funktorialität dieser Definition der Norm ist es möglich, nicht nur Normen von Moduln, sondern auch Normen von linearen oder gar von bilinearen Abbildungen zu betrachten. Zu einer A-bilinearen Abbildung

β: V × W ⟶ M

erhält man eine eindeutige R-bilineare Abbildung

N (β): N (V) × N (W) ⟶ N (M)

so dass folgendes Diagramm kommutiert

β:  V × W  ⟶ M
ι_{V} ×ι_{W} ↓  ^{ι_{M}} ↓
N (β): N (V) × N (W) ⟶ N (M)

wobei ι_{V} : V ⟶ N (V) vermöge v ↦ v^{⊗d} ⊗ 1 ∈ N (V) (siehe Satz 4.5.2).

Ist A eine separable Algebra und M = A, so ist N (M) = R und die Abbildung ι_{M}: M ⟶ N (M) ist gerade die Algebren-Norm N. In diesem Fall ist es sogar möglich, eine schöne Formel für den Rang von N (V) anzugeben. Es gilt:

Rang_{R} (N (V)) = (Rang_{A} V)^{d}

Ich werde diese Formel zunächst für Produktalgebren

A = R × ⋯ × R

beweisen (siehe Satz 4.3.2). Später werde ich den separablen Fall auf den Fall einer Produktalgebra zurückführen (siehe Satz 4.4.2). Diese Vorgehensweise werde ich häufiger anwenden, wenn ich Aussagen über separable Algebren beweise. Sie ist darüber hinaus der Grund dafür, warum ich nicht speziell von separablen Körpererweiterungen, sondern allgemein von separablen Algebren spreche.

Es ist möglich, den Norm-Funktor auf den Grothendieck-Witt-Ring fortzusetzen. Dazu werde ich einen Fortsetzungssatz für polynomiale Abbildungen auf Halbgruppen (siehe 5.5.5) benutzen. Diesen Satz findet man in der Arbeit ”The multiplicative transfer for the Grothendieck-Witt ring“ [10] von Markus Rost, aber auch in ”K-Theory of the Weil Transfer Functor“ [3] von Seva Joukhovitski. Ansonsten jedoch scheint er nicht weit in der Literatur verbreitet zu sein.

Um zu zeigen, dass der Übergang von freien Moduln bzw. Bilinearformen zu ihrer Norm eine solche polynomiale Abbildung vom Grad d ist, führe ich zu jeder Partition α_{(d,l)} von d - einem l-Tupel α_{(d,l)} = (α_{1}, …, α_{l}) mit α_{i} > 0 und α_{1} + ⋯ + α_{l} = d (siehe Unterabschnitt 1.2.1) - eine Verallgemeinerung dieses Norm-Begriffs ein.

Für freie A-Moduln V_{1}, …, V_{l} bzw. A-Bilinearformen β_{1}, …, β_{l} definiere ich

C_{α_{1},...,α_{l}}(V_{1}, …, V_{l}) := S_{α_{1},...,α_{l}}(V_{1}, …, V_{l}) ⊗_{S_{α_{1},...,α_{l}} A} C_{α_{1},...,α_{l}}A

mit C_{α_{1},...,α_{l}}A := S_{α_{1},...,α_{l}}A ⊗_{S_{d}A} R

bzw. C_{α_{1},...,α_{l}}(β_{1}, …, β_{l}) := (S_{α_{1},...,α_{l}}(β_{1}, …, β_{l}))_{C_{α_{1},...,α_{l}} A}

(Siehe dazu die Abschnitte 5.1 und 5.4, sowie Abschnitt 2.1 für die Definition von S_{α_{1},...,α_{l}}A ⊃ S_{d}A.).

Durch diese Konstruktion wird man im Falle einer separablen Körpererweiterung L|K vom Grad d sehen, dass die Abbildung

Π^{l}\overline{Bil}(L) ⟶ GW (K)
vermöge  ([β_{1}], …, [β_{l}]) ⟼ [C_{α_{1},...,α_{l}}(β_{1}, …, β_{l})]

(siehe Lemma 5.6.3) in den β_{i} polynomial vom Grad α_{i} ist. Dieses Ergebnis liefert den Schlüssel zum Beweis der Hauptaussage dieser Arbeit.

An dieser Stelle möchte ich gerne Prof. Dr. Markus Rost, dem Betreuer meiner Diplomarbeit, für die Unterstützung bei der Erstellung meiner Arbeit und die nützlichen Tipps im Umgang mit L^{A}TEX meinen besonderen Dank aussprechen.

Darüber hinaus gilt mein Dank Julia Arnold, Markus Severitt, Gunnar Sjuts, Tobias Wittkop und Claudia Wolf, die mir sehr dabei geholfen haben, diese Arbeit von Fehlern und Unschönheiten zu befreien.

1. Grundlegendes

Die folgenden Ergebnisse lassen sich aus [12] und [13] ableiten.

1.1. Universelle Konstruktionen auf Gruppen und Ringen. Wenn wir in diesem Kapitel von Ringen sprechen, meinen wir kommutative Ringe mit Einselement. Entsprechendes gilt für Algebren.

1.1.1. Gruppenkomplettierung. Unter einer Halbgruppe verstehen wir eine Menge B zusammen mit einer kommutativen und assoziativen Verknüpfung

B × B ⟶ B vermöge a, b ↦ a + b

Wir gehen weiter davon aus, dass B ein neutrales Element 0 ∈ B enthält. Ist B′ eine weitere Halbgruppe, dann nennen wir eine Abbildung

f: B ⟶ B′ mit f(a + b) = f(a) + f(b) und f(0) = 0

einen Halbgruppen-Homomorphismus.

Als nächstes werden wir B zu einer abelschen Gruppe machen. Dazu werden wir folgende Äquivalenzrelation ∼ auf der Halbgruppe B × B (mit komponentenweiser Addition) betrachten. Zwei Elemente (a, x), (b, y) ∈ B × B heißen äquivalent (wir schreiben (a, x) ∼ (b, y)), wenn es ein c ∈ B gibt, so dass

c + a + y = c + b + x ∈ B

Wir setzen \overline{B} := B × B/ ∼ und nennen \overline{B} die Gruppenkomplettierung von B. Die Äquivalenzklasse von (a, x) ∈ B×B werden wir mit [a, x] bezeichnen. Offensichtlich ist

[a, x] − [b, y] = [a, x] + [y, b]

Damit ist \overline{B} wirklich eine abelsche Gruppe mit neutralem Element [0, 0] und wir haben einen Halbgruppen-Homomorphismus

ι\overline{B}: B ⟶ \overline{B} vermöge a ↦ [a, 0]

Wir werden auch manchmal a − x anstatt [a, x] schreiben.

Hat die Halbgruppe folgende Eigenschaft

c + a = c + b ⟹ a = b für a, b, c ∈ B

die wir auch Kürzungseigenschaft nennen möchten, dann ist die Abbildung ι\overline{B} injektiv.

Die Gruppenkomplettierung hat folgende universelle Eigenschaft:

Bemerkung 1.1.1. Sei A eine abelsche Gruppe. Zu jedem Halbgruppen-Homomor-phismus f: B ⟶ A gibt es genau einen Gruppen-Homomorphismus \overline{f}: \overline{B} ⟶ A, so dass folgendes Diagramm kommutiert:

\overline{B} ⟶^{\overline{f}} A
ι\overline{B} ↑  ∥
B ⟶^{f} A

1.1.2. Grothendieck-Ringe. Eine Menge S mit zwei kommutativen und assoziativen Verknüpfungen ’+’ und ’·’, die dem Distributivgesetz genügen und je ein neutrales Element 0 bzw. 1 haben, werden wir als Semiring bezeichnen. Ist S′ ein weiterer Semiring und f: S → S′ eine Abbildung mit

f(0) = 0, f(1) = 1, f(a + b) = f(a) + f(b) und f(ab) = f(a)f(b) für a, b ∈ S

so werden wir diese Abbildung einen Semiring-Homomorphismus nennen.

Wir können S zu einem Ring komplettieren. Dazu werden wir mit Hilfe der Verknüpfung ’·’ auf S ein Produkt auf \overline{(S, +)} definieren. Wir sagen

[a, x] · [b, y] := [ab + xy, ay + bx]

Diesen Ring werden wir mit G(S) bezeichnen und nennen ihn den Grothendieck-Ring von S. Natürlich haben wir auch hier einen kanonischen Semiring-Homomor-phismus

ι_{G(S)} : S ⟶ G(S) vermöge a ↦ [a, 0] für a ∈ S

Der Grothendieck-Ring von S hat folgende universelle Eigenschaft:

Bemerkung 1.1.2. Sei f: S ⟶ R ein Semiring-Homomorphismus in einen Ring R. Dann gibt es genau einen Ring-Homomorphismus f_{(S)} : G(S) ⟶ R, so dass folgendes Diagramm kommutiert

G(S) ⟶^{f_{(S)}} R
ι_{G(S)}↑  ∥
S ⟶^{f} R

1.1.3. Halbgruppenringe. Sei r > 0 und M eine Menge. Mit

Π^{r}M := \underbrace{M × ⋯ × M}_{r-mal}

bezeichnen wir das r-fache direkte Produkt von M.

Sei R ein Ring. Mit R[M] (oder R^{(M)}) bezeichnen wir den freien R-Modul mit Basis M und mit e_{m} ∈ R[M] den zu m ∈ M gehörigen Basisvektor. Die Elemente in R^{(M)} sind endliche Summen der Form

∑_{x∈M} a_{x}e_{x} wobei a_{x} ∈ R

Sei S eine Halbgruppe. Wir werden nun eine Ringstruktur auf R^{(S)} definieren. Eine Verknüpfung ist schon durch die R-Modulstruktur auf R^{(S)} gegeben, die andere erhalten wir, indem wir die folgende Abbildung distributiv fortsetzen

R^{(S)} × R^{(S)} ⟶ R^{(S)} vermöge ae_{x} · be_{y} ↦ abe_{x+y}

Den Ring (R^{(S)}, +, ·) werden wir mit R[S] bezeichnen, wir nennen ihn Halbgruppenring von R und S. Die Notation ist an dieser Stelle nicht ganz eindeutig, es lässt sich jedoch immer eindeutig aus dem Kontext erschließen, ob wir über den Modul oder den Halbgruppenring sprechen. Wir haben offensichtlich einen Halbgruppen-Homomorphismus

ι_{[S]} : S ⟶ R[S] vermöge x ↦ 1_{R}e_{x}

und einen Ring-Homomorphismus

ι_{R[S]} : R ⟶ R[S] vermöge a ↦ ae_{0} = a1_{R[S]}

Bemerkung 1.1.3.

(1) e_{0} ∈ R[S] ist das Einselement des Rings R[S].

(2) Wir identifizieren S mit seinem Bild unter dem Homomorphismus ι_{[S]} und

schreiben

S ⊂ R[S]
(3) Es gilt sogar S ⊂ (R[S], ·)

Der Homomorphismus

ϵ_{S}: ℤ[S] ⟶ ℤ vermöge e_{x} ↦ 1 für x ∈ S

wird auch Augmentation genannt. Wir werden Kern ϵ_{S} mit I_{S} bezeichnen. Offensichtlich ist I_{S} das von den Elementen e_{x} − 1 ∈ ℤ erzeugte Ideal.

Auch diese Konstruktion hat eine universelle Eigenschaft:

Bemerkung 1.1.4. Ist f: R ⟶ A ein Ring-Homomorphismus und φ: S ⟶ (A, ·) ein Halbgruppen-Homomorphismus. Dann gibt es genau einen Ring-Homo-morphismus

Φ: R[S] ⟶ A mit Φ(ae_{x}) = f(a) · φ(x)

Im Fall S = Π^{m}ℕ ist der Halbgruppenring

R[Π^{m}ℕ] =: R[t_{1}, …, t_{m}]

der Polynomring in den m Variablen t_{1}, …, t_{m}.

Bemerkung 1.1.5. Ist f: S ⟶ (A, ·) eine beliebige Abbildung in eine abelsche Gruppe A, dann gibt es einen eindeutigen Gruppen-Homomorphismus f̂: ℤ[S] ⟶ A, so dass folgendes Diagramm kommutiert

ℤ[S] \underrightarrow{f̂} A
ι_{[S]}↑  ∥
S ⟶^{f} A

Dieser Gruppen-Homomorphismus f̂ ist gegeben durch

∑_{x∈S} n_{x}e_{x} ⟼ ∏_{x∈S} (f(x))^{n_{x}}

1.1.4. Quotientenringe. Ist R ein Ring und S ⊆ (R, ·) eine Halbgruppe, so nennen wir S eine multiplikative Teilmenge von R.

Seien s, t ∈ S und a, b ∈ R. Wir werden uns nun mit folgenden Äquivalenzklassen auf S × R beschäftigen:

(s, a) ∼ (t, b) ⟺: Es existiert ein v ∈ S, so dass vat = vbs

Die Äquivalenzklasse von (s, a) werden wir mit a/s bezeichnen. Wir setzen

S^{−1}R := S × R/ ∼

und werden S^{−1}R den Quotientenring von R und S nennen. Offensichtlich haben wir einen Ring-Homomorphismus

ι_{S^{−1}} : R ⟶ S^{−1}R vermöge a ↦ a/1

Die wichtigste Eigenschaft von S^{−1}R ist, dass wir für s, r ∈ S das Inverse von t/s ∈ S^{−1}R bilden können. Dies ist

(t/s)^{−1} = s/t

Der Quotientenring hat folgende universelle Eigenschaft:

Bemerkung 1.1.6. Sei A ein Ring und φ: R → A ein Ring-Homomorphismus mit φ(S) ⊆ A^{×}. Dann gibt es genau einen Ring-Homomorphismus

φ_{S^{−1}} : S^{−1}R ⟶ A

so dass folgendes Diagramm kommutiert:

S^{−1}R ⟶^{φ_{S^{−1}}} A
ι_{S^{−1}} ↑  ∥
R ⟶^{φ} A

Insbesondere ist φ_{S^{−1}}(a/s) := φ(a)φ(s)^{−1} (vgl. Unterabschnitt 1.1.1).

Bemerkung 1.1.7. Sei I ein Ideal in R, dann gibt es folgende kanonische Isomorphie:

S^{−1}(R/I) ⟶ S^{−1}R/S^{−1}I
(a + I)/b ⟼ (a/b) + S^{−1}I

1.1.5. Zusammenhang. Wir werden nun die Konzepte aus den Unterabschnitten 1.1.3 und 1.1.4 miteinander verknüpfen. Sei S eine Halbgruppe. ℤ[\overline{S}] ist die ℤ-Algebra, die von den Elementen e_{[a,x]} mit [a, x] ∈ \overline{S} erzeugt wird.

Bemerkung 1.1.8.

(1) S ⊂ ℤ[S] ist eine multiplikative Teilmenge.

(2) Es ist

S ⊂ (ℤ[\overline{S}])^{×}

(3) Wir haben folgende kanonische Isomorphie

ℤ[\overline{S}] ≃ S^{−1}ℤ[S] vermöge e_{[a,x]} ↦ e_{a}/e_{x} für [a, x] ∈ \overline{S}

Beweis. (1) Nach Bemerkung 1.1.3(3) ist S ⊂ (ℤ[S], ·). Damit ist S schon per Definition eine multiplikative Teilmenge von ℤ[S].

(2) Wir betrachten die Komposition:

S ⟶^{ι\overline{S}} \overline{S} ⟶^{ι_{[\overline{S}]}} ℤ[\overline{S}] mit x ⟼ [x, 0] ⟼ e_{[x,0]}

Das Bild von S unter der kanonischen Abbildung ι\overline{S} ist invertierbar in \overline{S} und das Bild von \overline{S} unter der kanonischen Abbildung ι_{[\overline{S}]} ist invertierbar in ℤ[\overline{S}]. Damit ist auch S in ℤ[\overline{S}] invertierbar und e_{[x,0]}^{−1} = e_{[0,x]}.

(3) Der Homomorphismus

\overline{S} ⟶ S^{−1}ℤ[S] vermöge [a, x] ↦ e_{a}/e_{x}

setzt sich nach Unterabschnitt 1.1.3 eindeutig fort zu einem Homomorphismus

ℤ[\overline{S}] ⟶ S^{−1}ℤ[S] vermöge ∑_{i=1}^{n} m_{i}e_{[a_{i},x_{i}]} ↦ ( ∑_{i=1}^{n} m_{i}e_{a_{i}} ∏_{i≠j} e_{x_{j}})/( ∏_{i=1}^{n} e_{x_{i}})

Der Homomorphismus

ℤ[S] ⟶ ℤ[\overline{S}] vermöge e_{a} ↦ e_{[a,0]} für a ∈ S

setzt sich nach Unterabschnitt 1.1.4 eindeutig fort zu dem Homomorphismus

S^{−1}ℤ[S] ⟶ ℤ[\overline{S}] vermöge e_{a}/e_{x} ↦ e_{[a,x]} für a, x ∈ S

Diese beiden Homomorphismen sind offensichtlich invers. □

Korollar 1.1.9. Seien I_{S} ⊂ ℤ[S] und I\overline{S} ⊂ ℤ[\overline{S}] die Kerne der jeweiligen Augmentation, dann ist für k ≥ 0

S^{−1}I_{S}^{k} ≃ Ik ; \overline{S}

Beweis. Die Kerne werden als Ideal von den Elementen 1 − e_{x} mit x ∈ S über dem jeweiligen Ring erzeugt. Nach Bemerkung 1.1.8(3) überführt Quotientenbildung nach S die Ringe ineinander. Die Behauptung folgt letztendlich durch Induktion nach k. □

Nun einige Rechenregeln und Abkürzungen für Elemente aus ℤ[\overline{S}]:

Bemerkung 1.1.10. Seien a, b, x, y ∈ S und k ≥ 0.

(1) e_{[a,x]} = e_{a}/e_{x}

(2) e_{[a,0]} = e_{a}

(3) e_{[a,x]} = (e_{[x,a]})^{−1}

(4) e_{[a,x]}e_{[b,y]} = e_{[a+b,x+y]}

(5) e_{[a,x]}^{k} = e_{[ka,kx]}

1.2. Partitionen und symmetrische Gruppe. Sei in diesem Abschnitt r > 0.

1.2.1. Partitionen. Sei V ein R-Modul und α_{1}, …, α_{l} > 0 mit α_{1} + ⋯ + α_{l} = r, so heißt (α_{1}, …, α_{l}) ∈ Π^{l}ℕ eine Partition von r der Länge l. Weiter bezeichnen wir mit P_{(r,l)} die Menge aller Partitionen von r der Länge l und nennen P_{r} = ⋃_{1≤l}^{r} P_{(r,l)} die Menge aller Partitionen von r. Wir werden auch α_{(r)} (bzw. α_{(r,l)}) für eine Partition (α_{1}, …, α_{l}) (der Länge l) schreiben.

Wir betrachten (v_{1}, …, v_{r}) ∈ Π^{r}V. Dann gibt es paarweise verschiedene Vektoren w_{1}, …, w_{l} ∈ V, so dass

(v_{1}, …, v_{r}) = (w_{i_{1}}, …, w_{i_{r}}) mit i_{i}, …, i_{r} ∈ {1, …, l}

Dabei kommt der Vektor w_{j} genau α_{j}-mal in (v_{1}, …, v_{r}) vor. Dann ist (α_{1}, …, α_{l}) eine Partition von r.

Die Abbildung

μ_{r}: V ⟶ Π^{r}V vermöge v ⟼ (v, …, v)

liefert uns zu jedem α_{(r,l)} ∈ P_{(r,l)} eine Abbildung

μ_{α_{(r,l)}} : Π^{l}V ⟶ Π^{r}V vermöge (v_{1}, …, v_{l}) ⟼ (μ_{α_{1}}(v_{1}), …, μ_{α_{l}}(v_{l}))

(Diese Abbildung ist ein Gruppen-Homomorphismus von (Π^{l}V, +) nach (Π^{r}V, +).)

Wir werden zum Abschluss dieses Unterabschnittes den Begriff der Partition noch etwas erweitern. Wir werden

γ ∈ ℕ^{l} mit γ_{i} ≥ 0 für i = 1, …, l und ∑_{i=1}^{l} γ_{i} = r

eine erweiterte Partition von r (der Länge l) nennen und schreiben γ ∈ P′_{(r,l)}.

1.2.2. Die symmetrische Gruppe. Sei S_{r} die symmetrische Gruppe auf r Elementen. Mit τ_{ij} ∈ S_{r} werden wir die Transposition bezeichnen, die das i-te mit dem j-ten Element vertauscht. Wir werden mit

sign: S_{r} ⟶ {±1}

den Gruppen-Homomorphismus bezeichnen, der jeder Permutation ihr Signum zuordnet.

Zu einer Partition α_{(r,l)} = (α_{1}, …, α_{l}) ∈ P_{(r,l)} definieren wir wie folgt eine Untergruppe S_{α_{(r,l)}} ⊂ S_{r}

S_{α_{(r,l)}} := S_{α_{1}} × ⋯ × S_{α_{l}} ⊂ S_{r}

Natürlich ist S_{α_{1},...,α_{l}} ≃ S_{α_{σ1},...,α_{σl}} für σ ∈ S_{l}. Der Index von S_{α_{1},...,α_{l}} in S_{r} ist:

((α_{1}, …, α_{l})) := \frac{r!}{α_{1}! ⋯ α_{l}!}

Wir setzen k_{0} = 0 und k_{i} = α_{1} +⋯+α_{i} für 1 ≤ i ≤ l und definieren K_{α_{1},...,α_{l}} ⊂ S_{r} als die Teilmenge, die die folgenden Permutationen enthält

K_{α_{1},...,α_{l}} = {σ ∈ S_{r} | σ(k_{i−1} + 1) < σ(k_{i−1} + 2) < ⋯ < σ(k_{i}) für 1 ≤ i ≤ l}

Diese Menge K_{r_{1},...,r_{l}} enthält ((α_{1}, …, α_{l})) Elemente und ist ein Repräsentantensystem für die Linksnebenklassen von S_{r}/S_{α_{1},...,α_{l}}. D.h. jedes σ ∈ S_{r} lässt sich eindeutig darstellen durch

σ = κ ∘ τ mit τ ∈ S_{α_{1},...,α_{l}} und κ ∈ K_{α_{1},...,α_{l}}

(Vgl. auch [6, S. 251-254].)

Beispiel 1.2.1. Wir betrachten

S_{r−1} × S_{1} = S_{r−1,1} ⊂ S_{r}

Dann ist

K_{r−1,1} = {τ_{i,r} ∈ S_{r} | i = 1, …, r − 1}

1.3. Das Tensorprodukt.

1.3.1. Tensorprodukte. Seien V_{1}, …, V_{r} und W R-Moduln. Die R-multilinearen Abbildungen von V_{1} × ⋯ × V_{r} nach W werden wir mit Mult_{R}(V_{1}, …, V_{r}; W) bezeichnen. Für r = 2 schreiben wir Bil_{R}(V_{1}, V_{2}; W) anstatt Mult_{R}(V_{1}, V_{2}; W).

Wir betrachten den R-Modul R[V_{1} × ⋯ × V_{r}]. Seien v_{i}, v′_{i} ∈ V_{i} für j = 1, …, r und λ ∈ R. Wir betrachten den Untermodul I_{V_{1}···V_{r}}, der von folgenden Vektoren erzeugt wird

(1)  e_{(v_{1},...,λv_{i},...,v_{r})} − λe_{(v_{1},...,v_{i},...,v_{r})}  und
(2)  e_{(v_{1},...,v_{i}+v′_{i},...,v_{r})} − (e_{(v_{1},...,v_{i},...,v_{r})} + e_{(v_{1},...,v′_{i},...,v_{r})})

Der Faktormodul

R[V_{1} × ⋯ × V_{r}]/I_{V_{1}···V_{r}} = V_{1} ⊗_{R} … ⊗_{R} V_{r} = V_{1} ⊗ … ⊗ V_{r}

ist das Tensorprodukt von V_{1}, …, V_{r} über R. Die Elemente in V_{1}⊗_{R}…⊗_{R}V_{r} werden wir mit v_{1} ⊗ … ⊗ v_{r} bezeichnen. Es existiert folgende kanonische R-multilineare Abbildung:

π_{V_{1}···V_{r}}:  V_{1} × ⋯ × V_{r} ⟶ V_{1} ⊗_{R} … ⊗_{R} V_{r}
(v_{1}, …, v_{r}) ↦ v_{1} ⊗ … ⊗ v_{r}

Die Bildelemente unter π_{V_{1}···V_{r}} werden wir zerlegbare Tensoren nennen. Jedes Element v_{1} ⊗ … ⊗ v_{r} ∈ V_{1} ⊗ … ⊗ V_{r} lässt sich als Linearkombination von zerlegbaren Tensoren schreiben; die zerlegbaren Tensoren sind also Erzeuger von V_{1} ⊗ … ⊗ V_{r}. Ist V_{i} für i = 1, …, r frei vom Rang n_{i} über R, so ist V_{1} ⊗ … ⊗ V_{r} frei vom Rang ∏_{i=1}^{r} n_{i} über R.

Das Tensorprodukt hat folgende universelle Eigenschaft: Sei W ein weiterer R-Modul und Ψ: V_{1} × ⋯ × V_{r} ⟶ W R-multilinear, so existiert genau eine R-lineare Abbildung Ψ′: V_{1} ⊗ … ⊗ V_{r} ⟶ W mit Ψ = Ψ′ ∘ π_{V_{1}···V_{r}}. Insbesondere ist

Mult_{R}(V_{1}, …, V_{r}; W) ≃ Hom_{R}(V_{1} ⊗ … ⊗ V_{r}, W)

Die universelle Eigenschaft erlaubt es, für lineare Abbildungen

ψ_{k}: V_{k} ⟶ W_{k}

zwischen den R-Moduln V_{k}, W_{k} mit (k = 1, …, r) die lineare Abbildung

ψ_{1} ⊗ … ⊗ ψ_{r}: V_{1} ⊗ … ⊗ V_{r} ⟶ W_{1} ⊗ … ⊗ W_{r}
v_{1} ⊗ … ⊗ v_{r} ↦ ψ_{1}(v_{1}) ⊗ … ⊗ ψ_{r}(v_{r})

zu definieren.

Sind A_{1}, …, A_{r} R-Algebren, so ist A_{1} ⊗_{R} … ⊗_{R} A_{r} durch komponentenweise Multiplikation eine R-Algebra. A_{1} ⊗ A_{2} ist das Koprodukt der beiden R-Algebren A_{1} und A_{2} in der Kategorie der (kommutativen) Algebren über R.

Für V_{1} = ⋯ = V_{r} = V schreiben wir

I_{r} anstatt I_{V ···V} und π_{r} anstatt π_{V ···V}.

Den Faktormodul

T_{R}^{r}V = T^{r}V = V^{⊗r} = \underbrace{V ⊗_{R} … ⊗_{R} V}_{r-mal} = R[Π^{r}V]/I_{r}

nennen wir die r-te Tensorpotenz von V. Damit ist T^{1}V = V.

Ist V frei vom Rang n über R und eine b_{1}, …, b_{n} Basis, so ist T^{r}V frei und

b_{i_{1}} ⊗ … ⊗ b_{i_{r}} mit i_{1}, …, i_{r} ∈ {1, …, n}

eine Basis. Insbesondere ist T^{r}V dann vom Rang n^{r} über R. Wir setzen T^{0}V = R. In T_{R}^{r}V haben wir folgende Rechenregel:

Bemerkung 1.3.1. Seien v_{1}, …, v_{n} ∈ V und M := Abb({1, …, r}, {1, …, n}), dann ist

(v_{1} + ⋯ + v_{n})^{⊗r} = ∑_{f∈M} v_{f(1)} ⊗ … ⊗ v_{f(r)}

Wir definieren uns folgende Abbildung:

γ_{r} := π_{r} ∘ μ_{r} vermöge v ⟼ v^{⊗r} für r ≥ 0

wobei γ_{0}(v) = 1_{R} für v ∈ V. (Diese Abbildung ist im Allgemeinen kein Homomorphismus! Vgl. die letzte Bemerkung 1.3.1.)

1.3.2. Grundringwechsel. Sei V ein R-Modul und ψ: R ⟶ S ein Ring-Homomor-phismus in einen weiteren Ring S. Dann ist

V ⊗_{R} S vermöge a (v ⊗ b) ↦ v ⊗ a b für v ∈ V und a, b ∈ S

ein S-Modul. Offensichtlich ist R ⊗_{R} S ≃ S. Wir haben eine kanonische R-lineare Abbildung

ι_{V} : V ⟶ V ⊗_{R} S vermöge v ↦ v ⊗ 1,

die ein R-Erzeugendensystem b_{1}, …, b_{r} von V auf ein S-Erzeugendensystem b_{1} ⊗ 1, …, b_{r} ⊗1 von V ⊗_{R} S abbildet. Ist V frei vom Rang n über R, so ist insbesondere V ⊗_{R} S frei vom Rang n über S.

Bemerkung 1.3.2. (Die universelle Eigenschaft von V ⊗_{R} S.) Sei V ein R-Modul und X ein S-Modul. Dann kann man X via ψ auch als R-Modul ansehen, und es existiert zu jeder R-linearen Abbildung f: V ⟶ X genau eine S-lineare Abbildung

f_{(S)} : V ⊗_{R} S ⟶ X mit f = f_{(S)} ∘ ι_{V}.

Beweis. Wir setzen f_{(S)}(v ⊗ a) = af(v). Diese Abbildung ist offensichtlich Slinear und erfüllt f = f_{(S)} ∘ ι_{V}. Sie ist eindeutig bestimmt, denn ι_{V} bildet ein R-Erzeugendensystem von V auf ein S-Erzeugendensystem von V ⊗ S ab. □

Bemerkung 1.3.3. Seien V und W R-Moduln und X ein S-Modul.

(1) Durch die Abbildung

Hom_{S}(V ⊗_{R} S, X) ⟶ Hom_{R}(V, X) mit g ↦ g ∘ ι_{V}

ist sowohl eine R-Isomorphie als auch eine S-Isomorphie gegeben.

(2) Ist g: V → W eine R-lineare Abbildung, dann gibt es genau eine S-lineare Abbildung

g_{S}: V ⊗ S → W ⊗ S mit g_{S}(v ⊗ 1) = g(v) ⊗ 1.

Dabei gilt: g_{S} = g ⊗ id_{S}.

(3) Sind V und W frei von endlichem Rang, dann sind folgende S-Moduln isomorph

Hom_{R}(V, W) ⊗_{R} S ≃ Hom_{S}(V ⊗_{R} S, W ⊗_{R} S)

Beweis. (1) folgt aus Bemerkung 1.3.2.

(2) Man erhält g_{S} durch die Anwendung von Bemerkung 1.3.2 auf ι_{W} ∘ g:

g_{S} = (ι_{W} ∘ g)_{(S)}

Aufgrund der Eindeutigkeit in Bemerkung 1.3.2 ist g_{S} = g ⊗ id_{S}.

(3) Wir wenden Bemerkung 1.3.2 auf die R-lineare Abbildung

Hom_{R}(V, W) ⟶ Hom_{S}(V ⊗ S, W ⊗ S) vermöge f ↦ f^{(S)}

an. Die Bijektivität folgt dann aus Ranggründen. □

Bemerkung 1.3.4. Die Abbildung − ⊗_{R} S ist ein kovarianter Funktor von der Kategorie der R-Moduln (bzw. R-Algebren) in die Kategorie der S-Moduln (bzw. S-Algebren).

Satz 1.3.5. Sei R ein Ring, A eine R-Algebra und seien V_{1}, …, V_{r} R-Moduln. Dann gibt es folgende kanonische A-Isomorphie

(V_{1} ⊗_{R} A) ⊗_{A} … ⊗_{A} (V_{r} ⊗_{R} A) ≃ (V_{1} ⊗_{R} … ⊗_{R} V_{r}) ⊗_{R} A
vermöge  (v_{1} ⊗ a_{1}) ⊗ … ⊗ (v_{r} ⊗ a_{r}) ⟷ (v_{1} ⊗ … ⊗ v_{r}) ⊗ ∏_{i=1}^{r} a_{i}

für v_{i} ∈ V_{i} (i = 1, …, r) und a_{1}, …, a_{r} ∈ A.

Insbesondere haben wir für V = V_{1} = ⋯ = V_{r} eine A-Isomorphie:

T_{A}^{r}(V ⊗_{R} A) ≃ T_{R}^{r}(V) ⊗_{R} A

Beweis. Die Abbildungsvorschrift beschreibt offensichtlich eine Bijektion zwischen den zerlegbaren Tensoren beider A-Moduln. Wie man leicht sieht, entsteht auf diese Weise eine A-lineare Abbildung. □

1.3.3. Dualität und Tensorprodukte. Sei V ein R-Modul. Wir werden mit V^{∗} den Dualraum Hom_{R}(V, R) von V bezeichnen. Ist V frei vom Rang n über R, so ist auch V^{∗} frei vom Rang n über R.

Bemerkung 1.3.6. Seien V_{1}, …, V_{l} freie R-Moduln von endlichem Rang, dann ist folgende Abbildung ein Isomorphismus:

V_{1}^{∗} ⊗ … ⊗ V_{l}^{∗} ⟶^{≃} (V_{1} ⊗ … ⊗ V_{l})^{∗}
ϑ_{1} ⊗ … ⊗ ϑ_{l} ↦ (v_{1} ⊗ … ⊗ v_{l} ↦ ϑ_{1}(v_{1}) ⋯ ϑ_{l}(v_{l}))

1.4. Spezielle Tensorpotenzen. Sei auch in diesem Abschnitt r ≥ 0.

1.4.1. Die symmetrische Tensorpotenz. Sei I_{S} der Untermodul von T^{r}V, der von allen Tensoren der Form

v_{1} ⊗ ⋯ ⊗ v_{r} − v_{σ1} ⊗ ⋯ ⊗ v_{σr} mit σ ∈ S_{r}

erzeugt wird, so gelangen wir durch die Projektion π_{S}: T^{⊗r} → T^{r}V/I_{S} an die r-te symmetrische Tensorpotenz von V über R.

S_{R}^{r}V = S^{r}V := T^{r}V/I_{S}

Mit v_{1}∨⋯∨v_{n} werden wir die Restklasse von v_{1}⊗…⊗v_{r} ∈ V^{⊗r} in S^{r}V bezeichnen. Die Bilder zerlegbarer Tensoren werden wir auch hier zerlegbare Tensoren nennen. Ist (α_{1}, …, α_{l}) eine Partition von r und v_{1}, …, v_{l} ∈ V, so schreiben wir auch

v_{1}^{α_{1}} ∨ ⋯ ∨ v_{l}^{α_{l}} anstatt v_{1} ∨ ⋯ ∨ v_{1} ∨ v_{2} ∨ ⋯ ∨ v_{l} ∨ ⋯ ∨ v_{l}

Es ist S^{0}V ≃ R und S^{1}V ≃ V. Ist V frei vom Rang n und b_{1}, …, b_{n} eine R-Basis von V, dann ist die Menge

{b_{i_{1}}^{α_{1}} ∨ ⋯ ∨ b_{i_{l}}^{α_{l}}|(α_{1}, …, α_{l}) ∈ P_{(r,l)} und 1 ≤ i_{1} < ⋯ < i_{l} ≤ n}

eine R-Basis von V. Insbesondere ist S^{r}V vom Rang \binom{r+n−1}{r} = \binom{r+n−1}{n−1} über R. Wir setzen π_{S^{r}} = π_{S} ∘ π_{r}.

Die symmetrische Tensorpotenz hat folgende universelle Eigenschaft: Sei W ein weiterer R-Modul und Ψ_{S}: Π^{r}V ⟶ W eine R-multilineare Abbildung mit Ψ_{S}(v_{1}, …, v_{r}) = Ψ_{S}(v_{σ1}, …, v_{σr}) für jede Permutation σ ∈ S_{r}, dann existiert genau eine R-lineare Abbildung

Ψ′_{S}: S^{r}V ⟶ W mit Ψ_{S} = π_{S^{r}} ∘ Ψ′_{S}.

Aufgrund dieser Eigenschaft gibt es zu jeder linearen Abbildung ψ: V ⟶ W genau eine lineare Abbildung

S_{R}^{r}(ψ):  S^{r}V ⟶ S^{r}W
v_{1} ∨ ⋯ ∨ v_{r} ↦ ψ(v_{1}) ∨ ⋯ ∨ ψ(v_{r})

1.4.2. Die äußere Tensorpotenz. Sei I_{Λ} der Untermodul von T_{R}^{r}V, der von allen Tensoren der Form

v_{1} ⊗ ⋯ ⊗ v_{r} mit v_{i} = v_{j} für ein Paar (i, j) mit i ≠ j

erzeugt wird, so kommen wir durch π_{Λ} : T^{⊗r} → T^{r}V/I_{Λ} an die r-te äußere Tensorpotenz von V über R.

Λ_{R}^{r}V = Λ^{r}V := T^{r}V/I_{Λ}

Die Restklassen von v_{1}⊗…⊗v_{r} ∈ V^{⊗r} werden wir als v_{1}∧⋯∧v_{r} ∈ Λ^{r}V schreiben. Auch hier nennen wir die Bilder zerlegbarer Tensoren ebenfalls zerlegbare Tensoren und es ist Λ^{0}V ≃ R und Λ^{1}V ≃ V. Ist V frei vom Rang n und b_{1}, …, b_{n} eine R-Basis von V, so ist die Menge

{b_{k_{1}} ∧ ⋯ ∧ b_{k_{r}} | 1 ≤ k_{1} < ⋯ < k_{r} ≤ n}

eine Basis von Λ_{R}^{r}V. Insbesondere ist Λ^{r}V frei vom Rang \binom{n}{r} über R. Wir setzen π_{Λ^{r}} = π_{Λ} ∘ π_{r}.

Die äußere Tensorpotenz hat folgende universelle Eigenschaft: Sei W ein weiterer R-Modul und Ψ_{Λ} : Π^{r}V ⟶ W eine R-multilineare Abbildung mit Ψ_{Λ}(v_{1}, …, v_{r}) = 0 falls v_{i} = v_{j} für ein Paar (i, j) mit i ≠ j, dann existiert genau eine R-lineare Abbildung

Ψ′_{Λ} : Λ^{r}V → W mit Ψ_{Λ} = π_{Λ^{r}} ∘ Ψ′_{Λ}.

Aufgrund dieser Eigenschaft gibt es zu jeder linearen Abbildung ψ: V ⟶ W genau eine lineare Abbildung

Λ^{r}(ψ):  Λ^{r}V ⟶ Λ^{r}W
v_{1} ∧ ⋯ ∧ v_{r} ↦ ψ(v_{1}) ∧ ⋯ ∧ ψ(v_{r})

1.5. Spezielle Algebren und Endomorphismen.

1.5.1. Die Algebra Π^{d}R. In diesem Unterabschnitt werden wir uns eingehender mit der Produktalgebra A := Π^{d}R (d ≥ 1) beschäftigen. Von besonderem Interesse sind für uns die Elemente

e_{i} := (0, …, 0, 1_{R}, 0, …, 0) ∈ Π^{d}R

bei denen an der i-ten Stellen das Einselement aus R steht und alle anderen Einträge 0 sind. Sie bilden eine Basis von Π^{d}R über R und sind sowohl idempotent als auch paarweise orthogonal. Jedes dieser Idempotente erzeugt ein Ideal in Π^{d}R und man sieht

e_{i}A = e_{i}Π^{d}R = e_{i}R für i = 1, …, d

Das Einselement in Π^{d}R erfüllt folgende Identität

1_{A} = ∑_{i=1}^{d} e_{i}

Damit haben wir für A folgendes Ergebnis

A = 1_{A} · A = ( ∑_{i=1}^{d} e_{i})A = ⨁_{i=1}^{d} e_{i}R

Sei V ein freier A-Modul mit Basis b_{1}, …, b_{n}, dann ist V auch ein freier R-Modul mit Basis

e_{i}b_{j} mit 1 ≤ i ≤ d, 1 ≤ j ≤ n

Sei 1 ≤ i ≤ d, dann ist e_{i}V ein R-Modul und die Vektoren e_{i}b_{j} mit 1 ≤ j ≤ n bilden eine R-Basis von e_{i}V und es ist

e_{i}V ≃_{R} V ⊗_{A} e_{i}A ≃_{R} V ⊗_{R} e_{i}R

Bemerkung 1.5.1. Sei 1 ≤ i ≤ d und W ein weiterer A-Modul, dann ist folgende Abbildung ein R-Isomorphismus.

e_{i}(V ⊗_{A} W) ⟶ e_{i}V ⊗_{R} e_{i}W
e_{i}(v ⊗ w) ↦ e_{i}v ⊗ e_{i}w  für v ∈ V, w ∈ W

1.5.2. Die Tensoralgebra T_{R}^{r}(Π^{d}R). Sei r ≥ 1. Generell ist die Tensoralgebra T_{R}^{r}A eine Algebra mit Einselement

1_{A^{⊗r}} = 1_{A} ⊗ … ⊗ 1_{A}

Sei nun A = Π^{d}R und e_{1}, …, e_{d} die orthogonalen Idempotente, die wir im letzten Unterabschnitt kennen gelernt haben.

Bemerkung 1.5.2. Seien i_{1}, …, i_{r}, j_{1}, …, j_{r} ∈ {1, …, d} und I = (i_{1}, …, i_{r}), J = (j_{1}, …, j_{r}). Dann gilt

(e_{i_{1}} ⊗ ⋯ ⊗ e_{i_{r}}) · (e_{j_{1}} ⊗ ⋯ ⊗ e_{j_{r}}) = \{ \begin{matrix}e_{j_{1}} ⊗ ⋯ ⊗ e_{j_{r}} & falls I = J \\ 0 & falls I ≠ J \end{matrix}

Wir haben also in dieser R-Algebra vom Rang d^{r} genau d^{r} orthogonale Idempotente. Sie sind von der Form

e_{i_{1}} ⊗ … ⊗ e_{i_{r}} mit 1 ≤ i_{1} … i_{r} ≤ d

und erzeugen ebenfalls Ideale in T_{R}^{r}V vom Rang 1 über R, denn wir haben nach Bemerkung 1.3.1 auch hier eine Zerlegung der Eins

1_{T_{R}^{r}Π^{d}R} = ∑_{1≤i_{1}...i_{r}≤d} e_{i_{1}} ⊗ … ⊗ e_{i_{r}}

Damit ist

T_{R}^{r}(Π^{d}R) = ⨁_{1≤i_{1}...i_{r}≤d} e_{i_{1}} ⊗ … ⊗ e_{i_{r}}R

und wir sehen anhand der letzten Bemerkung

e_{i_{1}} ⊗ … ⊗ e_{i_{r}} · T_{R}^{r}(Π^{d}R) = e_{i_{1}} ⊗ … ⊗ e_{i_{r}}R

1.5.3. Separable Algebren. Wir werden diesen Unterabschnitt dazu nutzen, die Definition einer separablen Algebra einzuführen. Wir werden eine Körpererweiterung L|K separabel nennen, wenn jedes Element aus L ein über K separables Minimalpolynom hat. Ein Polynom über K nennen wir separabel, wenn es über dem algebraischen Abschluss \overline{K} von K nur einfache Nullstellen hat.

Wir werden eine endlichdimensionale K-Algebra separabel nennen, wenn eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt ist:

Satz 1.5.3. Sei A eine K-Algebra mit dim_{K} A = n. Dann sind folgende Aussagen äquivalent:

(1) Es gibt separable Körpererweiterungen L_{1}, …, L_{r} von K, so dass

A ≃ L_{1} × ⋯ × L_{r} und ∑_{i=1}^{r}[L_{i} : K] = n

(2) Sei \overline{K} der algebraische Abschluss von K, dann ist

A ⊗_{K} \overline{K} ≃ Π^{n}\overline{K}

als \overline{K}-Algebren.

(3) Es existiert eine Körpererweiterung Z|K, so dass

A ⊗_{K} Z ≃ Π^{n}Z

als Z-Algebren.

Eine solche Erweiterung Z|K aus Satz 1.5.3(4) werden wir einen Zerfällungskörper der separablen K-Algebra A nennen.

Sei L|K eine separable Körpererweiterung vom Grad n und F ein minimaler Zerfällungskörper von L, dann wissen wir aus der Galois-Theorie, dass F |K galoisch ist und

L ⊗_{K} F ≃ Π^{n}F

Dieses Ergebnis werden wir für separable Algebren umformulieren:

Bemerkung 1.5.4. Es existiert eine Galoiserweiterung F |K mit F ⊃ L_{i} ⊃ K (für 1 ≤ i ≤ r), so dass

A ⊗_{K} F ≃ Π^{n}F

als F -Algebren.

Sei G die Galoisgruppe von F |K. Den kanonischen Isomorphismus

T_{F}^{r} (V ⊗_{K} F) ⟶ T_{K}^{r}V ⊗_{K} F

werden wir in diesem Unterabschnitt mit ψ bezeichnen.

DER MULTIPLIKATIVE TRANSFER AUF DEM GROTHENDIECK-WITT-RING 15

Lemma 1.5.5. ψ respektiert die Operation der Galoisgruppe von F |K. Beweis. Sei g ∈ G, seien v_{1}, …, v_{d} ∈ V und a_{1}, …, a_{d} ∈ F. Wir sehen, dass

ψ ∘ g((v_{1} ⊗ a_{1}) ⊗ … ⊗ (v_{d} ⊗ a_{d})) = ψ(v_{1} ⊗ g(a_{1}) ⊗ … ⊗ v_{d} ⊗ g(a_{d}))
= (v_{1} ⊗ … ⊗ v_{d}) ⊗ ∏_{i=1}^{d} g(a_{i})
= (v_{1} ⊗ … ⊗ v_{d}) ⊗ g( ∏_{i=1}^{d} a_{i})
= g((v_{1} ⊗ … ⊗ v_{d}) ⊗ ∏_{i=1}^{d} a_{i})
= g ∘ ψ((v_{1} ⊗ a_{1}) ⊗ … ⊗ (v_{d} ⊗ a_{d}))

Also respektiert der Isomorphismus ψ die Operation der Galoisgruppe. □ 1.5.4. Einige Algebren-Endomorphismen. Sei

λ_{x}: A ⟶ A vermöge a ↦ xa

die Linksmultiplikation mit x ∈ A. Bemerkung 1.5.6. Sei V ein freier R-Modul vom Rang n, dann ist Λ_{R}^{n}V frei vom Rang 1 über R. Insbesondere haben wir einen Isomorphismus Λ_{R}^{n}V ≃ R. Beweis. Sei b_{1}, …, b_{n} eine Basis von V und v_{1}, …, v_{n} ∈ V mit v_{i} = ∑_{j=1}^{n} a_{ji}b_{j} für i = 1, …, n. Die lineare Abbildung

Λ_{R}^{n}V ⟶ R vermöge v_{1} ∧ ⋯ ∧ v_{n} ↦ det(a_{ji})

ist aus Dimensionsgründen ein Isomorphismus. □ Bemerkung 1.5.7. Sei A eine R-Algebra, dann haben wir folgenden injektiven Algebra-Homomorphismus

λ_{•}: A ⟶ End_{R}(A) vermöge x ↦ λ_{x}

(bzw. einen Isomorphismus wenn A = R). Beweis. Seien x, y ∈ A. Wegen λ_{xy} = λ_{x} ∘λ_{y} und λ_{x+y} = λ_{x} +λ_{y} ist die Abbildung ein Homomorphismus. Die Injektivität folgt dann aus

λ_{y}(1) = y ≠ x = λ_{x}(1) für y ≠ x

Die Surjektivität im Fall A = R ist klar. □

Insbesondere gibt es zu jedem freien R-Modul V vom Rang n einen R-Algebren-Isomorphismus

δ: End_{R}(Λ^{n}V) ⟶_{Bem.1.5.6}^{≃} End_{R}(R) ⟶_{Bem.1.5.7}^{≃} R

2. Symmetrische Tensoren

Wenn wir in diesem Kapitel von Ringen sprechen, dann meinen wir kommutative Ringe mit Eins. Dementsprechend verstehen wir unter einer Algebra eine kommutative Algebra mit Eins. Wenn wir über andere Ringe oder Algebren reden, werden wir es vorher ankündigen.

2.1. Symmetrische Tensoren. Sei V ein R-Modul. Wir werden in diesem Unterabschnitt nur Tensorprodukte über R betrachten. Eine Untergruppe U ⊆ S_{r} operiert wie folgt auf T^{r}V:

Sei v_{1} ⊗ … ⊗ v_{r} ∈ T^{r}V ein zerlegbarer Tensor und σ ∈ U.

U × T^{r}V ⟶ T^{r}V
(σ, (v_{1} ⊗ … ⊗ v_{r})) ↦ σ • (v_{1} ⊗ … ⊗ v_{r}) := (v_{σ^{−1}1} ⊗ … ⊗ v_{σ^{−1}r})

Diese Operation induziert eine Operation auf Λ^{r}V, denn ist (v_{1}⊗…⊗v_{r}) ∈ V^{⊗r} ein Erzeuger von I_{Λ} mit v_{i} = v_{j} für ein Paar (i, j) mit i ≠ j, dann ist auch v_{σ^{−1}i} = v_{σ^{−1}j} (für σ ∈ S_{r}) und damit

σ • (v_{1} ⊗ … ⊗ v_{r}) ≡ 0 mod I_{Λ} genau dann, wenn (v_{1} ⊗ … ⊗ v_{r}) ≡ 0 mod I_{Λ}

Auf S^{r}V hingegen wird diese Operation trivial.

Die Invarianten unter dieser Operation werden wir mit (T^{r}V)^{U} bezeichnen, sie bilden einen Untermodul von T^{r}V. Für U ⊆ S_{r} definieren wir

γ_{r}: V ⟶ (T^{r}V)^{U} vermöge v ↦ v^{⊗r}

Ist U′ ⊆ U eine Untergruppe von U, dann ist

(T^{r}V)^{U} ⊆ (T^{r}V)^{U′}

ein Untermodul. Wir schreiben kürzer S_{r}V := (T^{r}V)^{S_{r}}. Möchten wir kenntlich machen, über welchem Ring tensoriert wurde, so schreiben wir auch

S_{r}(V |R) := (T_{R}^{r}V)^{S_{r}} = {x ∈ T_{R}^{r}V | σ • x = x für alle σ ∈ S_{r}}

Es ist S_{0}V = R und S_{1}V = V. Ein Element x ∈ S_{r}V werden wir symmetrischen Tensor nennen.

Bemerkung 2.1.1. Seien U_{1} ⊂ S_{k} und U_{2} ⊂ S_{r−k}, dann gilt

(T^{r}V)^{U_{1}×U_{2}} = (T^{k}V)^{U_{1}} ⊗ (T^{r−k}V)^{U_{2}} für 0 ≤ k ≤ r

Sei α_{(r,l)} = (α_{1}, …, α_{l}) ∈ P_{(r,l)} eine Partition, dann definieren wir einen Modul

S_{α_{(r,l)}}V := S_{α_{1}}V ⊗ … ⊗ S_{α_{l}}V = (T^{r}V)^{S_{α_{(r,l)}}}

und eine Abbildung

γ_{α_{(r,l)}} : Π^{l}V ⟶ S_{α_{(r,l)}}V vermöge (v_{1}, …, v_{l}) ↦ v_{1}^{⊗α_{1}} ⊗ … ⊗ v_{l}^{⊗α_{l}}

Beispiel 2.1.2. Für k, l ≥ 0 ist

S_{k}V ⊗ S_{l}V = (T^{k+l}V)^{S_{(k,l)}} ⊇ S_{k+l}V

Dadurch folgt insbesondere:

S_{k}V ⊗ V^{⊗l} ⊇ S_{k+l}V

Sind k, l ≠ 0, dann ist für V ≠ {0} offensichtlich

S_{k}V ⊗ S_{l}V ⊋ S_{k+l}V

Wir können die soeben beschriebene Konstruktion wie folgt verallgemeinern. Seien V_{1}, …, V_{l} weitere R-Moduln, dann definieren wir für beliebige k_{1}, …, k_{l} ≥ 0

S_{(k_{1},...,k_{l})}(V_{1}, …, V_{l}) := S_{k_{1}}V_{1} ⊗ … ⊗ S_{k_{l}}V_{l}

Sei α_{(r,l)} = (α_{1}, …, α_{l}) eine Partition, und seien w_{1}, …, w_{l} ∈ V. Wir erinnern uns an K_{α_{(r,l)}} = K_{α_{1},...,α_{l}} aus Kapitel 1.2 und betrachten die Abbildung γ_{α_{(r,l)}}. Für w_{1} ∈ W_{1}, …, w_{l} ∈ W_{l} definieren wir

w_{1} ⋯ w_{l}^{[α_{(r,l)}]} := ∑_{κ∈K_{α_{(r,l)}}} κ • γ_{α_{(r,l)}}(w_{1}, …, w_{l}) = ∑_{κ∈K_{α_{(r,l)}}} κ • (w_{1}^{⊗α_{1}} ⊗ … ⊗ w_{l}^{α_{l}})

Seien v, w ∈ V und r ≥ 0, dann ist in dieser Schreibweise

v^{[r]} = v^{⊗r}
vw^{[1,1]} = v ⊗ w + w ⊗ v

Bemerkung 2.1.3. Ist K′ ein weiteres Repräsentantensystem von S_{r}/S_{α_{(r,l)}}, dann ist

w_{1} ⋯ w_{l}^{[α_{(r,l)}]} = ∑_{κ∈K′} κ • γ_{α_{(r,l)}}(w_{1}, …, w_{l})

Beweis. Sei σ ∈ S_{r}, dann ist

σ • γ_{α_{(r,l)}}(w_{1}, …, w_{l}) = τ • γ_{α_{(r,l)}}(w_{1}, …, w_{l})  für alle τ ∈ σS_{α_{(r,l)}}  □

Wir haben zwei Spezialfälle gesehen, in denen w_{1} ⋯ w_{l}^{[α_{(r,l)}]} ein symmetrischer Tensor war. Mit Hilfe der letzten Bemerkung sieht man schnell, dass w_{1} ⋯ w_{l}^{[α_{(r,l)}]} auch im Allgemeinen symmetrisch ist.

Lemma 2.1.4. w_{1} ⋯ w_{l}^{[α_{(r,l)}]} ∈ S_{α_{(r,l)}}V ist ein symmetrischer Tensor.

Beweis. Sei σ ∈ S_{r}. Dann ist

σK_{α_{(r,l)}} := {σ ∘ κ | κ ∈ K_{α(r,l)}}

ein anderes Repräsentantensystem für S_{r}/S_{α_{(r,l)}}. Jetzt sieht man schnell, dass

σ • w_{1} ⋯ w_{l}^{[α_{(r,l)}]} = ∑_{κ∈K_{α_{(r,l)}}}(σ ∘ κ) • γ_{α_{(r,l)}}(w_{1}, …, w_{l})

= ∑_{κ′∈σK_{α_{(r,l)}}} κ′ • γ_{α_{(r,l)}}(w_{1}, …, w_{l})

= ∑_{κ∈K_{α_{(r,l)}}} κ • γ_{α_{(r,l)}}(w_{1}, …, w_{l})  = w_{1} ⋯ w_{l}^{[α_{(r,l)}]}

□

Diese Definition der w_{1} ⋯ w_{l}^{(α_{1},...,α_{l})} ∈ S_{r}V lässt sich problemlos auch auf erweiterte Partitionen mit α_{i} ≥ 0 ausweiten. Wenn wir es nicht ausdrücklich sagen, werden wir diese Schreibweise nur für normale Partitionen verwenden und α_{i} > 0 voraussetzen.

Manchmal wird es sinnvoll sein, den elementarsymmetrischen Tensor aus S_{r}V zu betrachten, der von dem zerlegbaren Tensor v_{1} ⊗ … ⊗ v_{r} ∈ V^{⊗r} erzeugt wird. Wie wir wissen, gibt es ein l-Tupel (w_{1}, …, w_{l}) ∈ Π^{l}V mit paarweise verschiedenen Vektoren w_{1}, …, w_{l} ∈ V und eine, durch die Reihenfolge der w_{i} eindeutig bestimmte, Partition α_{(r,l)} = (α_{1}, …, α_{l}) ∈ P_{(r,l)}, so dass

v_{1} ⊗ … ⊗ v_{r} = κ • γ_{α_{(r,l)}}(w_{1}, …, w_{l}) für ein κ ∈ S_{r}

Da γ_{α_{(r,l)}}(w_{1}, …, w_{l}) ∈ S_{α_{(r,l)}}V ist, und da K_{α_{(r,l)}} ein Repräsentantensystem von S_{r}/S_{α_{(r)}} ist, können wir sogar κ ∈ K_{α_{(r,l)}} annehmen. Das Element κ ∈ K_{α_{(r,l)}} ist durch die Reihenfolge der w_{i} eindeutig bestimmt, es gilt jedoch

w_{1} ⋯ w_{l}^{[α_{(r,l)}]} = w_{σ1} ⋯ w_{σl}^{[α_{σ1},...,α_{σl}]} für σ ∈ S_{l}

Also macht es Sinn

𝔼_{(v_{1},...,v_{r})} := w_{1} ⋯ w_{l}^{[α_{(r,l)}]}

als den von v_{1} ⊗ … ⊗ v_{r} erzeugten elementarsymmetrischen Tensor zu bezeichnen. Wir haben beispielsweise

𝔼_{(v,...,v)} = v^{[r]}  für v ∈ V
𝔼_{(v_{1},...,v_{r})} = v_{1} … v_{r}^{[1,...,1]} für paarweise verschiedene v_{1}, …, v_{r} ∈ V

2.2. Ein Erzeugendensystem für symmetrische Tensoren. Sei nun V ein R-Modul mit Basis b_{1}, …, b_{n}.

Lemma 2.2.1. Die Tensoren

𝔼_{(b_{j_{1}} ,...,b_{jr})} 1 ≤ j_{1}, …, j_{r} ≤ n

sind ein Erzeugendensystem für S_{r}V. Oder anders formuliert: Die Tensoren

b_{i_{1}} ⋯ b_{i_{l}}^{[α_{(r,l)}]} mit α_{(r,l)} ∈ P_{(r)} und 1 ≤ l ≤ r

sind ein Erzeugendensystem von S_{r}V.

(Man kann natürlich annehmen, dass 1 ≤ i_{1} < ⋯ < i_{l} ≤ n.)

Beweis. Wir überlegen uns zunächst die R-Modulstruktur von V^{⊗r} und erkennen

V^{⊗r} = ⨁_{1≤i_{1},...,i_{r}≤n}(b_{i_{1}} ⊗ … ⊗ b_{i_{r}})R

Folglich können wir jeden symmetrischen Tensor x ∈ S_{r}V ⊂ V^{⊗r} darstellen durch eine Linearkombination

x = ∑_{(i_{1},...,i_{r})∈H} a_{(i_{1},...,i_{r})} b_{i_{1}} ⊗ … ⊗ b_{i_{r}}

mit a_{(i_{1},...,i_{r})} ∈ R\{0} und einer endlichen Menge

H ⊂ {(i_{1}, …, i_{r}) | 1 ≤ i_{1}, …, i_{r} ≤ n}

Da x symmetrisch ist und die b_{i_{1}} ⊗…⊗b_{i_{r}} linear unabhängig sind, gilt offensichtlich

(σ^{−1}i_{1}, …, σ^{−1}i_{r}) ∈ H für σ ∈ S_{r} und (i_{1}, …, i_{r}) ∈ H

Folglich ist

x − a_{(i_{1},...,i_{r})} 𝔼_{(b_{i_{1}} ,...,b_{ir})}

ein symmetrischer Tensor mit weniger Summanden als x, und die Behauptung folgt induktiv. □

Eine Basis von S_{r}V anzugeben, ist also selbst in diesem einfachen Fall etwas schwieriger. Sei

B_{(n,l)} = {(i_{1}, …, i_{l}) ∈ ℕ^{l} | 1 ≤ i_{1} < ⋯ < i_{l} ≤ n}

die Menge der aufsteigenden l-elementigen Teilmengen von {1, …, n}, dann sind die

b_{i_{1}} … b_{i_{l}}^{[α_{(r,l)}]} mit ((i_{1}, …, i_{l}), α_{(r,l)}) ∈ ⋃_{l=1}^{n} (B_{(n,l)} × P_{(r,l)})

wie in Lemma 2.2.1 ein Erzeugendensystem. Wir schreiben I_{l} für (i_{1}, …, i_{l}) ∈ B_{(n,l)}. Sei nun

(I_{l}, α_{(r,l)}) ∈ ⋃_{l=1}^{n} (B_{(n,l)} × P_{(r,l)}) =: B_{r,n}

Je zwei Elemente dieser Menge sind verschieden, und jeder Basisvektor von V^{⊗r} kommt in genau einer Summe genau einmal vor. Deshalb ist

S_{r}V = ⨁_{(I_{l};α_{(r,l)})∈B_{r,n}} b_{i_{1}} … b_{i_{l}}^{[α_{(r,l)}]} R

Insbesondere kann man durch B_{r,n} eine R-Basis für S_{r}V angeben.

Wenn wir erweiterte Partitionen zulassen, verändert sich die Formel wie folgt:

S_{r}V = ⨁_{α_{(r,n)}∈P′_{r,n}} b_{1} … b_{n}^{[α_{(r,n)}]} R

In manchen Fällen sind Erzeuger weitaus einfacher anzugeben. Wir sind speziell an dem Fall interessiert, in dem S_{r}V von den Tensoren γ_{r}(v) = v^{⊗r} ∈ V^{⊗r} erzeugt wird.

Bemerkung 2.2.2. S_{2}V wird von Tensoren der Form v^{⊗2} = v⊗v (v ∈ V) erzeugt.

Beweis. Seien v, w ∈ V.

(v ⊗ w) + (w ⊗ v) = (v + w ⊗ v + w) − (v ⊗ v) − (w ⊗ w)
□

Bemerkung 2.2.3. Ist K ein unendlicher Körper und V ein K-Vektorraum, dann wird S_{r}V von den Vektoren v^{⊗r} (v ∈ V) erzeugt.

Beweis. Der Beweis zu dieser Bemerkung ist keineswegs offensichtlich, deshalb gehen wir in dieser Arbeit nicht näher auf ihn ein. □

2.3. Grundringwechsel von symmetrischen Tensoren. Wir werden uns in diesem Abschnitt eine für den weiteren Verlauf sehr wichtige Aussage erarbeiten.

Seien V ein R-Modul und A eine R-Algebra. Mit den symmetrischen Tensoren in T_{A}^{r}(V ⊗_{R} A) sind wir nach Korollar 1.3.5 in folgender Situation:

T_{A}^{r}(V ⊗_{R} A) ⟶^{≃} T_{R}^{r}(V) ⊗_{R} A
↑  ↑
S_{r}(V ⊗_{R} A|A)  S_{r}(V |R) ⊗_{R} A

Satz 2.3.1. Sei U ⊆ S_{r} eine Untergruppe. Dann haben wir eine A-Isomorphie

(T_{A}^{r}(V ⊗_{R} A))^{U} ≃ (T_{R}^{r}V)^{U} ⊗_{R} A

Beweis. Seien v_{1}, …, v_{r} ∈ V, a_{1}, …, a_{r} ∈ A und σ ∈ S_{r}. Wie man sieht, gilt unter der kanonischen Isomorphie aus Satz 1.3.5

σ • ((v_{1} ⊗ a_{1}) ⊗ … ⊗ (v_{r} ⊗ a_{r})) ⟷ ∏_{i=1}^{r} a_{i} · (σ • (v_{1} ⊗ … ⊗ v_{r}) ⊗ 1)

Damit ist ein beliebiger Tensor aus T_{A}^{r}(V ⊗_{R} A) genau dann invariant unter der Operation von U ⊆ S_{r}, wenn sein Bild in T_{R}^{r}(V) ⊗_{R} A invariant ist. □

Korollar 2.3.2. Damit haben wir eine kanonische A-Isomorphie

S_{r}(V ⊗_{R} A|A) ≃ S_{r}(V |R) ⊗ A
(v_{1} ⊗ a_{1}) ⋯ (v_{l} ⊗ a_{l})^{[α_{1},...,α_{l}]} ⟷ v_{1} ⋯ v_{l}^{[α_{1},...,α_{l}]} ⊗ a_{1}^{α_{1}} ⋯ a_{l}^{α_{l}}

Beweis. Für U = S_{r} ist dies genau die in Satz 2.3.1 angegebene Isomorphie. □

Korollar 2.3.3. Seien V_{1}, …, V_{l} R-Moduln, k_{1}, …, k_{l} ≥ 0 und A eine R-Algebra. Dann haben wir folgende A-Isomorphie:

S_{(k_{1},...,k_{l})}(V_{1} ⊗_{R} A, …, V_{l} ⊗_{R} A|A) ≃ (S_{(k_{1},...,k_{l})}(V_{1}, …, V_{l}|R)) ⊗_{R} A

Bemerkung 2.3.4. Ist A eine separable K-Algebra und F |K die Galoiserweiterung die wir in Unterabschnitt 1.5.3 eingeführt haben. Dann respektiert diese Isomorphie die Operation der Galoisgruppe von F |K.

In Zukunft wird folgende Situation noch von besonderem Interesse für uns sein. Sei R[t_{1}, …, t_{m}] der Polynomring in m Unbestimmten über R, dann definieren wir

V [t_{1}, …, t_{m}] := V ⊗_{R} R[t_{1}, …, t_{m}]

Bemerkung 2.3.5.

T_{R[t_{1},...,t_{m}]}^{r}(V [t_{1}, …, t_{m}]) ≃ T_{R}^{r}(V) ⊗_{R} R[t_{1}, …, t_{m}]

Insbesondere haben wir nach Korollar 2.3.2 eine R[t_{1}, …, t_{m}]-Isomorphie

S_{r}(V [t_{1}, …, t_{m}]|R[t_{1}, …, t_{m}]) ≃ S_{r}(V |R) ⊗ R[t_{1}, …, t_{m}]

2.4. Algebren auf Tensorpotenzen. Sei V nun wieder ein Modul über dem Ring R. Wir definieren

T_{R}^{•}V := ⨁_{r≥0} T_{R}^{r}V

Dieser R-Modul hat durch die folgende bilineare Abbildung die Struktur einer graduierten R-Algebra.

Seien (v_{1} ⊗ … ⊗ v_{k}) ∈ V^{⊗k} und (w_{1} ⊗ … ⊗ w_{l}) ∈ V^{⊗l} zerlegbare Tensoren.

T^{•}V × T^{•}V ⟶ T^{•}V
(v_{1} ⊗ … ⊗ v_{k}), (w_{1} ⊗ … ⊗ w_{l}) ↦ (v_{1} ⊗ … ⊗ v_{k} ⊗ w_{1} ⊗ … ⊗ w_{l})

Durch π_{S} (bzw. π_{Λ}) wird auch S^{r}V (bzw. Λ^{r}V) zu einer graduierten R-Algebra S^{•}V (bzw. Λ^{•}V). Die Multiplikation sieht hier wie folgt aus:

(v_{1} ∨ ⋯ ∨ v_{k}), (w_{1} ∨ ⋯ ∨ w_{l}) ⟼ (v_{1} ∨ ⋯ ∨ v_{k} ∨ w_{1} ∨ ⋯ ∨ w_{l})

bzw.

(v_{1} ∧ ⋯ ∧ v_{k}), (w_{1} ∧ ⋯ ∧ w_{l}) ⟼ (v_{1} ∧ ⋯ ∧ v_{k} ∧ w_{1} ∧ ⋯ ∧ w_{l})

Diese Struktur vererbt sich, wie wir bereits in Beispiel 2.1.2 gesehen haben, in der Form leider nicht auf S_{r}V, aber wenn V frei von endlichem Rang ist, können wir auf ähnliche Weise ein Produkt definieren. Sei

S_{•}V := ⨁_{r≥0} S_{r}V

Lemma 2.4.1. Seien x ∈ S_{l}V und y ∈ S_{k}V, dann ist

∑_{τ∈K_{l,k}} τ • (x ⊗ y) ∈ S_{l+k}V

Beweis. Der Beweis hierzu ist eine leichte Abwandlung des Beweises von Lemma 2.1.4. Wir rechnen diese Behauptung auf elementarsymmetrischen Tensoren nach, indem wir 𝔼_{v_{1},...,v_{l}} ∈ S_{l}V und 𝔼_{w_{1},...,w_{k}} ∈ S_{k}V betrachten. Der Tensor

𝔼_{v_{1},...,v_{l}} ⊗ 𝔼_{w_{1},...,w_{k}}

ist invariant unter der Operation der Untergruppe S_{(l,k)} ⊂ S_{r}.

Für σ ∈ S_{l+k} ist σK_{l,k} ein anderes Repräsentantensystem für S_{l+k}/S_{(l,k)} und es folgt:

σ • ( ∑_{τ∈K_{l,k}} τ • (𝔼_{v_{1},...,v_{l}} ⊗ 𝔼_{w_{1},...,w_{k}})) = ∑_{τ∈σK_{l,k}} τ • (𝔼_{v_{1},...,v_{l}} ⊗ 𝔼_{w_{1},...,w_{k}})
= ∑_{τ∈K_{l,k}} τ • (𝔼_{v_{1},...,v_{l}} ⊗ 𝔼_{w_{1},...,w_{k}})
□

Wir schreiben

x ∗ y := ∑_{τ∈K_{l,k}} τ • (x ⊗ y)

Diese Abbildung ist bilinear und kommutativ.

Beispiel 2.4.2.

(1) Sei 0 ≤ k ≤ r und vw^{[k,r−k]} ∈ S_{r}V ein elementarsymmetrischer Tensor mit v, w ∈ V und v ≠ w. Dann gilt

vw^{[k,r−k]} = v^{⊗k} ∗ w^{⊗r−k}

(2) Für v ∈ V und k, l ≥ 0 gilt jedoch

v^{⊗k} ∗ v^{⊗l} = ((k, l)) v^{⊗k+l} = \binom{k + l}{k} v^{⊗k+l}

Wir haben folgende Rechenregel:

Lemma 2.4.3. Seien v_{1}, v_{2} ∈ V.

(v_{1} + v_{2})^{⊗r} = ∑_{k=0}^{r} v_{1}^{⊗k} ∗ v_{2}^{⊗r−k}

Beweis. Sei M := Abb({1, …, r}, {1, 2}). Wir wissen aus Bemerkung 1.3.1, dass

(v_{1} + v_{2})^{⊗r} = ∑_{f∈M} v_{f(1)} ⊗ … ⊗ v_{f(r)}

Jeder einzelne Summand ist ein zerlegbarer Tensor. Wir können ohne Einschränkung v_{1} ≠ v_{2} voraussetzen.

Wie wir wissen, besteht die Summe ∑_{f∈M} v_{f(1)} ⊗ … ⊗ v_{f(r)} aus 2^{r} paarweise verschiedenen Summanden. Der elementarsymmetrische Tensor v_{1}^{⊗k} ∗ v_{2}^{⊗r−k} besteht aus \binom{r}{k} paarweise verschiedenen Summanden. Nach dem binomischen Lehrsatz haben die beiden Summen ∑_{f∈M} v_{f(1)} ⊗ … ⊗ v_{f(r)} und ∑_{k=0}^{r} v_{1}^{⊗k} ∗ v_{2}^{⊗r−k} die gleiche Anzahl an Summanden und offensichtlich kommt jeder Summand aus ∑_{f∈M} v_{f(1)} ⊗ … ⊗ v_{f(r)} auch einmal in der Summe ∑_{k=0}^{r} v_{1}^{⊗k} ∗ v_{2}^{⊗r−k} vor. □

Bemerkung 2.4.4. Seien r, n ≥ 0 und v_{1} + ⋯ + v_{n} ∈ V, dann erhält man durch Iteration die Formel

(v_{1} + ⋯ + v_{n})^{⊗r} = ∑_{α_{(r,n)}∈P′_{(r,n)}} v_{1} … v_{n}^{[α_{(r,n)}]}

Nachdem wir uns mit einzelnen Elementen dieser Algebra auseinander gesetzt haben, werden wir uns jetzt mit den einzelnen Summanden in der direkten-Sum-men-Zerlegung beschäftigen. Seien dazu V_{1}, …, V_{r} freie R-Moduln von endlichem Rang. Dann bezeichnen wir ähnlich wie in Abschnitt 2.1

σ • (V_{1} ⊗ … ⊗ V_{r}) := V_{σ^{−1}1} ⊗ … ⊗ V_{σ^{−1}r} für σ ∈ S_{r}

Auch in diesem Fall haben wir ein besonderes Interesse an der direkten Summe

⨁_{κ∈K_{α(r,l)}} κ • (V_{1}^{⊗α_{1}} ⊗ … ⊗ V_{l}^{⊗α_{l}}) für α_{(r,l)} = (α_{1}, …, α_{l}) ∈ P_{(r,l)}

Wir werden uns ausführlich mit dem Fall l = 2 beschäftigen und betrachten den R-Modul

⨁_{κ∈K_{(k,r−k)}} κ • (V_{1}^{⊗k} ⊗ V_{2}^{⊗r−k})

Analog zu Lemma 2.4.3 können wir sehen, dass

T_{R}^{r}(V_{1} ⊕ V_{2}) = ⨁_{k=0}^{r} ⨁_{κ∈K_{(k,r−k)}} κ • (V_{1}^{⊗k} ⊗ V_{2}^{⊗r−k})

Aus Abschnitt 1.2 wissen wir, dass die Menge K_{(k,r−k)} genau ((k, r − k)) Elemente enthält. Um die folgenden Ergebnisse besser formulieren zu können, werden wir sie durchnummerieren. Wir setzen

K_{(k,r−k)} = {κ_{1}, …, κ_{((k,r−k))}}

wobei wir annehmen, dass κ_{1} = id ist. Die Elemente in

⨁_{i=1}^{((k,r−k))} κ_{i} • (V_{1}^{⊗k} ⊗ V_{2}^{⊗r−k})

werden wir mit

x^{1} ⊗ y^{1} + ⋯ + x^{((k,r−k))} ⊗ y^{((k,r−k))}

bezeichnen, wobei x^{i} ⊗ y^{i} ∈ κ_{i} • (V_{1}^{⊗k} ⊗ V_{2}^{⊗r−k}) ist.

Offensichtlich ist

κ_{j}(x^{1} ⊗ y^{1}) ∈ κ_{j} • (V_{1}^{⊗k} ⊗ V_{2}^{⊗r−k}) für 1 ≤ j ≤ ((k, r − k))

bzw.

κ_{j}(v^{i} ⊗ w^{i}) ∈ (κ_{j} ∘ κ_{i}) • (V_{1}^{⊗k} ⊗ V_{2}^{⊗r−k}) für 1 ≤ i, j ≤ ((k, r − k))

(Man beachte, dass κ_{j} ∘ κ_{i} im Allgemeinen kein Element aus K_{(k,r−k)} ist! Wir schreiben κ_{j} ∘ κ_{i} stellvertretend für das Element aus K_{(k,r−k)}, das mit κ_{j} ∘ κ_{i} in einer Restklasse liegt.)

Wir betrachten nun den R-Modul

( ⨁_{i=1}^{((k,r−k))} κ_{i} • (V_{1}^{⊗k} ⊗ V_{2}^{⊗r−k}))^{S_{r}}

Der nächsten Bemerkung werden wir entnehmen können, dass dieser R-Modul nicht der Nullmodul ist, wenn V_{1}, V_{2} ≠ {0} und r > 0 ist.

Für k = r haben wir

( ⨁_{i=1}^{((k,r−k))} κ_{i} • (V_{1}^{⊗k} ⊗ V_{2}^{⊗r−k}))^{S_{r}} = S_{r}V_{1}

Bemerkung 2.4.5. Sei 0 ≤ k ≤ r und seien x ∈ S_{k}V_{1} und y ∈ S_{r−k}V_{2}, dann ist

∑_{i=1}^{((k,r−k))} κ_{i} • (x ⊗ y) ∈ ( ⨁_{i=1}^{((k,r−k))} κ_{i} • (V_{1}^{⊗k} ⊗ V_{2}^{⊗r−k}))^{S_{r}}

Beweis. Der Beweis hierzu ist genau wie der Beweis zu Lemma 2.4.1 eine leichte Abwandlung des Beweises von Lemma 2.1.4. Wir rechnen diese Behauptung auf elementarsymmetrischen Tensoren nach, indem wir 𝔼_{v_{1},...,v_{k}} ∈ S_{k}V_{1} und 𝔼_{w_{1},...,w_{r−k}} ∈ S_{r−k}V_{2} betrachten. Das Element 𝔼_{v_{1},...,v_{k}} ⊗𝔼_{w_{1},...,w_{r−k}} ist invariant unter der Operation der Untergruppe S_{(k,r−k)}, und folglich hängt der Ausdruck

∑_{τ∈K_{(k,r−k)}} τ • (𝔼_{v_{1},...,v_{k}} ⊗ 𝔼_{w_{1},...,w_{r−k}})

nicht von der Wahl von K_{(k,r−k)} als ein Repräsentantensystem für S_{r}/S_{(k,r−k)} ab. Für σ ∈ S_{r} ist σK_{(k,r−k)} ein anderes Repräsentantensystem. □

Bemerkung 2.4.6. Sei 0 ≤ k ≤ r und

x^{1} ⊗ y^{1} + ⋯ + x^{((k,r−k))} ⊗ y^{((k,r−k))} ∈ ( ⨁_{i=1}^{((k,r−k))} κ_{i} • (V_{1}^{⊗k} ⊗ V_{2}^{⊗r−k}))^{S_{r}}

Dann ist

κ_{i}(x^{1} ⊗ y^{1}) = x^{i} ⊗ y^{i} für i = 1, …, ((k, r − k))

Beweis. Da x^{1} ⊗ y^{1} + ⋯ + x^{((k,r−k))} ⊗ y^{((k,r−k))} invariant unter S_{r} ist und

κ_{j}(x^{i} ⊗ y^{i}) ∈ (κ_{j} ∘ κ_{i}) • (V_{1}^{⊗k} ⊗ V_{2}^{⊗r−k}) für 1 ≤ i, j ≤ ((k, r − k))

folgt die Behauptung. □

Lemma 2.4.7. Sei 0 ≤ k ≤ r.

S_{k}V_{1} ⊗ S_{r−k}V_{2} ≃ ( ⨁_{i=1}^{((k,r−k))} κ_{i} • (V_{1}^{⊗k} ⊗ V_{2}^{⊗r−k}))^{S_{r}}

Beweis. Sei

x^{1} ⊗ y^{1} + ⋯ + x^{((k,r−k))} ⊗ y^{((k,r−k))} ∈ ( ⨁_{i=1}^{((k,r−k))} κ_{i} • (V_{1}^{⊗k} ⊗ V_{2}^{⊗r−k}))^{S_{r}}

Dann ist nach der letzten Bemerkung 2.4.6

x^{1} ⊗ y^{1} + ⋯ + x^{((k,r−k))} ⊗ y^{((k,r−k))} = ∑_{i=1}^{((k,r−k))} κ_{i} • (x^{1} ⊗ y^{1})

Das Element x^{1} ⊗ y^{1} ∈ T^{k}V_{1} ⊗ T^{r−k}V_{2} ist dabei ein Element aus S_{k}V_{1} ⊗ S_{r−k}V_{2}, denn wenn die Summe ∑_{i=1}^{((k,r−k))} κ_{i} • (x^{1} ⊗ y^{1}) invariant unter der Operation der Gruppe S_{r} ist, ist sie insbesondere invariant unter der Operation von S_{(k,r−k)}. Sei σ ∈ S_{(k,r−k)} ⊆ S_{r}. Dann ist

σ • ( ∑_{i=1}^{((k,r−k))} κ_{i} • (x^{1} ⊗ y^{1})) = ∑_{i=1}^{((k,r−k))} κ_{i} • (x^{1} ⊗ y^{1})

und weil σ • x^{1} ⊗ y^{1} ∈ T^{k}V_{1} ⊗ T^{r−k}V_{2} ist, folgt

σ • x^{1} ⊗ y^{1} = x^{1} ⊗ y^{1}

Nun ist

∑_{i=1}^{((k,r−k))} κ_{i} • (x^{1} ⊗ y^{1}) ⟼ x^{1} ⊗ y^{1} ⟼ ∑_{i=1}^{((k,r−k))} κ_{i} • (x^{1} ⊗ y^{1})

die Identität auf ( ⨁_{i=1}^{((k,r−k))} κ_{i} • (V_{1}^{⊗k} ⊗ V_{2}^{⊗r−k}))^{S_{r}}. Die Abbildung

x ⊗ y ⟼ ∑_{i=1}^{((k,r−k))} κ_{i} • (x ⊗ y) für x ⊗ y ∈ S_{k}V_{1} ⊗ S_{r−k}V_{2}

ist offensichtlich injektiv, also folgt die Behauptung. □

Offensichtlich gibt es eine kanonische R-lineare Abbildung

S_{r}V ⟶ S_{r}(V ⊕ W) vermöge v_{1} … v_{l}^{[α_{(r,l)}]} ↦ (v_{1}, 0) … (v_{l}, 0)^{[α_{(r,l)}]}

für elementarsymmetrische Tensoren v_{1} … v_{l}^{[α_{(r,l)}]} ∈ S_{r}V.

Satz 2.4.8. Seien V und W freie R-Moduln von endlichem Rang und r ≥ 0. Dann ist

⨁_{k=0}^{r}(S_{k}V_{1} ⊗ S_{r−k}V_{2}) ≃ S_{r}(V_{1} ⊕ V_{2}) vermöge ∑_{k=0}^{r} x_{k} ⊗ y_{k} ↦ ∑_{k=0}^{r}(x_{k}, 0) ∗ (0, y_{k})

für x_{k} ∈ S_{k}V_{1} und y_{k} ∈ S_{r−k}V_{2} für alle k = 0, …, r.

Beweis.

S_{r}(V_{1} ⊕ V_{2})  =  (T_{R}^{r}(V_{1} ⊕ V_{2}))^{S_{r}}
=  ( ⨁_{k=0}^{r} ⨁_{i=1}^{((k,r−k))} κ_{i} • (V_{1}^{⊗k} ⊗ V_{2}^{⊗r−k}))^{S_{r}}

=  ⨁_{k=0}^{r} ( ⨁_{i=1}^{((k,r−k))} κ_{i} • (V_{1}^{⊗k} ⊗ V_{2}^{⊗r−k}))^{S_{r}}

≃^{Lemma 2.4.7} ⨁_{k=0}^{r} S_{k}V_{1} ⊗ S_{r−k}V_{2}

Aus Lemma 2.4.7 folgt ebenfalls die oben genannte Abbildungsvorschrift. □

Bemerkung 2.4.9. Sei α_{(r,l)} = (α_{1}, …, α_{l}) ∈ P_{(r,l)}, dann gibt es offensichtlich eine Isomorphie

( ⨁_{κ∈K_{α(r,l)}} κ • (V_{1}^{⊗α_{1}} ⊗ … ⊗ V_{l}^{⊗α_{l}}))^{S_{r}} ≃ S_{α_{1}}V_{1} ⊗ … ⊗ S_{α_{l}}V_{l}

Korollar 2.4.10. Seien V_{1}, …, V_{n} freie R-Moduln, dann erhält man analog zu Bemerkung 2.4.4 und Satz 2.4.8 aus der letzten Bemerkung, dass

S_{r}( ⨁_{i=1}^{n} V_{i}) ≃ ⨁_{α_{(r,n)}∈P′_{(r,n)}}(S_{α_{1}}V_{1} ⊗ … ⊗ S_{α_{n}}V_{n})

2.5. Der Funktor S_{r}. Den Übergang von einem R-Modul V in einen R-Modul S_{r}(V |R) kann man auch als einen kovarianten Funktor von der Kategorie der R-Moduln in sich sehen. Wir bilden V und f: V ⟶ W für zwei R-Moduln V, W wie folgt ab:

V ⟼ S_{r}(V |R)
f: V → W ⟼ S_{r}(f|R) := f^{⊗r}|_{S_{r}(V |R)} : S_{r}(V |R) → S_{r}(W |R)

Für f: V ⟶ W und g: W ⟶ U sehen wir sofort

S_{r}(id_{V}) = (id_{V})^{⊗r}|_{S_{r}V} = id_{V^{⊗r}}|_{S_{r}V} = id_{S_{r}V}

S_{r}(g ∘ f) = (g ∘ f)^{⊗r}|_{S_{r}V} = (g^{⊗r} ∘ f^{⊗r})|_{S_{r}V} = g^{⊗r}|_{S_{r}W} ∘ f^{⊗r}|_{S_{r}V} = S_{r}g ∘ S_{r}f

Wie wir in Abschnitt 2.3 gesehen haben, erhält dieser Funktor einen Grundringwechsel.

Wir werden uns jetzt etwas mit den Folgerungen beschäftigen, die aus dem Grundringwechsel resultieren. Speziell beschäftigen wir uns mit dem Polynomring

R[t_{1}, …, t_{m}]

von dem wir wissen, dass dort die Monome eine R-Basis bilden. Für einen beliebigen R-Modul V haben wir

V [t_{1}, …, t_{m}] = ⨁_{k_{1}+···+k_{m}≥0} V ⊗ t_{1}^{k_{1}} ⋯ t_{m}^{k_{m}} mit k_{1}, …, k_{m} ≥ 0

Insbesondere haben wir nach Korollar 2.3.2

S_{r}(V [t_{1}, …, t_{m}]|R[t_{1}, …, t_{m}]) ≃ ⨁_{k_{1}+···+k_{m}=r} S_{r}(V |R) ⊗ t_{1}^{k_{1}} ⋯ t_{m}^{k_{m}}

Sei v_{1}, …, v_{r} ∈ V. Wir setzen

\overline{v} := v_{1}t_{1} + ⋯ + v_{m}t_{m} ∈ V [t_{1}, …, t_{m}]

Dann ist unter dieser kanonischen Isomorphie

\overline{v}^{⊗r} ⟼ ∑_{k_{1}+···+k_{m}=r} v_{1} ⋯ v_{m}^{[k_{1},...,k_{m}]} ⊗ t_{1}^{k_{1}} ⋯ t_{m}^{k_{m}} ∈ S_{r}(V |R) ⊗ R[t_{1}, …, t_{m}]

dabei sind k_{1}, …, k_{m} ≥ 0 (vgl. Bemerkung 2.4.4).

Im weiteren Verlauf dieses Abschnittes werden wir T_{A}^{r}(V ⊗A) und T_{R}^{r}V ⊗A über die kanonische Isomorphie aus Satz 1.3.5 miteinander identifizieren.

Satz 2.5.1. Sei V ein freier R-Modul vom Rang m und U ⊆ S_{r}V ein Untermodul mit der Eigenschaft, dass

v^{⊗r} ∈ U ⊗_{R} A für jede R-Algebra A und alle v̂ ∈ V ⊗_{R} A

Dann ist

U = S_{r}V

Beweis. Sei A = R[t_{1}, …, t_{m}] und \overline{v} ∈ V [t_{1}, …, t_{m}] wie oben. Wir wissen

\overline{v}^{⊗r} ⟼ ∑_{k_{1}+···+k_{m}=r} v_{1} ⋯ v_{m}^{[k_{1},...,k_{m}]} ⊗ t_{1}^{k_{1}} ⋯ t_{m}^{k_{m}} ∈ U ⊗ R[t_{1}, …, t_{m}]

mit nichtnegativen k_{1}, …, k_{m}. Wir identifizieren v_{1} ⋯ v_{m}^{[k_{1},...,k_{m}]} gemäß Abschnitt 2.1 mit einem elementarsymmetrischen Tensor aus S_{r}V. Unsere Annahme liefert, dass

v_{1} ⋯ v_{m}^{[k_{1},...,k_{m}]} ∈ U

Wir können die v_{1}, …, v_{m} ∈ V beliebig variieren. Nach Bemerkung 2.2.1 lassen wir dadurch die Tensoren v_{1} ⋯ v_{m}^{[k_{1},...,k_{m}]} ∈ U ein Erzeugendensystem von S_{r}V durchlaufen. Folglich gilt: U = S_{r}V □

Satz 2.5.2. Sei V ein freier R-Modul vom Rang m, W ein beliebiger R-Moduln und h: S_{r}V ⟶ W R-linear. Angenommen

h_{A}(v^{⊗r}) = 0 für jede R-Algebra A und alle v̂ ∈ V ⊗_{R} A

Dann ist schon h = 0.

Beweis. Sei A = R[t_{1}, …, t_{m}] und \overline{v} ∈ V [t_{1}, …, t_{m}] wie oben.

0 = h_{A}(\overline{v}^{⊗r}) = ∑_{k_{1}+···+k_{m}=r} h_{A}(v_{1} ⋯ v_{m}^{[k_{1},...,k_{m}]} ⊗ t_{1}^{k_{1}} ⋯ t_{m}^{k_{m}})
= ∑_{k_{1}+···+k_{m}=r} h(v_{1} ⋯ v_{m}^{[k_{1},...,k_{m}]}) ⊗ t_{1}^{k_{1}} ⋯ t_{m}^{k_{m}}

mit nichtnegativen k_{1}, …, k_{m}.

Auf Grund der linearen Unabhängigkeit der t_{1}^{k_{1}} ⋯ t_{m}^{k_{m}} folgt aus der Annahme, dass

h(v_{1} ⋯ v_{m}^{[k_{1},...,k_{m}]}) = 0

Der Beweisschluss läuft nun analog zu dem vorhergegangenen Beweis. Wenn wir die v_{1}, …, v_{m} den Modul V durchlaufen lassen, durchläuft v_{1} ⋯ v_{m}^{[k_{1},...,k_{m}]} ein Erzeugendensystem von S_{r}V. Damit ist h(x) = 0 für jedes x ∈ S_{r}V. □

Korollar 2.5.3. Sei V ein freier R-Modul von endlichem Rang und g: S_{r}V ⟶ W eine weitere lineare Abbildung, dann ist insbesondere

h = g

wenn h_{A}(v^{⊗r}) = g_{A}(v^{⊗r}) für jede R-Algebra A und alle v̂ ∈ V ⊗_{R} A.

Mit dieser Bemerkung folgt sofort der nächste Satz:

Satz 2.5.4. Sei V ein freier R-Modul von endlichem Rang und f: V ⟶ W eine Rlineare Abbildung in einen weiteren R-Modul W. Dann ist die R-lineare Abbildung

S_{r}f: S_{r}V ⟶ S_{r}W vermöge v_{1} … v_{l}^{[α_{(r,l)}]} ↦ f(v_{1}) … f(v_{l})^{[α_{(r,l)}]}

die einzige R-lineare Abbildung

S_{r}V ⟶ S_{r}W mit v^{⊗r} ↦ f_{A}(v̂)^{⊗r}

für jede R-Algebra A und alle v̂ ∈ V ⊗_{R} A.

Ist f ein R-Isomorphismus, dann ist es auch S_{r}f.

Beweis. Wir wissen, dass f^{⊗r}|_{S_{r}V} =: S_{r}f der Abbildungsvorschrift genügt. Indem wir T_{A}^{r}(V ⊗ A) und T_{R}^{r}V ⊗ A miteinander identifizieren, identifizieren wir auch S_{r}(f_{A}) mit S_{r}f_{A} (bzw. (f_{A})^{⊗r} mit f_{A}^{⊗r}). Dass S_{r}f durch diese Eigenschaft eindeutig festgelegt ist, haben wir in der Bemerkung direkt vor diesem Satz erklärt.

Die Behauptungen über die Isomorphie sind offensichtlich. □

Beispiel 2.5.5. Seien V und W freie R-Moduln von endlichem Rang. Die Abbildung

S_{r}V ⟶ S_{r}(V ⊕ W) vermöge v_{1} … v_{l}^{[α_{(r,l)}]} ↦ (v_{1}, 0) … (v_{l}, 0)^{[α_{(r,l)}]}

(für elementarsymmetrische Tensoren v_{1} … v_{l}^{[α_{(r,l)}]} ∈ S_{r}V), die wir vor Satz 2.4.8 eingeführt haben ist auf diese Weise aus der Abbildung

V ⟶ V ⊕ W vermöge v ↦ (v, 0)

hervorgegangen.

3. Bilinearformen

3.1. Symmetrische Bilinearformen. Sei R ein kommutativer Ring, und seien V, W und M R-Moduln. Wir werden uns nun ausführlich mit bilinearen Abbildungen β: V × W ⟶ M bzw. besonders mit symmetrischen Bilinearformen β: V × V ⟶ R beschäftigen.

Lemma 3.1.1. Seien V_{1}, …, V_{l}, W_{1}, …, W_{l}, M_{1}, …, M_{l} R-Moduln, und seien für i = 1, …, l die Abbildungen β_{i}: V_{i} × W_{i} ⟶ M_{i} R-bilinear. Dann gibt es genau eine bilineare Abbildung

β_{1} ⊗ … ⊗ β_{l}: ⨂_{i=1}^{l} V_{i} × ⨂_{i=1}^{l} W_{i} ⟶ ⨂_{i=1}^{l} M_{i}

mit β_{1} ⊗ … ⊗ β_{l}(v_{1} ⊗ … ⊗ v_{l}, w_{1} ⊗ … ⊗ w_{l}) = β_{1}(v_{1}, w_{1}) ⊗ … ⊗ β_{l}(v_{l}, w_{l})

Beweis. Die 2l-lineare Abbildung

B: V_{1} × ⋯ × V_{l} × W_{1} × ⋯ × W_{l} ⟶ M_{1} ⊗ … ⊗ M_{l}
(v_{1}, …, v_{l}, w_{1}, …, w_{l}) ↦ β_{1}(v_{1}, w_{1}) ⊗ … ⊗ β_{l}(v_{l}, w_{l})

induziert folgende eindeutige lineare Abbildung auf dem Tensorprodukt:

B′: V_{1} ⊗ … ⊗ V_{l} ⊗ W_{1} ⊗ … ⊗ W_{l} ⟶ M_{1} ⊗ … ⊗ M_{l}
(v_{1} ⊗ … ⊗ v_{l} ⊗ w_{1} ⊗ … ⊗ w_{l}) ↦ β_{1}(v_{1}, w_{1}) ⊗ … ⊗ β_{l}(v_{l}, w_{l})

Diese Abbildung entspricht eindeutig der gesuchten bilinearen Abbildung

β_{1} ⊗ … ⊗ β_{l}: V_{1} ⊗ … ⊗ V_{l} × W_{1} ⊗ … ⊗ W_{l} ⟶ M_{1} ⊗ … ⊗ M_{l}  □

Insbesondere gibt es durch die Isomorphie R^{⊗r} ≃ R zu einer Bilinearform

β: V × W ⟶ R

genau eine Bilinearform

β^{⊗r}: V^{⊗r} × W^{⊗r} ⟶ R mit β^{⊗r}(v_{1} ⊗ … ⊗ v_{r}, w_{1} ⊗ … ⊗ w_{r}) = ∏_{i=1}^{r} β(v_{i}, w_{i})

Beispiel 3.1.2. Die bilineare Abbildung

Φ: End_{R}(V) × V ⟶ V vermöge (f, v) ↦ f(v)

induziert eine entsprechende bilineare Abbildung auf den Tensorpotenzen

Φ^{⊗r}: End_{R}(V)^{⊗r} × V^{⊗r} ⟶ V^{⊗r}
mit Φ^{⊗r}(f_{1} ⊗ … ⊗ f_{r}, v_{1} ⊗ … ⊗ v_{r}) = f_{1}(v_{1}) ⊗ … ⊗ f_{r}(v_{r})

Bemerkung 3.1.3. Sei β: V × W ⟶ M eine bilineare Abbildung und σ ∈ S_{r}. Dann gilt für zwei zerlegbare Tensoren v_{1} ⊗ … ⊗ v_{r} ∈ V und w_{1} ⊗ … ⊗ w_{r} ∈ W^{⊗r} folgende Identität:

σ • β^{⊗r}(v_{1} ⊗ … ⊗ v_{r}, w_{1} ⊗ … ⊗ w_{r}) = β^{⊗r}(σ • v_{1} ⊗ … ⊗ v_{r}, σ • w_{1} ⊗ … ⊗ w_{r})

(Das beweist diese Identität auch für beliebige Tensoren aus V^{⊗r} und W^{⊗r}.)

Beweis.

σ • β^{⊗r}(v_{1} ⊗ … ⊗ v_{r}, w_{1} ⊗ … ⊗ w_{r})
= σ • β(v_{1}, w_{1}) ⊗ … ⊗ β(v_{r}, w_{r})
= β(v_{σ^{−1}1}, w_{σ^{−1}1}) ⊗ … ⊗ β(v_{σ^{−1}r}, w_{σ^{−1}r})
= β^{⊗r}(v_{σ^{−1}1} ⊗ … ⊗ v_{σ^{−1}r}, w_{σ^{−1}1} ⊗ … ⊗ w_{σ^{−1}r})
= β^{⊗r}(σ • v_{1} ⊗ … ⊗ v_{r}, σ • w_{1} ⊗ … ⊗ w_{r})
□

Durch diese Bemerkung erhalten wir Folgendes:

Lemma 3.1.4. Zu jeder R-bilinearen Abbildung β: V × W ⟶ M existiert eine R-bilineare Abbildung

S_{r}β := β^{⊗r}|_{S_{r}V ×S_{r}W} : S_{r}V × S_{r}W ⟶ S_{r}M
mit  S_{r}β(v^{⊗r}, w^{⊗r}) = β(v, w)^{⊗r}

3.2. Einige Berechnungen zu S_{r}β. Sei V ein freier R-Modul mit Basis b_{1}, …, b_{n} und W ein freier R-Modul mit Basis c_{1}, …, c_{m}. Weiter sei β: V × W ⟶ M eine R-Bilinearform. Wir berechnen zunächst einen Spezialfall von

S_{r}β : S_{r}V × S_{r}W ⟶ S_{r}M

Beispiel 3.2.1. Seien b_{i_{1}...i_{l}}^{[α_{(r,l)}]} ∈ S_{r}V und c_{1}^{⊗r} ∈ S_{r}W elementarsymmetrische Tensoren. Wir erhalten Folgendes:

S_{r}β(b_{i_{1}...i_{l}}^{[α_{(r,l)}]}, c_{1}^{⊗r}) = ∑_{σ∈K_{i_{1},...,i_{l}}} β^{⊗r}(σ • (b_{i_{1}}^{⊗i_{1}} ⊗ … ⊗ b_{i_{l}}^{⊗i_{l}}), c_{1}^{⊗r})

= ∑_{σ∈K_{i_{1},...,i_{l}}} σ • (β(b_{i_{1}}, c_{1})^{⊗i_{1}} ⊗ … ⊗ β(b_{i_{l}}, c_{1})^{⊗i_{l}})

= (β(b_{i_{1}}, c_{1}) … β(b_{i_{l}}, c_{1}))^{[α_{(r,l)}]}

In dem Spezialfall M = R erhalten wir mit Hilfe der kanonischen Isomorphie φ_{R}: R^{⊗r} ≃ R

φ_{R} ∘ S_{r}β (b_{i_{1}...i_{l}}^{[α_{(r,l)}]}, c_{1}^{⊗r}) = ((α_{i_{1}}, …, α_{i_{l}})) ∏_{k=1}^{l} β(b_{i_{k}}, c_{1})^{α_{i_{k}}}

Beispiel 3.2.2. Seien b_{i_{1}...i_{l}}^{[α_{(r,l)}]} ∈ S_{r}V, c_{j_{1}...j_{k}}^{[α′_{(r,k)}]} ∈ S_{r}W elementarsymmetrische Ten-

soren. Wir werden nun S_{r}β(b_{i_{1}...i_{l}}^{[α_{(r,l)}]}, c_{j_{1}...j_{k}}^{[α′_{(r,k)}]}) ausrechnen.

Wir setzen

b′_{1} ⊗ … ⊗ b′_{n} := b_{i_{1}} ⊗ … ⊗ b_{i_{1}} ⊗ b_{i_{2}} ⊗ … ⊗ b_{i_{l}}

und

c′_{1} ⊗ … ⊗ c′_{n} := c_{j_{1}} ⊗ … ⊗ c_{j_{1}} ⊗ c_{j_{2}} ⊗ … ⊗ c_{j_{k}}

und wir sehen

S_{r}β(b_{i_{1}...i_{l}}^{[α_{(r,l)}]}, c_{j_{1}...j_{k}}^{[α′_{(r,k)}]})
= ∑_{σ∈K_{i_{1},...,i_{l}}} ∑_{σ′∈K_{j_{1},...,j_{k}}} β^{⊗r}(σ • (b′_{1} ⊗ … ⊗ b′_{n}), σ′ • (c′_{1} ⊗ … ⊗ c′_{n}))

= ∑_{σ∈K_{i_{1},...,i_{l}}} ∑_{σ′∈K_{j_{1},...,j_{k}}} β(b′_{σ^{−1}1}, c′_{σ^{′−1}1}) ⊗ … ⊗ β(b′_{σ^{−1}n}, c′_{σ^{′−1}n})

= ∑_{σ∈K_{i_{1},...,i_{l}}} ∑_{σ′∈K_{j_{1},...,j_{k}}} ⨂_{d=1}^{n} β(b′_{σ^{−1}d}, c′_{σ^{′−1}d})

In dem Spezialfall M = R erhalten wir mit Hilfe der kanonischen Isomorphie φ_{R}: R^{⊗r} ≃ R

φ_{R} ∘ S_{r}β(b_{i_{1}...i_{l}}^{[α_{(r,l)}]}, c_{j_{1}...j_{k}}^{[α′_{(r,k)}]}) = ∑_{σ∈K_{i_{1},...,i_{l}}} ∑_{σ′∈K_{j_{1},...,j_{k}}} ∏_{d=1}^{n} β(b′_{σ^{−1}d}, c′_{σ^{′−1}d})

Der Tensor

∑_{σ∈K_{i_{1},...,i_{l}}} ∑_{σ′∈K_{j_{1},...,j_{k}}} ⨂_{d=1}^{n} β(b′_{σ^{−1}d}, c′_{σ^{′−1}d}) ∈ M^{⊗r}

ist offensichtlich ein symmetrischer Tensor. Aber wie sieht es aus, wenn wir

S_{r}β(b_{i_{1}...i_{l}}^{[α_{(r,l)}]}, c_{j_{1}...j_{k}}^{[α′_{(r,k)}]}) ∈ S_{r}M

durch Partitionen von r angeben möchten? Dazu werden wir mit den in Unterabschnitt 1.2.1 eingeführten erweiterten Partition arbeiten und den Begriff der symmetrischen Tensoren so benutzen, wie wir es in Abschnitt 2.1 in diesem Zusammenhang erwähnt haben.

Bemerkung 3.2.3. Seien b_{i_{1}...i_{l}}^{[α_{(r,l)}]} ∈ S_{r}V, c_{j_{1}...j_{k}}^{[α′_{(r,k)}]} ∈ S_{r}W Basisvektoren.

S_{r}β(b_{i_{1}...i_{l}}^{[α_{(r,l)}]}, c_{j_{1}...j_{k}}^{[α′_{(r,k)}]}) = ∑_{σ∈K_{i_{1},...,i_{l}}} ∑_{σ′∈K_{j_{1},...,j_{k}}} β^{⊗r}(σ • b_{i_{1}...i_{l}}^{[α_{(r,l)}]}, σ′ • c_{j_{1}...j_{k}}^{[α′_{(r,k)}]})

= ∑_{γ∈Γ} (β(b_{i_{1}}, c_{j_{1}}) ⊗ … ⊗ β(b_{i_{l}}, c_{j_{k}}))^{[γ]}

wobei

Γ = {γ ∈ ℕ^{l×k} |γ ∈ P′_{(r,l+k)}, ∑_{1≤s≤l} γ_{st} = α′_{j_{t}} und ∑_{1≤t≤k} γ_{st} = α_{i_{s}}}

Mit Hilfe der kanonischen Isomorphie φ_{R}: R^{⊗r} ≃ R erhalten wir dann:

φ_{R} ∘ S_{r}(β)(b_{i_{1}...i_{l}}^{[α_{(r,l)}]}, c_{j_{1}...j_{k}}^{[α′_{(r,k)}]}) = ∑_{γ∈Γ} \frac{r!}{γ_{11}! ⋯ γ_{lk}!} ∏_{\begin{matrix}1≤s≤l \\ 1≤t≤k \end{matrix}} β(b_{i_{s}}, c_{i_{t}})^{γ_{st}}

Beweis. Vgl. hierzu [7]. □

Wir werden später noch einen Spezialfall mit α_{(r,l)} = α′_{(r,k)} = (1, …, 1) nachrechnen.

3.3. Einige wichtige Eigenschaften von S_{r}β. Seien V, W und M R-Moduln, sei A eine R-Algebra, und sei β: V × W ⟶ M eine R-Bilinearform. Dann gibt es genau eine A-bilineare Abbildung

β_{A}: V ⊗_{R} A × W ⊗_{R} A ⟶ M ⊗_{R} A mit β_{A}(v ⊗ a, w ⊗ b) = β(v, w) ⊗ ab

Mit Hilfe der A-bilinearen Abbildung λ^{A}: A × A → A, die durch die Multiplikation auf A gegeben ist, können wir β_{A} wie folgt darstellen:

β_{A} := β ⊗ λ^{A}

Bemerkung 3.3.1. Sei β′: V′ × W′ ⟶ M′ eine weitere R-bilineare Abbildung, dann ist offensichtlich

(β ⊗ β′)_{A} = β_{A} ⊗ β′_{A}

Bemerkung 3.3.2. Folgendes Diagramm ist kommutativ:

(S_{r}β)_{A}: S_{r}(V |R) ⊗_{R} A × S_{r}(W |R) ⊗_{R} A ⟶ S_{r}(M|R) ⊗_{R} A
↓^{≃}  ↓^{≃}
S_{r}(β_{A}): S_{r}(V ⊗_{R} A|A) × S_{r}(W ⊗_{R} A|A) ⟶ S_{r}(M ⊗_{R} A|A)

Wenn wir T_{A}^{r}(V ⊗ A) und T_{R}^{r}V ⊗ A miteinander identifizieren, erhalten wir insbesondere Lemma 3.3.3. Wir haben eine R-bilineare Abbildung

S_{r}β: S_{r}V × S_{r}W ⟶ S_{r}M mit (S_{r}β)_{A}(v^{⊗r}, w^{⊗r}) = β_{A}(v̂, ŵ)^{⊗r}

für jede beliebige R-Algebra A und v̂ ∈ V ⊗ A, ŵ ∈ W ⊗ A.

Sei V = W. Eine Bilinearform β: V × V ⟶ R werden wir symmetrisch nennen, wenn

β(v, w) = β(w, v) für alle v, w ∈ V

Bemerkung 3.3.4. Offensichtlich sind S_{r}β (bzw. β^{⊗r}) und β_{A} symmetrisch, wenn β symmetrisch ist.

Wir nennen eine Bilinearform β: V × V ⟶ R nicht ausgeartet, wenn

Ψ_{β}^{l}: V ⟶ V^{∗} vermöge v ↦ β(v, −)
Ψ_{β}^{r}: V ⟶ V^{∗} vermöge w ↦ β(−, w)

jeweils einen R-Isomorphismus beschreibt.

Bemerkung 3.3.5. Seien V_{1} und V_{2} freie R-Moduln von endlichem Rang, A eine R-Algebra und β_{i}: V_{i} × V_{i} ⟶ R für i = 1, 2 R-Bilinearformen.

(1) Sind β_{1} und β_{2} nicht ausgeartet, so ist auch β_{1} ⊗ β_{2} nicht ausgeartet.

(2) Ist β_{1} nicht ausgeartet, so ist auch (β_{1})_{A} nicht ausgeartet.

Beweis. Für (1) und (2) siehe z.B. [5, Chapter I, §5]. □

Die kanonische R-bilineare Abbildung

π_{V W} : V × W ⟶ (V ⊗ W)

induziert eine R-bilineare Abbildung S_{r}π_{V W} : S_{r}V × S_{r}W ⟶ S_{r}(V ⊗ W) bzw. eine R-lineare Abbildung

φ_{S_{r}π_{V W}} : S_{r}V ⊗ S_{r}W ⟶ S_{r}(V ⊗ W)

Dies ist gerade die R-lineare Abbildung, die von der Isomorphie

T_{R}^{r}V ⊗ T_{R}^{r}W ≃ T_{R}^{r}(V ⊗ W)

induziert wird; folglich ist φ_{S_{r}π_{V W}} injektiv.

Bemerkung 3.3.6. Die R-bilineare Abbildung S_{r}β faktorisiert wie folgt:

S_{r}V × S_{r}W ⟶^{S_{r}β} S_{r}M
S_{r}π_{V W} ↓  ∥
S_{r}(V ⊗ W) ⟶^{S_{r}φ_{β}} S_{r}M

Bemerkung 3.3.7. Seien V′, W′ und M′ weitere R-Moduln, und sei β′: V′ × W′ ⟶ M′ eine R-bilineare Abbildung. Dann faktorisiert die R-bilineare Abbildung S_{r}β ⊗ S_{r}β′ wie folgt:

S_{r}β ⊗ S_{r}β′: S_{r}V ⊗ S_{r}V′ × S_{r}W ⊗ S_{r}W′ ⟶ S_{r}M ⊗ S_{r}M′
↓  ↓
S_{r}(β ⊗ β′): S_{r}(V ⊗ V′) × S_{r}(W ⊗ W′) ⟶ S_{r}(M ⊗ M′)

3.4. Symmetrische Tensoren über Algebren. Sei A eine R-Algebra. Dann operiert die symmetrische Gruppe S_{r}, wie wir in Abschnitt 2.1 gesehen haben, auf T^{r}A.

3.4.1. Der S_{r}A-Modul S_{r}V. Sei V ein A-Modul. Dann ist V insbesondere ein R-Modul, und durch die Skalarmultiplikation

A × V ⟶ V vermöge a, v ↦ av

ist eine R-bilineare Abbildung gegeben. Diese können wir wie in Abschnitt 3.1 fortsetzen und erhalten eine bilineare Abbildung

A^{⊗r} × V^{⊗r} ⟶ V^{⊗r}
a_{1} ⊗ … ⊗ a_{r}, v_{1} ⊗ … ⊗ v_{r} ↦ a_{1}v_{1} ⊗ … ⊗ a_{r}v_{r}

Sei z ∈ A^{⊗r} und x ∈ V^{⊗r}, dann ist nach Bemerkung 3.1.3 zx ∈ S_{r}V, falls z ∈ S_{r}A und x ∈ S_{r}V. Damit erhalten wir eine Abbildung

S_{r}A × S_{r}V ⟶ S_{r}V vermöge z, x ↦ zx

Wir haben also eine S_{r}A-Modul-Struktur auf S_{r}V gegeben.

Seien W, M ebenfalls A-Moduln.

Bemerkung 3.4.1. Sei f: V ⟶ W eine A-lineare Abbildung bzw. β: V ×W ⟶ M eine A-bilineare Abbildung. Dann ist die Abbildung

S_{r}f: S_{r}V ⟶ S_{r}W bzw. S_{r}β: S_{r}V × S_{r}W ⟶ S_{r}M

S_{r}A-linear bzw. S_{r}A-bilinear.

3.4.2. Die R-Algebra S_{r}A. Durch die Multiplikation

A × A ⟶ A vermöge a, b ↦ ab

ist eine R-bilineare Abbildung gegeben. Wir werden sie wie im letzten Unterabschnitt auf S_{r}A fortsetzen und sehen eine R-bilineare Abbildung

S_{r}A × S_{r}A ⟶ S_{r}A vermöge a, b ↦ ab

Wir haben also durch die Multiplikation auf T_{R}^{r}A auch eine R-Algebra-Struktur auf S_{r}A gegeben mit 1_{S_{r}A} = 1_{T_{R}^{r}A}.

Ebenso wird S_{α_{(r,l)}}A für α_{(r,l)} ∈ P_{(r,l)} durch komponentenweise Multiplikation zu einer R-Algebra. S_{α_{(r,l)}}A ist nicht nur eine R-Algebra, es lässt sich bereits aus der Definition

S_{α_{(r,l)}}A = (Π^{r}A)^{S_{α_{(r,l)}}} ⊇ (Π^{r}A)^{S_{r}} = S_{r}A

erkennen, dass S_{α_{(r,l)}}A eine S_{r}A-Algebra ist. Genauer ist S_{α_{(r,l)}}A, als das Tensorprodukt der Algebren S_{α_{i}} (i = 1, …, l), ebenfalls eine R-Algebra, die S_{r}A als R-Unteralgebra enthält. Wir können die Spur-Abbildung dieser Algebren für beliebige l ≥ 1 definieren durch

S_{α_{(r,l)}}A ⟶ S_{r}A
a^{1} ⊗ … ⊗ a^{l} ↦ ∑_{κ∈K_{α_{(r,l)}}} κ • (a^{1} ⊗ … ⊗ a^{l}) für a^{i} ∈ S_{α_{i}}A (i = 1, …, l)

Im Fall l = 2, ist dies genau die Abbildung T_{ij}, die von der R-bilinearen Abbildung

S_{k}A × S_{l}A ⟶ S_{k+l}A vermöge (x, y) ↦ x ∗ y

induziert wird. Wir erhalten

T_{kl}: S_{k}A ⊗ S_{l}A ⟶ S_{k+l}A mit T_{kl}(x ⊗ y) = x ∗ y

(Diese Abbildungen können selbstverständlich auch für R-Moduln statt für R-Algebren definiert werden.)

In diesem Kontext können wir Korollar 2.3.2 wie folgt formulieren:

Satz 3.4.2. Sei B eine weitere R-Algebra und α_{(r,l)} ∈ P_{(r,l)}. Dann sind folgende B-Algebren isomorph:

S_{α_{(r,l)}}(A|R) ⊗_{R} B ≃ S_{α_{(r,l)}}(A ⊗_{R} B|B)

Beweis. Diese Aussage folgt mit Hilfe von Satz 1.3.5 sofort aus Korollar 2.3.2. □

Hier noch ein Ergebnis für freie Algebren:

Lemma 3.4.3. Sei A frei von endlichem Rang, und seien 0 ≤ i, j. Dann haben wir in T^{i+j}A folgende Inklusion von R-Unteralgebren:

S_{(i,j)}A ⊂ (S_{i}A ⊗ 1^{⊗j}) · S_{i+j}A

Beweis. Da S_{(i,j)}A = S_{i}A ⊗ S_{j}A ist, genügt es zu zeigen, dass

1^{⊗i} ⊗ S_{j}A ⊂ (S_{i}A ⊗ 1^{⊗j}) · S_{i+j}A

Wir werden zeigen, dass für jede freie R-Algebra A gilt

(∗) 1^{⊗i} ⊗ (x^{⊗k} ∗ 1^{⊗j−k}) ∈ (S_{i}A ⊗ 1^{⊗j}) · S_{i+j}A für x ∈ A und 0 ≤ k ≤ j

Da für jede beliebige R-Algebra B das Tensorprodukt A⊗B eine freie B-Algebra ist, ist insbesondere

1^{⊗i} ⊗ x^{⊗j} ∈ (S_{i}(A ⊗ B|B) ⊗ 1^{⊗j}) · S_{i+j}(A ⊗ B|B) für alle x̂ ∈ A ⊗ B

Wir werden auch jetzt die beiden R-Algebren S_{r}(A ⊗ B|B) und S_{r}(A|R) ⊗ B miteinander identifizieren und sehen

1^{⊗i} ⊗ x^{⊗j} ∈ (S_{i}(A ⊗ B|B) ⊗ 1^{⊗j}) · S_{i+j}(A ⊗ B|B) = (S_{i}A ⊗ 1^{⊗j} · S_{i+j}A) ⊗ B

Damit folgt aus Satz 2.5.1 sofort, dass

1^{⊗i} ⊗ S_{j}A ⊂ (S_{i}A ⊗ 1^{⊗j}) · S_{i+j}A

Sei x ∈ A. Wir zeigen (∗), indem wir einen Induktionsbeweis nach k führen. Induktionsanfang: k = 0

1^{⊗i} ⊗ 1^{⊗j} = 1^{⊗i+j} ∈ S_{i+j}A ⊂ (S_{i}A ⊗ 1^{⊗j}) · S_{i+j}A

Induktionsvoraussetzung: Für n ≤ k − 1 ist

1^{⊗i} ⊗ (x^{⊗n} ∗ 1^{⊗j−n}) ∈ (S_{i}A ⊗ 1^{⊗j})S_{i+j}A

Induktionsschritt: (k − 1) ⟶ k Wir können den Tensor x^{⊗k} ∗ 1^{⊗i+j−k} ∈ S_{i+j}A in folgende Summanden aufteilen:

(x^{⊗k} ∗ 1^{⊗i−k} ⊗ 1^{⊗j}) + ∑_{l=1}^{k−1}(x^{⊗k−l} ∗ 1^{⊗i−(k−l)} ⊗ x^{⊗l} ∗ 1^{⊗j−l}) + (1^{⊗i} ⊗ x^{⊗k} ∗ 1^{⊗j−k})

Wir gehen die Terme der Reihe nach durch. Der erste Term (x^{⊗k} ∗ 1^{⊗i−k} ⊗ 1^{⊗j}) ist offensichtlich ein Element aus (S_{i}A ⊗ 1^{⊗j}) · S_{i+j}A.

Auf den mittleren Term können wir die Induktionsvoraussetzung anwenden.

(x^{⊗k−l} ∗ 1^{⊗i−(k−l)} ⊗ x^{⊗l} ∗ 1^{⊗j−l}) = (x^{⊗k−l} ∗ 1^{⊗i−(k−l)} ⊗ 1^{⊗j}) · (1^{⊗i} ⊗ x^{⊗l} ∗ 1^{⊗j−l})

Offensichtlich ist (x^{⊗k−l} ∗ 1^{⊗i−(k−l)} ⊗ 1^{⊗j}) ∈ S_{i}A ⊗ 1^{⊗j} und nach der Induktionsvoraussetzung ist (1^{⊗i} ⊗ x^{⊗l} ∗ 1^{⊗j−l}) ∈ (S_{i}A ⊗ 1^{⊗j})S_{i+j}A.

Also ist auch

\underbrace{x^{⊗k} ∗ 1^{⊗i+j−k} − ((x^{⊗k} ∗ 1^{⊗i−k} ⊗ 1^{⊗j}) + ∑_{l=1}^{k−1}(x^{⊗l} ∗ 1^{⊗i−l} ⊗ x^{⊗k−l} ∗ 1^{⊗j+l−k})} )

= (1^{⊗i} ⊗ x^{⊗k} ∗ 1^{⊗j−k}) ∈ (S_{i}A ⊗ 1^{⊗j})S_{i+j}A
□

3.5. Symmetrische Tensoren über besonderen Ringen. Sei A = Π^{d}R und e_{1}, …, e_{d} die orthogonalen Idempotente mit ∑_{i=1}^{d} e_{i} = 1.

3.5.1. Die Algebra S_{d}(Π^{d}R). In Abschnitt 2.2 haben wir gezeigt, dass

S_{r}A ≃ ⨁ ; ((i_{1},...,i_{l}),α_{(r,l)})∈B_{r,d} e_{i_{1}···i_{l}}^{[α_{(r,l)}]} R

Mit Hilfe von Lemma 1.5.2 kann man schnell verifizieren, dass es sich bei den e_{i_{1}···i_{l}}^{[α_{(r,l)}]} ∈ S_{r}A um orthogonale Idempotente handelt. Aus Bemerkung 1.3.1 folgt dann, dass es durch diese Basis möglich ist, das Einselement wie folgt darzustellen:

1_{S_{r}A} = ( ∑_{i=1}^{d} e_{i})^{⊗r} = ∑_{((i_{1},...,i_{l}),α_{r,l})∈B_{r,d}} e_{i_{1}···i_{l}}^{[α_{(r,l)}]}

(Natürlich ist 1_{A^{⊗r}} = 1_{S_{r}A}. Wir führen den Index nur mit, wenn wir die entsprechende Zerlegung des Einselementes kenntlich machen wollen.)

Wir werden diese Schreibweise nun etwas abändern, damit wir später einfacher damit umgehen können. Wir sagen

E_{r} = {e_{i_{1}···i_{l}}^{[α_{(r,l)}]}|((i_{1}, …, i_{l}), α_{(r,l)}) ∈ B_{r,d}}

Die einzelnen Elemente E ∈ E_{r} sind orthogonale Idempotente mit ∑_{E∈E_{r}} E = 1, und wir sehen

S_{r}A ≃ ⨁_{E∈E_{r}} E S_{r}A

Wir haben im letzten Abschnitt gesehen, dass für jede Partition α_{(r,l)} ∈ P_{(r,l)} die R-Algebra S_{r}A eine Unteralgebra von S_{α_{(r,l)}}A ist. Wir werden uns auch hier mit dem Spezialfall A = Π^{d}R beschäftigen. Allgemein können wir das Einselement der Algebra S_{α_{(r,l)}}A wie folgt angeben:

1_{S_{α_{(r,l)}} A} = 1_{S_{α_{1}} A} ⊗ … ⊗ 1_{S_{α_{l}} A} = ∑_{E_{1}∈E_{α_{1}}} ⋯ ∑_{E_{l}∈E_{α_{l}}} E_{1} ⊗ … ⊗ E_{l}

Dabei sind die E_{1} ⊗ … ⊗ E_{l} nach Bemerkung 1.5.2 orthogonale Idempotente in S_{α_{(r,l)}}A.

Bemerkung 3.5.1.

S_{α_{(r,l)}}A = ⨁_{E_{1}∈E_{α_{1}}} ⋯ ⨁_{E_{l}∈E_{α_{l}}} E_{1} ⊗ … ⊗ E_{l} · S_{α_{(r,l)}}A

= ⨁_{E_{1}∈E_{α_{1}}} ⋯ ⨁_{E_{l}∈E_{α_{l}}} E_{1} ⊗ … ⊗ E_{l} · R

Sei nun r = d, und seien

E_{1} = e_{i_{11}...i_{1k_{1}}}^{[γ_{(α_{1},k_{1})}]} ∈ S_{α_{1}}A, …, E_{l} = e_{i_{l1}...i_{lk_{l}}}^{[γ_{(α_{l},k_{l})}]} ∈ S_{α_{l}}A

Wir definieren

𝔼 := e_{i_{11}...i_{ik_{1}} ...i_{lk_{l}}}^{[γ_{11},...,γ_{1k_{1}} ,...,γ_{lk_{l}}]} ∈ S_{n}A

als den elementarsymmetrische Tensor, der von den (im Allgemeinen nicht paarweise verschiedenen) idempotenten Elementen e_{i_{11}}, …, e_{i_{ik_{1}}} , …, e_{i_{l1}}, …, e_{i_{lk_{l}}} ∈ A erzeugt wird. (Die einzelnen e_{i} treten dabei selbstverständlich in der vorgegebenen Anzahl auf.)

Bemerkung 3.5.2. Sei e_{i_{1}···i_{l}}^{[α_{(r,l)}]} ∈ S_{d}A. Aus Bemerkung 1.5.2 folgt sofort, dass

E_{1} ⊗ … ⊗ E_{l} · e_{i_{1}···i_{l}}^{[α_{(r,l)}]} = \{ \begin{matrix}E_{1} ⊗ … ⊗ E_{l} & falls e_{i_{1}···i_{l}}^{[α_{(r,l)}]} = 𝔼 \\ 0 & sonst \end{matrix}

Insbesondere ist E_{1} ⊗ … ⊗ E_{l} · 𝔼 = E_{1} ⊗ … ⊗ E_{l} ∈ A^{⊗r}.

Offensichtlich ist

E_{1} ⊗ … ⊗ E_{l} S_{α_{(r,l)}}A = E_{1} ⊗ … ⊗ E_{l} R = E_{1} ⊗ … ⊗ E_{l} S_{d}A

3.5.2. Symmetrische Tensoren über einem Modul über Π^{d}R. Sei in diesem Abschnitt V ein freier A-Modul mit Basis b_{1}, …, b_{n}, dann ist V auch ein R-Modul mit R-Basis

e_{j}b_{i} 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ d

Da A = ⨁_{i=1}^{d} e_{i}R, ist V = ⨁_{i=1}^{d} e_{i}V als R-Modul.

Um S_{r}(V |R) besser verstehen zu können, überlegen wir zunächst

T_{R}^{r}V = ⨁_{\begin{matrix}1≤i_{1}...i_{r}≤n \\ 1≤j_{1}...j_{r}≤d \end{matrix}}(b_{i_{1}}e_{j_{1}} ⊗ … ⊗ b_{i_{r}}e_{j_{r}})R

Aus der Zerlegung des Einselements in S_{d}(A|R) folgt eine Zerlegung von S_{d}(V |R) in eine direkte Summe

S_{r}(V |R) = ⨁ ; ((i_{1},...,i_{l}),α_{(r,l)})∈B_{(r,l)} e_{i_{1}...i_{l}}^{[α_{(r,l)}]}S_{r}(V |R)

Bemerkung 3.5.3. Da e_{i_{1}...i_{r}}^{[1,...,1]} ∈ S_{r}A ein idempotentes Element ist, gilt

v ∈ e_{i_{1}...i_{r}}^{[1,...,1]}S_{r}(V |R) genau dann, wenn v ∈ S_{r}(V |R) mit e_{i_{1}...i_{r}}^{[1,...,1]}v = v

Lemma 3.5.4. Sei e_{i_{1}} … e_{i_{l}}^{[α_{(r,l)}]} ∈ S_{r}A ein elementarsymmetrischer Tensor, dann gilt

e_{i_{1}} … e_{i_{l}}^{[α_{(r,l)}]}S_{r}V ≃ S_{α_{1}}(e_{i_{1}}V) ⊗ … ⊗ S_{α_{l}}(e_{i_{l}}V)

Beweis. Aus Korollar 2.4.10 wissen wir, dass

S_{r}( ⨁_{i=1}^{n} e_{i}V ) ≃ ⨁_{l=1}^{r} ⨁_{\begin{matrix}γ_{(r,l)}∈P_{(r,l)} \\ 1≤i_{1}<···<i_{l}≤n \end{matrix}} S_{γ_{1}}e_{i_{1}}V ⊗ … ⊗ S_{γ_{n}}e_{i_{l}}V

Wir haben ausgerechnet, dass

S_{γ_{1}}e_{i_{1}}V ⊗ … ⊗ S_{γ_{n}}e_{i_{l}}V ≃ ⨁_{κ∈K_{γ(r,l)}} κ • ((e_{i_{1}}V)^{⊗γ_{1}} ⊗ … ⊗ (e_{i_{l}}V)^{⊗γ_{l}})

Nun sehen wir, dass der einzige Untermodul, der durch die Multiplikation mit e_{i_{1}} … e_{i_{l}}^{[α_{(r,l)}]} nicht annulliert wird, der Modul S_{α_{1}}(e_{i_{1}}V) ⊗ … ⊗ S_{α_{l}}(e_{i_{l}}V) ist (vgl. Bemerkung 1.5.2). □

Sei W ein weiterer A-Modul mit Basis c_{1}, …, c_{m} und β: V × W ⟶ M eine A-bilineare Abbildung in ein A-Modul M. Wir haben schon gesehen, wie wir β zu einer bilinearen Abbildung

S_{r}β: S_{r}V × S_{r}W ⟶ S_{r}M

fortsetzen können.

Wir möchten nun, wie bereits in Abschnitt 3.2 angekündigt, S_{r}β auf zwei sehr speziellen Elementen ausrechnen.

DER MULTIPLIKATIVE TRANSFER AUF DEM GROTHENDIECK-WITT-RING 35

Beispiel 3.5.5. Seien

e_{1}b_{i_{1}} … e_{r}b_{i_{r}}^{[1,...,1]}, e_{1}c_{j_{1}} … e_{r}c_{j_{r}}^{[1,...,1]} ∈ S_{r}V

mit 1 ≤ i_{1}, …, i_{r} ≤ n, 1 ≤ j_{1}, …, j_{r} ≤ m.

S_{r}(β)(e_{1}b_{i_{1}} … e_{r}b_{i_{r}}^{[1,...,1]}, e_{1}c_{j_{1}} … e_{r}c_{j_{r}}^{[1,...,1]})

= β^{⊗r}(e_{1}b_{i_{1}} … e_{r}b_{i_{r}}^{[1,...,1]}, e_{1}c_{j_{1}} … e_{r}c_{j_{r}}^{[1,...,1]})
= ∑_{σ∈S_{r}} ∑_{σ′∈S_{r}} β^{⊗r}(σ • (e_{1}b_{i_{1}} ⊗ … ⊗ e_{r}b_{i_{r}}), σ′ • (e_{1}c_{j_{1}} ⊗ … ⊗ e_{r}c_{j_{r}}))
= ∑_{σ∈S_{r}} ∑_{σ′∈S_{r}} e_{σ^{−1}1}e_{σ^{′−1}1}β(b_{σ^{−1}i_{1}}, c_{σ^{′−1}j_{1}}) ⊗ … ⊗ e_{σ^{−1}r}e_{σ^{′−1}r}β(b_{σ^{−1}i_{r}}, c_{σ^{′−1}j_{r}})
= ∑_{σ∈S_{r}} e_{σ^{−1}1}β(b_{σ^{−1}i_{1}}, c_{σ^{−1}j_{1}}) ⊗ … ⊗ e_{σ^{−1}r}β(b_{σ^{−1}i_{r}}, c_{σ^{−1}j_{r}})
= ∑_{σ∈S_{r}} σ • e_{1}β(b_{i_{1}}, c_{j_{1}}) ⊗ … ⊗ e_{r}β(b_{i_{r}}, c_{j_{r}})
= e_{1}β(b_{i_{1}}, c_{j_{1}}) … e_{r}β(b_{i_{r}}, c_{j_{r}})^{[1,...,1]}

4. Die Norm von Moduln und symmetrischen Bilinearformen

Seien V und W freie R-Moduln von endlichem Rang, und sei A eine freie R-Algebra von endlichem Rang. Wir werden von nun an die beiden R-Moduln

S_{r}(V ⊗ A) und S_{r}V ⊗ A

über die in Korollar 2.3.2 gezeigte kanonische Isomorphie miteinander identifizieren. Das hat unter anderem zur Folge, dass wir in Zukunft auch zwei Abbildungen als gleich ansehen, wenn sie sich nur um diese kanonische Isomorphie unterscheiden.

4.1. Ein Algebra-Homomorphismus für symmetrische Tensoren. Ziel dieses Abschnittes ist es, einen Homomorphismus anzugeben, mit dessen Hilfe wir später die Norm eines Vektorraumes beschreiben können.

Wir werden uns in diesem Abschnitt verstärkt mit End(V) beschäftigen und werden deshalb einige abkürzende Notationen einführen. Für einen elementarsymmetrischen Tensor f_{1} … f_{l}^{[α_{(r,l)}]} ∈ S_{r}(End(V)) und v_{1} ⊗ … ⊗ v_{r} ∈ V^{⊗r} schreiben wir

f_{1} … f_{l}^{[α_{(r,l)}]}(v_{1} ⊗ … ⊗ v_{r}) := ∑_{κ∈K_{α_{(r,l)}}} (κ • f_{1}^{⊗α_{1}} ⊗ … ⊗ f_{l}^{⊗α_{l}})(v_{1} ⊗ … ⊗ v_{r})

Für zwei zerlegbare Tensoren f_{1} ⊗ … ⊗ f_{r} ∈ End(V)^{⊗r} und v_{1} ∧ ⋯ ∧ v_{r} ∈ Λ^{r}V schreiben wir

f_{1} ⊗ … ⊗ f_{r}(v_{1} ∧ ⋯ ∧ v_{r}) = f_{1}(v_{1}) ∧ ⋯ ∧ f_{r}(v_{r})

bzw.

f_{1} … f_{l}^{[α_{(r,l)}]}(v_{1} ∧ ⋯ ∧ v_{r}) := ∑_{κ∈K_{α_{(r,l)}}} (κ • f_{1}^{⊗α_{1}} ⊗ … ⊗ f_{l}^{⊗α_{l}})(v_{1} ∧ ⋯ ∧ v_{r})

Wir kommen nun zu der vorhin angekündigten Abbildung.

Lemma 4.1.1. Folgende Abbildungsvorschrift für elementarsymmetrische Tensoren f^{[α_{(r,l)}]} ∈ S_{r}(End_{R}(V)) definiert einen Algebra-Homomorphismus:

ϱ_{r}: S_{r}(End_{R}(V)) ⟶ End_{R}(Λ_{R}^{r}(V))
f_{1} … f_{l}^{[α_{(r,l)}]} ↦ ((v_{1} ∧ ⋯ ∧ v_{r}) ↦ f_{1} … f_{l}^{[α_{(r,l)}]}(v_{1} ∧ ⋯ ∧ v_{r}))

Beweis. Für r = 0, 1 ist dies offensichtlich.

Sei r ≥ 2. Die linearen Abbildungen Φ (siehe Beispiel 3.1.2), ι_{S} und π_{Λ} führen uns zu folgendem kommutativen Diagramm:

End(V)^{⊗r} ⊗ V^{⊗r} ⟶^{Φ} V^{⊗r}
ι_{S}⊗id_{V ^{⊗r}} ↑  ↓^{π_{Λ}}
S_{r}(End(V)) ⊗ V^{⊗r} ⟶ Λ^{r}V

Wir setzen ϱ̂_{r} := π_{Λ} ∘ Φ ∘ (ι_{S} ⊗ id_{V^{⊗r}}) und überprüfen nun, ob ϱ̂_{r} wie gewünscht faktorisiert:

S_{r}(End(V)) ⊗ V^{⊗r} \underrightarrow{ϱ̂_{r}} Λ^{r}V
id_{Sr (End(V ))}⊗π_{Λ}↓  ∥
S_{r}(End(V)) ⊗ Λ^{r}V ⟶ Λ^{r}V

Sei f_{1} … f_{l}^{[α_{(r,l)}]} =: f^{[α_{(r)}]} ∈ S_{r}(End(V)) ein elementarsymmetrischer Tensor und v_{1} ⊗ ⋯ ⊗ v_{r} ein Erzeuger von I_{Λ} mit v_{i} = v_{j} für ein Paar (i, j) mit i ≠ j. Wir betrachten die Komposition τ := τ_{1i} ∘ τ_{2j}. Es ist klar, dass τ • f^{[α_{(r)}]} = f^{[α_{(r)}]}. Mit τ^{2} = id erhalten wir nach Bemerkung 3.1.3

f^{[α_{(r)}]}(v_{1} ⊗ … ⊗ v_{r}) = (τ • f^{[α_{(r)}]})(v_{1} ⊗ … ⊗ v_{r})
= Φ(τ • f^{[α_{(r)}]} ⊗ τ • (v_{1} ⊗ … ⊗ v_{r}))
= f^{[α_{(r)}]}(v_{τ1} ⊗ … ⊗ v_{τr})

Also können wir uns auf den Fall (v ⊗ v ⊗ v_{3} ⊗ … ⊗ v_{r}) ∈ V^{⊗r} beschränken. Nach Bemerkung 2.2.2 ist f⊗f ein Erzeuger von S_{2}V. Also erzeugen die Tensoren

f ⊗ f ⊗ g_{3} ⊗ … ⊗ g_{r} mit f ∈ End(V) und g_{3} ⊗ … ⊗ g_{r} ∈ End(V)^{⊗r−2}

den Untermodul S_{2}V ⊗ End(V)^{⊗r−2} ⊂ End(V)^{⊗r}. Es ist

f(v) ⊗ f(v) ⊗ g_{3}(v_{3}) ⊗ … ⊗ g_{r}(v_{r}) ≡ 0 mod I_{Λ}

Wir benutzen die Inklusion S_{2}(End V) ⊗ End(V)^{⊗r−2} ⊃ S_{r}(End V) aus Beispiel 2.1.2 und sehen, dass das Gleiche auch für beliebiges f^{[α_{(r)}]} ∈ S_{r}(End(V)) gelten muss.

Folglich wird jedes Element aus I_{Λ} durch ein Element f^{[α_{(r)}]} ∈ S_{r}(End V) auf ein Element aus I_{Λ} abgebildet, und die Abbildung

ϱ_{r}: S_{r}(End(V)) ⟶ End(Λ^{r}V)

ist wohldefiniert. □

Korollar 4.1.2.

(1) Wir haben einen Algebra-Homomorphismus

ϱ̃_{r}: S_{r}A ⟶ End_{R}(Λ^{r}A)
mit a^{⊗r} ⟼ ((v_{1} ∧ ⋯ ∧ v_{r}) ↦ a^{r}(v_{1} ∧ ⋯ ∧ v_{r})) für a ∈ R

(2) Sei V frei vom Rang n, dann induziert ϱ_{n} einen Algebra-Homomorphismus

ν: S_{n}(End(V)) ⟶ R mit f^{⊗n} ⟼ det(f) für f ∈ End(V)

Beweis. Die Existenz folgt in beiden Fällen recht schnell aus Lemma 4.1.1.

(1) Mit Hilfe des Algebra-Homomorphismus λ_{•} aus Bemerkung 1.5.7 können wir ϱ̃_{r} wie folgt angeben:

ϱ̃_{r} = ϱ_{r} ∘ S_{r}λ_{•}

mit

S_{r}(λ_{•}): S_{n}(A) ⟶ S_{n}(End(A)) vermöge a_{i_{1}} … a_{i_{l}}^{[α_{(r,l)}]} ↦ λ_{a_{i_{1}}} … λ_{a_{i_{l}}}^{[α_{(r,l)}]}

(2) Benutzen wir die Isomorphie δ: End(Λ^{n}V) ⟶ R aus Abschnitt 1.5.4, dann ist ν = ϱ_{n} ∘ δ. Offensichtlich ist ν(f^{⊗n}) = det(f). □

Alle drei Homomorphismen, die wir in diesem Abschnitt eingeführt haben, unterliegen natürlich der Eindeutigkeitsaussage, die wir in Satz 2.5.2 (bzw. dem anschließenden Korollar) formuliert haben.

4.2. Die Norm eines Moduls. Sei R ein Ring und A eine R-Algebra. Mit

N_{R}^{A}: A ⟶ R vermöge N_{R}^{A}(x) = det(λ_{x}) für x ∈ A

bezeichnen wir die Algebren-Norm von A über R. Wenn aus dem Kontext eindeutig hervorgeht, um welche Ringe es sich handelt, werden wir auch N statt N_{R}^{A} schreiben.

Im weiteren Verlauf dieses Abschnittes werden wir A als frei vom Rang n voraussetzen.

Lemma 4.2.1. Wir haben einen R-Algebra-Homomorphismus

ν_{R}^{A}: S_{n}A ⟶ R mit ν_{R}^{A}(a^{⊗n}) = N_{R}^{A}(a) für alle a ∈ A

Beweis. Die Existenz folgt - ähnlich wie Korollar 4.1.2 - aus dem folgenden Diagramm:

S_{n}A  ⟶^{ν_{R}^{A}}  R
S_{n}(λ_{•})↓  ^{δ}↑^{≃}
S_{n}(End(A)) ⟶^{ϱ_{n}} End(Λ^{n}A)

wobei δ: End(Λ^{n}A) ⟶ R die Isomorphie aus Abschnitt 1.5.4 ist.

Es gilt: ν_{R}^{A}(a^{⊗r}) = ν(λ_{a}^{⊗r}) = det(λ_{a}) = N_{R}^{A}(a) □

Lemma 4.2.2. Ist B eine weitere R-Algebra, dann kommutiert das folgende Diagramm:

ν_{B}^{A⊗B}: S_{n}(A ⊗_{R} B|B) ⟶ B
∥  ∥
(ν_{R}^{A})_{B}: S_{n}(A|R) ⊗_{R} B ⟶ B

Insbesondere ist

ν_{B}^{A⊗B} = (ν_{R}^{A})_{B}

Beweis. Sei a_{1} … a_{l}^{[α_{(n,l)}]} ∈ S_{n}A ein elementarsymmetrischer Tensor, dann ist

S_{n}(A|R) ⊗ B ∋ a_{1} … a_{l}^{[α_{(n,l)}]} ⊗ 1 = a_{1} ⊗ 1 … a_{l} ⊗ 1^{[α_{(n,l)}]} ∈ S_{n}(A ⊗ B|B)

Aufgrund der universellen Eigenschaft von (ν_{R}^{A})_{B} genügt es, sich davon zu überzeugen, dass

ν_{R}^{A}(a_{1} … a_{l}^{[α_{(n,l)}]}) = ν_{B}^{A⊗B}(a_{1} ⊗ 1 … a_{l} ⊗ 1^{[α_{(n,l)}]})

Das lässt sich leicht nachrechnen. □

Wir können nun folgenden zentralen Satz formulieren:

Satz 4.2.3. Sei A eine freie R-Algebra von Rang n. Dann haben wir einen eindeutigen R-Algebra-Homomorphismus

ν_{R}^{A}: S_{n}A ⟶ R

mit

(ν_{R}^{A})_{B}(a^{⊗n}) = N_{B}^{A⊗B}(â) für jede R-Algebra B und â ∈ A ⊗ B.

Beweis. Die Existenz haben wir durch Lemma 4.2.1 und Lemma 4.2.2 geklärt.

Die Eindeutigkeit folgt aus Lemma 4.2.2, denn nach Satz 2.5.2 ist ν_{R}^{A} die einzige Abbildung mit

(ν_{R}^{A})_{B}(a^{⊗n}) = ν_{B}^{A⊗B}(a^{⊗n}) = N_{B}^{A⊗B}(â) für jede R-Algebra B und â ∈ A ⊗ B □

Sei V ein freier A-Modul von endlichem Rang. Wir werden V als R-Modul ansehen und wollen uns nun mit der S_{n}A-Modulstruktur von S_{n}V auseinandersetzen. Den R-Modul

N_{R}^{A}(V) = S_{n}(V |R) ⊗_{S_{n}(A|R)} R

werden wir die Norm des Moduls V nennen. Dabei sehen wir R via ν_{R}^{A} als S_{n}A-Modul an. Wenn aus dem Kontext eindeutig hervorgeht, um welche Ringe es sich handelt, werden wir auch N (V) statt N_{R}^{A}(V) schreiben. Wie wir leicht sehen, können wir den A-Modul V in den R-Modul N (V) abbilden durch

ι_{N} : V ⟶ N_{R}^{A}(V) vermöge v ↦ v^{⊗d} ⊗ 1

Es ist offensichtlich N_{R}^{A}(A) ≃ R. Ist a^{⊗n} ∈ S_{n}A und v_{1} … v_{l}^{[α_{(n,l)}]} ∈ S_{n}V ein elementarsymmetrischer Tensor, so gilt

av_{1} … av_{l}^{[α_{(n,l)}]} ⊗ 1 = (a^{⊗n} · v_{1} … v_{l}^{[α_{(n,l)}]}) ⊗ 1 = v_{1} … v_{l}^{[α_{(n,l)}]} ⊗ N(a)

Funktoriell gesehen ist die Norm N_{R}^{A} als Komposition der beiden Funktoren

(− ⊗_{S_{n}A} R) ∘ (S_{n}−)

ein Funktor von der Kategorie der A-Moduln in die Kategorie der R-Moduln. Wie man schnell sieht, respektiert die Norm einen Grundringwechsel.

Bemerkung 4.2.4. Sei B eine R-Algebra. Wir haben folgende kanonische B-Iso-morphie:

(S_{n}(V |R) ⊗_{S_{n}(A|R)} R) ⊗_{R} B ⟶ (S_{n}(V |R) ⊗_{R} B) ⊗_{(S_{n}(A|R)⊗_{R}B)} (R ⊗_{R} B)
vermöge (v_{1} … v_{l}^{[α_{(n,l)}]} ⊗ a) ⊗ b ⟼ (v_{1} … v_{l}^{[α_{(n,l)}]} ⊗ 1) ⊗ (a ⊗ b)

für a ∈ R, b ∈ B und elementarsymmetrische Tensoren v_{1} … v_{l}^{[α_{(n,l)}]} ∈ S_{n}(V |R).

Damit können wir folgenden Satz beweisen:

Satz 4.2.5. Sei A eine freie R-Algebra vom Rang n, B eine beliebige R-Algebra und V ein freier A-Modul von endlichem Rang. Dann haben wir eine kanonische B-Isomorphie

N_{B}^{A⊗B}(V ⊗ B) ≃ N_{R}^{A}(V) ⊗_{R} B
vermöge ((v_{1} ⊗ b_{1}) … (v_{l} ⊗ b_{l})^{[α_{(r,l)}]} ⊗ 1) ↦ (v_{1} … v_{l}^{[α_{(r,l)}]} ⊗ 1) ⊗ b_{1}^{α_{1}} ⋯ b_{l}^{α_{l}}

für elementarsymmetrische Tensoren (v_{1}⊗b_{1}) … (v_{l}⊗b_{l})^{[α_{(r,l)}]}⊗1 ∈ N_{B}^{A⊗B}(V ⊗B).

Beweis. Aus der letzten Bemerkung 4.2.4 folgt:

N_{B}^{A⊗B}(V ⊗_{R} B) = S_{n}(V ⊗_{R} B|B) ⊗_{S_{n}(A⊗_{R}B|B)} B
= (S_{n}(V |R) ⊗_{R} B) ⊗_{(S_{n}(A|R)⊗_{R}B)} (R ⊗_{R} B)
≃ (S_{n}(V |R) ⊗_{S_{n}(A|R)} R) ⊗_{R} B
= N_{R}^{A}(V) ⊗_{R} B

Wie man sieht, wird ein elementarsymmetrischer Tensor wie gewünscht abgebildet. □

Wir werden in Zukunft die beiden R-Moduln aus dem letzten Satz miteinander identifizieren und können nun eine wichtige Aussage für die Norm einer A-linearen Abbildung formulieren.

Satz 4.2.6. Sei A eine freie R-Algebra vom Rang n, W ein beliebiger A-Modul und V ein freier A-Modul von endlichem Rang. Zu jeder A-linearen Abbildung

f: V ⟶ W

gibt es genau eine R-lineare Abbildung

N_{R}^{A}f: N_{R}^{A}(V) ⟶ N_{R}^{A}(W)

mit

(N_{R}^{A}f)_{B}(v^{⊗n} ⊗ 1) = f_{B}(v̂)^{⊗n} ⊗ 1 ∈ N_{B}^{A⊗B}(W ⊗ B)

für jede R-Algebra B und v̂ ∈ V ⊗ B.

Insbesondere ist

(N_{R}^{A}f)_{B} = N_{B}^{A⊗B}f_{B}

Ist f ein Isomorphismus, dann ist es auch N (f).

Beweis. Wir setzen

N_{R}^{A}f := S_{n}(f|R)_{R} via ν_{R}^{A}: S_{n}A ⟶ R

Die Eindeutigkeitsaussage ist eine Umformulierung der Eindeutigkeitsaussage über S_{n}f aus Satz 2.5.4 mittels der universellen Eigenschaft des Grundringwechsels.

Die Aussage über die Isomorphie folgt ebenfalls mittels der universellen Eigenschaft des Grundringwechsels aus Satz 2.5.4. □

Korollar 4.2.7. Insbesondere gibt es zu jeder A-Linearform f: V ⟶ A genau eine R-Linearform

N_{R}^{A}f: N_{R}^{A}(V) ⟶ R

mit

(N_{R}^{A}f)_{B}(v^{⊗n} ⊗ 1) = N_{B}^{A⊗B}(f_{B}(v̂)) für jede R-Algebra B und v̂ ∈ V ⊗ B

denn, wie wir bereits wissen, ist N_{B}^{A⊗B}(A ⊗ B) ≃ B.

4.3. Die Norm spezieller Moduln. Sei A = Π^{d}R, und seien e_{1}, …, e_{d} die orthogonalen Idempotente e_{1}, …, e_{d} mit ∑_{i=1}^{d} e_{i} = 1. Weiter sei V ein freier A-Modul vom Rang n.

4.3.1. Die Norm der Algebra Π^{d}R. Wir werden uns nun überlegen, wie der Kern von ν_{R}^{A} aussieht. Dazu schauen wir uns die Komposition der beiden Abbildungen

ϱ̃_{r}: S_{r}A ⟶ End(Λ^{r}A) und δ: End(Λ^{r}A) ⟶ R

etwas genauer an. Wie wir wissen, ist ν_{R}^{A} = δ ∘ ϱ̃_{d}.

Lemma 4.3.1. Sei α_{(r,l)} ∈ P_{(r,l)} eine Partition von r. Dann ist

δ ∘ ϱ̃_{r}(e_{i_{1},...,i_{l}}^{[α_{(r,l)}]}) ≠ 0 genau dann, wenn r = d und α_{(d,l)} = (1, …, 1)

Insbesondere ist ν_{R}^{A}(e_{1...d}^{[1,...,1]}) = 1.

Beweis. Sei α_{(r,l)} = (α_{1}, …, α_{l}). Dann sind nach Bemerkung 1.5.2 die einzigen

Tensoren in V^{⊗r}, die nicht von ϱ̃_{r}(e_{i_{1},...,i_{l}}^{[α_{(r,l)}]}) annulliert werden, von der Form

κ • (e_{i_{1}}^{⊗α_{1}} ⊗ … ⊗ e_{i_{l}}^{⊗α_{l}}) mit κ ∈ K_{α(r,l)}

Sei ohne Einschränkung i_{1} < ⋯ < i_{l}. Dann ist der einzige Tensor in Λ^{r}A, der nicht von ϱ̃_{r}(e_{i_{1},...,i_{l}}^{[α_{(r,l)}]}) annulliert wird, der Tensor

π_{Λ}(e_{i_{1}}^{⊗α_{1}} ⊗ … ⊗ e_{i_{l}}^{⊗α_{l}}) = e_{i_{1}}^{∧α_{1}} ∧ ⋯ ∧ e_{i_{l}}^{∧α_{l}}

Dieser ist genau dann gleich Null in Λ^{r}A, wenn (α_{1}, …, α_{l}) ≠ (1, …, 1). Ist d < r, so wissen wir, dass Λ^{r}A = 0 ist. Für d > r gibt es zu jedem Tensor e_{i_{1}...i_{r}}^{[1,...,1]} ∈ S_{r}A ein Basiselement e_{j_{1}} ∧⋯∧e_{j_{r}} ∈

Λ^{r}A, so dass

e_{j_{1}} ∧ ⋯ ∧ e_{j_{r}} ⟶^{ϱ̃_{r}(e_{i_{1}...ir}^{[1,...,1]})} 0

Insbesondere ist der Endomorphismus ϱ̃_{r}(e_{i_{1}...i_{r}}^{[1,...,1]}) kein Isomorphismus, und die Determinante, die man für das Ergebnis unter der Isomorphie δ berechnen muss, ist Null.

Ist d = r, dann bildet ϱ̃_{d}(e_{1...d}^{[1,...,1]}) den einzigen Basisvektor

e_{1} ∧ ⋯ ∧ e_{d}

auf sich ab. Es ist die Identität auf Λ^{d}A, damit ist ϱ̃_{d}(e_{1...d}^{[1,...,1]}) ein Isomorphismus, und wir haben unter δ das Ergebnis δ ∘ ϱ̃_{d}(e_{1...d}^{[1,...,1]}) = 1. □

In dieser Situation ist

S_{d}A = ⨁_{l=1}^{d} ⨁_{\begin{matrix}α_{(d,l)}∈P_{(d,l)} \\ 1≤i_{1}<···<i_{l}≤d \end{matrix}} e_{i_{1}...i_{l}}^{[α_{(r,l)}]}R

und damit

N (A) = S_{d}A ⊗_{S_{d}A} R = e_{1···d}^{[1,...,1]}R ≃ R

Dadurch sehen wir, dass Bild(ν_{R}^{A}) ⊆ R alleine durch die Unteralgebra e_{1···d}^{[1,...,1]} R in S_{d}A bestimmt wird. Insbesondere haben wir für das Einselement in N (A)

1_{N (A)} = 1_{S_{d}A} ⊗ 1 = e_{1···d}^{[1,...,1]} ⊗ 1

4.3.2. Die Norm eines freien Moduls über Π^{d}R. Wir werden uns in diesem Unterabschnitt mit einem Satz beschäftigen, der im weiteren Verlauf eine zentrale Rolle einnehmen wird.

Satz 4.3.2. Sei A = Π^{d}R, und seien e_{1}, …, e_{d} die orthogonalen Idempotente mit ∑_{i=1}^{d} e_{i} = 1. Weiter sei V ein freier A-Modul vom Rang n. Dann haben wir folgenden R-Isomorphismus

N_{R}^{A}(V) ⟶ e_{1}V ⊗_{R} … ⊗_{R} e_{d}V mit v^{⊗d} ⊗ 1 ↦ e_{1}v ⊗ … ⊗ e_{d}v für v ∈ V

Insbesondere ist N_{R}^{A}(V) ein R-Modul vom Rang d^{n}.

Der Beweis bedarf einiger Vorbereitung, doch einen großen Teil davon haben wir schon in Abschnitt 3.5.2 geleistet. Wir überlegen uns jetzt, wie die (Unter-)Moduln e_{i_{1}···i_{l}}^{[α_{d,l}]} · S_{d}V ⊂ e_{i_{1}···i_{l}}^{[α_{d,l}]} · V^{⊗d} aussehen.

Lemma 4.3.3. Sei 1 ≤ i_{1} … i_{l} ≤ d.

(1)  e_{1···d}^{[1,...,1]}S_{d}(V |R) ⊗_{S_{d}(A|R)} R ≃ e_{1}V ⊗_{R} … ⊗_{R} e_{d}V
vermöge  e_{1}b_{i_{1}} … e_{d}b_{i_{d}}^{[1,...,1]} ⊗ 1 ⟷ e_{1}b_{i_{1}} ⊗ … ⊗ e_{d}b_{i_{d}}

für e_{1}b_{i_{1}} … e_{d}b_{i_{d}}^{[1,...,1]} ∈ e_{1···d}^{[1,...,1]}S_{d}(V |R)

(2)  e_{i_{1}···i_{l}}^{[α_{(d,l)}]}S_{d}(V |R) ⊗_{S_{d}(A|R)} R = 0  falls α_{(d,l)} ≠ (1, …, 1)

Beweis. (2) Sei x ∈ e_{i_{1}···i_{l}}^{[α_{(d,l)}]}S_{d}(V |R). Dann ist nach Bemerkung 3.5.3

e_{i_{1}···i_{l}}^{[α_{(d,l)}]} · x = x

Nach Lemma 4.3.1 ist ν(e_{i_{1}···i_{l}}^{[α_{(d,l)}]}) = 0 und damit:

e_{i_{1}···i_{l}}^{[α_{(d,l)}]}x ⊗ 1 = x ⊗ ν(e_{i_{1}···i_{l}}^{[α_{(d,l)}]}) = 0

(1) Dies folgt unmittelbar aus Lemma 3.5.4. Man kann sich die Aussage aber auch wie folgt überlegen:

Wir können jeden Tensor aus e_{1···d}^{[1,...,1]}S_{d}(V |R) darstellen durch

e_{1···d}^{[1,...,1]}x mit x ∈ S_{d}(V |R)

Aus Bemerkung 2.2.1 wissen wir, dass wir jeden symmetrischen Tensor aus S_{d}(V |R) als Linearkombination der folgenden Tensoren schreiben können:

e_{i_{1}}b_{j_{1}} … e_{i_{l}}b_{j_{l}}^{[α_{(d,l)}]} mit 1 ≤ i_{1} … i_{l} ≤ d, 1 ≤ j_{1} … j_{l} ≤ n und α_{(d,l)} ∈ P_{(d,l)}

Der Bemerkung 1.5.2 können wir entnehmen, dass die einzigen Basiselemente von S_{r}(V |R), die durch die Multiplikation mit e_{1···d}^{[1,...,1]} nicht annulliert werden, von der folgenden Form sind:

e_{1}b_{j_{1}} … e_{d}b_{j_{d}}^{[1,...,1]} ∈ e_{1···d}^{[1,...,1]}S_{d}(V |R)

Für diese Tensoren ist nach Bemerkung 3.5.3

(e_{1,...,d}^{[1,...,1]})(e_{1}b_{j_{1}} … e_{d}b_{j_{d}}^{[1,...,1]}) = e_{1}b_{j_{1}} … e_{d}b_{j_{d}}^{[1,...,1]}

und nach Bemerkung 4.3.1 gilt ν_{R}^{A}(e_{1,...,d}^{[1,...,1]}) = 1. Damit kann die R-Isomorphie wie folgt angegeben werden:

e_{1···d}^{[1,...,1]}S_{d}(V |R) ⊗_{S_{d}(A|R)} R ≃ e_{1}V ⊗_{R} … ⊗_{R} e_{d}V
e_{1}b_{i_{1}} … e_{d}b_{i_{d}}^{[1,...,1]} ⊗ 1 ⟷ e_{1}b_{i_{1}} ⊗ … ⊗ e_{d}b_{i_{d}}
□

Wie dem Beweis zu Lemma 4.3.3 leicht zu entnehmen ist, können wir zu jedem σ ∈ S_{r} eine entsprechende Isomorphie angeben:

e_{1···d}^{[1,...,1]}S_{d}(V |R) ⊗_{S_{d}(A|R)} R ≃ e_{σ1}V ⊗ … ⊗ e_{σd}V

Insbesondere bilden die Vektoren

e_{1}b_{i_{1}} … e_{d}b_{i_{d}}^{[1,...,1]} ⊗ 1 mit i_{1}, …, i_{d} ∈ {1, …, n}

eine R-Basis von N_{R}^{A}(V).

Nun folgt der ausstehende Beweis sehr schnell.

Beweis. (von Satz 4.3.2)

S_{d}V ⊗_{S_{d}A} R =^{Bem.3.5.1} ( ⨁_{((i_{1},...,i_{l}),α_{(d,l)})∈B_{d,l}} e_{i_{1}...i_{l}}^{[α_{(d,l)}]}S_{d}V ) ⊗_{S_{d}A} R

=  ⨁_{((i_{1},...,i_{l}),α_{(d,l)})∈B_{d,l}} (e_{i_{1}...i_{l}}^{[α_{(d,l)}]}S_{d}V ⊗_{S_{d}A} R)

≃^{Lemma 4.3.3} e_{1}V ⊗ ⋯ ⊗ e_{d}V

Sei v = ∑_{i=1}^{n} a_{i}b_{i} ∈ V. Wir rechnen nun nach, was mit dem Element v^{⊗d} ⊗ 1 ∈ N (V) unter diesem Isomorphismus geschieht. Nach Lemma 4.3.3(2) ist

v^{⊗d} ⊗ 1 = ( ∑_{i=1}^{n} ∑_{j=1}^{d} a_{i}b_{i}e_{j})^{⊗d} ⊗ 1 = ∑_{1≤i_{1},...,i_{d}≤n} e_{1}b_{i_{1}}a_{i_{1}} … e_{d}b_{i_{d}}a_{i_{d}}^{[1,...,1]} ⊗ 1

und

e_{1}v⊗…⊗e_{d}v = ∑_{i_{1}=1}^{n} e_{1}b_{i_{1}}a_{i_{1}}⊗…⊗ ∑_{i_{d}=1}^{n} e_{1}b_{i_{d}}a_{i_{d}} = ∑_{1≤i_{1},...,i_{d}≤n} e_{1}b_{i_{1}}a_{i_{1}}⊗…⊗e_{1}b_{i_{d}}a_{i_{d}}

Wie wir schon gesehen haben, bildet der Isomorphismus aus Lemma 4.3.3(1) diese beiden Elemente aufeinander ab.

e_{1}b_{i_{1}}a_{i_{1}} … e_{d}b_{i_{d}}a_{i_{d}}^{[1,...,1]} ⊗ 1 ⟷ e_{1}b_{i_{1}}a_{i_{1}} ⊗ … ⊗ e_{1}b_{i_{d}}a_{i_{d}}
□

Korollar 4.3.4. Sei W ein weiterer freier A-Modul von endlichem Rang. Dann ist

N_{R}^{A}(V ⊗_{A} W) ≃ N_{R}^{A}(V) ⊗_{R} N_{R}^{A}(W)
mit (v ⊗ w)^{⊗d} ⊗ 1 ⟷ (v^{⊗d} ⊗ 1) ⊗ (w^{⊗d} ⊗ 1) für v ∈ V, w ∈ W

Beweis. Aus dem letzten Lemma folgt

N_{R}^{A}(V ⊗_{A} W)  ≃  e_{1}(V ⊗_{A} W) ⊗_{R} … ⊗_{R} e_{d}(V ⊗_{A} W)
≃^{Bem 1.5.1} (e_{1}V ⊗_{R} e_{1}W) ⊗_{R} … ⊗_{R} (e_{d}V ⊗_{R} e_{d}W)
≃  (e_{1}V ⊗_{R} … ⊗_{R} e_{d}V) ⊗_{R} (e_{1}W ⊗_{R} … ⊗_{R} e_{d}W)
≃  N_{R}^{A}(V) ⊗_{R} N_{R}^{A}(W)

Folgt man den einzelnen Isomorphismen, dann sieht man, dass ein Element (v ⊗ w)^{⊗d} ⊗ 1 ∈ N_{R}^{A}(V ⊗_{A} W) offensichtlich wie erwartet abgebildet wird. □

4.4. Die Norm im Falle einer separablen Algebra. Sei L eine separable K-Algebra der Dimension d, V ein freier L-Modul vom Rang n und F |K die Galoiserweiterung, die wir in Unterabschnitt 1.5.3 eingeführt haben. Wir werden in diesem Abschnitt die beiden F -Algebren Π^{d}F und L ⊗_{K} F miteinander identifizieren.

Bemerkung 4.4.1. V ⊗_{K} F ist ein freier L ⊗_{K} F -Modul vom Rang n.

Beweis. Ist b_{1}, …, b_{n} eine K-Basis von L, dann ist b_{1} ⊗ 1, …, b_{n} ⊗ 1 eine L ⊗_{K} F - Basis von V ⊗_{K} F. □

Satz 4.4.2. Sei L eine separable K-Algebra der Dimension d und V ein freier L-Modul vom Rang n. Sei F |K die bereits erwähnte Galoiserweiterung, und seien e_{1}, …, e_{d} ∈ Π^{d}F die orthogonalen Idempotente mit ∑_{i=1}^{d} e_{i} = 1. Dann haben wir eine kanonische F -Isomorphie

N_{K}^{L}(V) ⊗_{K} F ≃ e_{1}(V ⊗_{K} F) ⊗_{F} … ⊗_{F} e_{d}(V ⊗_{K} F)
mit (v^{⊗d} ⊗ 1) ⊗ 1 ⟷ e_{1}(v ⊗ 1) ⊗ … ⊗ e_{d}(v ⊗ 1)  für v ∈ V

Insbesondere ist N_{K}^{L}(V) ein K-Vektorraum der Dimension d^{n}.

Beweis. Es ist L⊗_{K} F = Π^{n}F. Nach Bemerkung 4.4.1 ist V ⊗_{K} F ein freier L⊗_{K} F - Modul. Wie wir sehen, folgt aus Satz 4.2.5, dass

N_{K}^{L}(V) ⊗_{K} F ≃ N_{F}^{L⊗_{K}F} (V ⊗_{K} F) = N_{F}^{Π^{n}F} (V ⊗_{K} F)

damit können wir Satz 4.3.2 anwenden, um zu sehen, dass

N_{F}^{Π^{n}F} (V ⊗_{K} F) ≃ e_{1}(V ⊗_{K} F) ⊗_{F} … ⊗_{F} e_{d}(V ⊗_{K} F)

wobei e_{1}, …, e_{d} ∈ Π^{d}F die orthogonalen Idempotente sind.

Um zu verifizieren, dass das Element (v^{⊗d} ⊗ 1) ⊗ 1 ∈ N_{K}^{L}(V) ⊗_{K} F wie gefordert abgebildet wird, müssen wir nur den Isomorphismen aus Satz 4.2.5 und Satz 4.3.2 folgen.

Kommen wir nun zur Dimension dieses K-Vektorraumes. Wir wissen aus Unterabschnitt 1.3.1, dass

dim_{K} N_{K}^{L}(V) = dim_{F} (N_{K}^{L}(V) ⊗_{K} F ) = dim_{F} (N_{F}^{Π^{n}F} (V ⊗ F))

Nach Bemerkung 4.4.1 ist V ⊗_{K} F ein freier L ⊗_{K} F -Modul vom Rang n. Damit folgt sofort, dass der K-Vektorraum N_{K}^{L}(V) die Dimension d^{n} hat. □

Sei G die Galoisgruppe von F |K (vgl. Unterabschnitt 1.5.3). Wir wissen, dass die Invarianten unter der Galoisoperation in N_{R}^{L}(V) ⊗_{K} F genau die Tensoren der folgenden Form sind:

ξ ⊗ 1 ∈ N_{K}^{L}(V) ⊗_{K} F mit ξ ∈ N_{K}^{L}(V)

Bemerkung 4.4.3. Die Isomorphie

N_{K}^{L}(V) ⊗_{K} F ≃ N_{F}^{L⊗_{K}F} (V ⊗_{L} F) = S_{d}(V ⊗_{L} F |F) ⊗_{S_{d}(L⊗_{K}F |F)} F

ist verträglich mit der Galoisoperation, die von G auf beide Räume induziert wird.

Satz 4.4.4. Sei L eine separable K-Algebra der Dimension d, und seien V, W freie L-Moduln von endlichem Rang. Dann ist

N_{K}^{L}(V ⊗_{L} W) ≃ N_{K}^{L}(V) ⊗_{K} N_{K}^{L}(W)

Beweis. Wir können die Situation durch folgendes Diagramm veranschaulichen:

N_{K}^{L}(V ⊗_{L} W)  ⟶  N_{K}^{L}(V) ⊗_{K} N_{K}^{L}(W)
≃↓  ^{≃}↓
(N_{K}^{L}(V ⊗_{L} W) ⊗_{K} F )^{G} ⟶^{≃} ((N_{K}^{L}(V) ⊗_{K} N_{K}^{L}(W)) ⊗_{K} F )^{G}
↓  ↓
N_{K}^{L}(V ⊗_{L} W) ⊗_{K} F ⟶^{≃} (N_{K}^{L}(V) ⊗_{K} F) ⊗_{F} (N_{K}^{L}(W) ⊗_{K} F)
≃↓  ^{≃}↓
N_{F}^{L⊗_{K}F} (V′ ⊗_{(L⊗_{K}F)} W′) ⟶^{≃} N_{F}^{L⊗_{K}F} (V′) ⊗_{F} N_{F}^{L⊗_{K}F} (W′)
≃↓  ^{≃}↓
⨂_{i=1}^{d} e_{i}(V′ ⊗_{(L⊗_{K}F)} W′) ⟶^{≃} ( ⨂_{i=1}^{d} e_{i}V′) ⊗_{F} ( ⨂_{i=1}^{d} e_{i}W′)

Dabei sind e_{1}, …, e_{d} die orthogonalen Idempotente aus Π^{d}F mit ∑_{i=1}^{d} e_{i} = 1 und wir setzen V′ := V ⊗_{K} F bzw. W′ := W ⊗_{K} F.

Wir müssen uns nun überlegen, dass alle Isomorphismen die Operation der Galoisgruppe respektieren. Für die Isomorphie

⨂_{i=1}^{d} e_{i}(V′ ⊗_{(L⊗_{K}F)} W′) ≃ ( ⨂_{i=1}^{d} e_{i}V′) ⊗_{F} ( ⨂_{i=1}^{d} e_{i}W′)

ist es offensichtlich. Dass die Operation die beiden Isomorphismen

N_{K}^{L}(V ⊗_{L} W) ⊗_{K} F ≃ N_{F}^{L⊗_{K}F} ((V ⊗_{K} W) ⊗_{K} F )
≃ N_{F}^{L⊗_{K}F} ((V ⊗_{K} F) ⊗_{(L⊗_{K}F)} (W ⊗_{K} F))

und

(N_{K}^{L}(V) ⊗_{K} F) ⊗_{F} (N_{K}^{L}(W) ⊗_{K} F) ≃ N_{F}^{L⊗_{K}F} (V ⊗_{K} F) ⊗_{F} N_{F}^{L⊗_{K}F} (W ⊗_{K} F)

respektiert, folgt aus der letzten Bemerkung. Wir müssen uns also nur noch mit der Isomorphie

N_{F}^{L⊗_{K}F} (V ⊗_{K} F) ≃ e_{1}(V ⊗_{K} F) ⊗ … ⊗ e_{d}(V ⊗_{K} F)

beschäftigen. Da

N_{F}^{L⊗_{K}F} (V ⊗_{K} F) ≃ e_{1} … e_{d}^{[1,...,1]}S_{d}(V ⊗_{K} F |F) ⊗_{S_{d}(L⊗_{K}F |F)} F

ist, lässt sich die Verträglichkeit in diesem Fall anhand der in Lemma 4.3.3(1) angegebenen Isomorphie nachrechnen. □

4.5. Die Norm einer bilinearen Abbildung. Sei R ein Ring, A eine freie R-Algebra vom Rang n und β′: V × W ⟶ A eine Bilinearform auf den A-Moduln V, W. Wie wir bereits in Abschnitt 4.2 gesehen haben, können wir die A-Linearform φ_{β′}: V ⊗_{A} W ⟶ A zu einer R-Linearform

N (φ_{β′}): N (V ⊗_{A} W) ⟶ R mit (v ⊗ w)^{⊗n} ⊗ 1 ⟼ N(β′(v, w))

für v ∈ V, w ∈ W fortsetzten. Wir werden nun sehen, dass es auch möglich ist, diese Fortsetzung R-bilinear auf den Normen der A-Moduln V, W zu definieren. Dabei gehen wir zunächst etwas allgemeiner vor.

Sei M ein weiterer A-Modul und β: V × W ⟶ M eine R-bilineare Abbildung. Man erinnere sich an die bilineare Abbildung

S_{n}β: S_{n}V × S_{n}W ⟶ S_{n}M

aus Satz 3.3.3 und an die Abbildung ν_{R}^{A}: S_{n}A ⟶ R aus Satz 4.2.3. Wir betrachten

(S_{n}β)_{R}: (S_{n}V ⊗_{S_{n}A} R) × (S_{n}W ⊗_{S_{n}A} R) ⟶ (S_{n}M ⊗_{S_{n}A} R)

und erhalten dadurch eine bilineare Abbildung

N_{R}^{A}β: N_{R}^{A}(W) × N_{R}^{A}(V) ⟶ N_{R}^{A}(M)

die auf der Norm N_{R}^{A}(V) des Moduls V definiert ist. Diese bilineare Abbildung werden wir die Norm der bilinearen Abbildung β nennen. Geht aus dem Kontext hervor, um welche Ringe es sich handelt, so schreiben wir manchmal auch N β anstatt N_{R}^{A}β.

N (V) × N (W)  ⟶^{N β}  N (M)
∥  ∥
(S_{n}V ⊗_{S_{n}A} R) × (S_{n}W ⊗_{S_{n}A} R) ⟶^{(S_{n}β)_{R}} S_{n}M ⊗_{S_{n}A} R

Bemerkung 4.5.1. Der injektive Homomorphismus S_{r}V ⊗ S_{r}W ⟶ S_{r}(V ⊗ W) induziert einen injektiven Homomorphismus

N (V) ⊗ N (W) ⟶ N (V ⊗ W)

und φ_{N β} faktorisiert wie folgt:

N (V) ⊗ N (W) ⟶^{φ_{N β}} N (M)
↓  ∥
N (V ⊗ W) ⟶^{N φ_{β}} N (M)

Wir können die bis hierhin erarbeiteten Ergebnisse in folgendem Satz zusammenfassen:

Satz 4.5.2. Sei A eine freie R-Algebra vom Rang n, und seien V, W A-Moduln. Zu jeder A-bilinearen Abbildung β: V × W ⟶ M gibt es eine R-bilineare Abbildung

N_{R}^{A}β: N_{R}^{A}(V) × N_{R}^{A}(W) ⟶ N_{R}^{A}(M)

mit

((a_{1}v)^{⊗n} ⊗ 1, (a_{2}w)^{⊗n} ⊗ 1) ⟼ N_{R}^{A}(a_{1}a_{2}) · (β(v, w)^{⊗n} ⊗ 1)

für a_{1}, a_{2} ∈ A und v ∈ V, w ∈ W.

Sei B eine weitere R-Algebra, dann gilt auch hier

(N_{R}^{A}β)_{B} = N_{B}^{A⊗B}β_{B}

Beweis. Offensichtlich erfüllt N_{R}^{A}β die oben genannte Bedingung. □

Satz 4.5.3. Sei A eine freie R-Algebra, seien V, V′, W, W′, M, M′ freie A-Moduln von endlichem Rang, und seien β: V × W ⟶ M und β′: V′ × W′ ⟶ M′ zwei A-bilineare Abbildungen. Dann faktorisiert N_{R}^{A}β ⊗ N_{R}^{A}β′ wie folgt:

N (V) ⊗ N (V′) × N (W) ⊗ N (W′) ⟶^{N β⊗N β′} N (M) ⊗ N (M′)
↓  ↓
N (V ⊗ V′) × N (W ⊗ W′)  ⟶^{N (β⊗β′)} N (M ⊗ M′)

Beweis. Dies folgt aus Bemerkung 3.3.7. □

Korollar 4.5.4. Sei A eine separable K-Algebra der Dimension d, oder sei A = Π^{d}R. Dann können wir N (V) ⊗ N (W) und N (V ⊗ W) durch die kanonischen Isomorphismen aus Satz 4.4.4 bzw. Korollar 4.3.4 miteinander identifizieren. Insbesondere gilt

N φ_{β} = φ_{N β} und N β ⊗ N β′ = N (β ⊗ β′)

Wie wir bereist angekündigt haben, interessiert uns besonders der Fall M = A. In diesem Fall ist β eine A-Bilinearform, und wir erhalten mittels der Isomorphie φ: N_{R}^{A}(A) ≃ R eine R-Bilinearform

N_{R}^{A}(V) × N_{R}^{A}(W) ⟶ R

die wir ebenfalls mit N_{R}^{A}β bezeichnen wollen. Genau genommen handelt es sich in diesem Fall um die Abbildung

N_{R}^{A}β := φ ∘ (S_{n}(β))_{R}

Insbesondere gibt es zu jeder A-Bilinearform eine R-Bilinearform

N_{R}^{A}(β): N_{R}^{A}(V) × N_{R}^{A}(W) ⟶ R

mit

N_{R}^{A}(β)(v^{⊗n} ⊗ 1, w^{⊗n} ⊗ 1) = N_{R}^{A}(β(v, w)) für v ∈ V, w ∈ W

Lemma 4.5.5. Sei β: V × V ⟶ M eine A-bilineare Abbildung. Dann gilt: Ist β eine symmetrische bilineare Abbildung, dann ist auch N_{R}^{A}(β) symmetrisch.

Beweis. Dies folgt direkt aus Bemerkung 3.3.4. □

4.5.1. Die Norm von Bilinearformen über Produktalgebren. Wir werden uns kurz mit der Situation aus Unterabschnitt 3.5.1 auseinandersetzen. Sei deshalb A = Π^{d}R mit den orthogonalen Idempotenten e_{1}, …, e_{d} mit ∑_{i=1}^{d} e_{i} = 1.

Seien V, W und M freie A-Moduln von endlichem Rang, und sei β: V ×W ⟶ M eine A-bilineare Abbildung, dann definieren wir

β_{i} := β|_{e_{i}V ×e_{i}W} für i = 1, …, d

Seien v ∈ e_{i}V, w ∈ e_{i}W. Dann ist v = e_{i}v (bzw. w = e_{i}w), und wir erhalten

β_{i}(v, w) = β(e_{i}v, e_{i}w) = e_{i}^{2}β(v, w) = e_{i}β(v, w) ∈ e_{i}M

Schließlich haben wir eine (offensichtlich R-bilineare) Abbildung

β_{i}: e_{i}V × e_{i}W ⟶ e_{i}M

Bemerkung 4.5.6. Ist β: V × V ⟶ A nicht ausgeartet, so sind auch

β_{i}: e_{i}V × e_{i}V ⟶ R (≃ e_{i}A) für i = 1, …, d

nicht ausgeartet.

Wir werden N (V) und e_{1}V ⊗ … ⊗ e_{d}V über die kanonische Isomorphie aus Satz 4.3.2 miteinander identifizieren.

Satz 4.5.7. In dieser Situation ist

N_{R}^{A}(β) = β_{1} ⊗ … ⊗ β_{d}

Beweis. Wir überprüfen die Behauptung anhand der entsprechenden linearen Abbildungen.

N (V) ⊗ N (W)  ⟶^{φ_{(N β)}}  N (M)
≃↓^{Satz 4.3.2}  ^{≃}↓^{Satz 4.3.2}
(e_{1}V ⊗ … ⊗ e_{d}V ) ⊗ (e_{1}W ⊗ … ⊗ e_{d}W ) ⟶^{φ_{⨂{d \atop i=1} β_{i}}} e_{1}M ⊗ … ⊗ e_{d}M

Sei 1 ≤ i_{1}, …, i_{d} ≤ n, 1 ≤ j_{1}, …, j_{d} ≤ m und

e_{1}b_{i_{1}} … e_{d}b_{i_{d}}^{[1,...,1]} ∈ S_{d}V und e_{1}c_{j_{1}} … e_{d}c_{j_{d}}^{[1,...,1]} ∈ S_{d}W

Dann sehen wir anhand von Beispiel 3.5.5, dass

e_{1}b_{i_{1}} … e_{d}b_{i_{d}}^{[1,...,1]} ⊗ 1 ⊗ e_{1}c_{j_{1}} … e_{d}c_{j_{d}}^{[1,...,1]} ⊗ 1 ∈ N (V) ⊗ N (W)

zum einen über

e_{1}β(b_{i_{1}}, c_{j_{1}}) … e_{d}β(b_{i_{d}}, c_{j_{d}})^{[1,...,1]} ⊗ 1 ∈ N (M)

auf

e_{1}β(b_{i_{1}}, c_{j_{1}}) ⊗ … ⊗ e_{d}β(b_{i_{d}}, c_{j_{d}}) = β_{1}(b_{i_{1}}, c_{j_{1}}) ⊗ … ⊗ β_{d}(b_{i_{d}}, c_{j_{d}}) ∈ e_{1}M ⊗ … ⊗ e_{d}M

und zum anderen über

e_{1}b_{i_{1}} ⊗ … ⊗ e_{d}b_{i_{d}} ⊗ e_{1}c_{j_{1}} ⊗ … ⊗ e_{d}c_{j_{d}} ∈ e_{1}V ⊗ … ⊗ e_{d}V ⊗ e_{1}W ⊗ … ⊗ e_{d}W

ebenfalls auf

β_{1}(b_{i_{1}}, c_{j_{1}}) ⊗ … ⊗ β_{d}(b_{i_{d}}, c_{j_{d}}) ∈ e_{1}M ⊗ … ⊗ e_{d}M

abgebildet wird. □

Korollar 4.5.8. Sei β: V × V ⟶ A eine nicht ausgeartete A-Bilinearform, dann ist auch N_{R}^{A}(β) nicht ausgeartet.

4.5.2. Die Norm von Bilinearformen über separablen Algebren. Wir werden uns nun mit einer letzten wichtigen Aussage über Bilinearformen beschäftigen.

Satz 4.5.9. Sei L eine separable K-Algebra endlicher Dimension, V ein freies L-Modul von endlichem Rang und β: V × V ⟶ L eine nicht ausgeartete L-Bilinearform. Dann ist auch die K-Bilinearform

N_{K}^{L}β: N_{K}^{L}(V) × N_{K}^{L}(V) ⟶ K

nicht ausgeartet.

Beweis. Wir wissen, dass für die Galoiserweiterung F |K die bilineare Abbildung N_{F}^{F ⊗L}(β_{F}) nicht ausgeartet ist (siehe Korollar 4.5.8).

Unter der Isomorphie

N_{F}^{F ⊗L}(V ⊗ F) ≃ N_{K}^{L}(V) ⊗ F ist N_{F}^{F ⊗L}(β_{F}) = (N_{K}^{L}β)_{F}

und auch die bilineare Abbildung N_{K}^{L}β ist nicht ausgeartet. □

5. Der multiplikative Transfer auf dem Grothendieck-Witt-Ring

5.1. Eine Erweiterung für den Begriff der Norm eines Moduls.

5.1.1. Die Erweiterung für Algebren. Sei A eine freie R-Algebra vom Rang r und B eine beliebige R-Algebra.

Sei α_{(r,l)} ∈ P_{(r,l)}. Wir haben in Abschnitt 3.4.2 schon die Ringerweiterung S_{α_{(r,l)}}A ⊃ S_{r}A kennengelernt. In diesem Abschnitt werden wir uns mit folgender Konstruktion auseinandersetzen:

C_{α_{(r,l)}}(A|R) := S_{α_{(r,l)}}(A|R) ⊗_{S_{r}(A|R)} R

Offensichtlich ist C_{r}(A|R) = N_{R}^{A}(A) ≃ R.

Wie wir gleich sehen werden, respektiert diese Konstruktion einen Grundringwechsel.

Bemerkung 5.1.1. Sei α_{(r,l)} = (α_{1}, …, α_{l}) ∈ P_{(r,l)}. Dann haben wir eine kanonische B-Isomorphie

(S_{α_{(r,l)}}(A|R) ⊗_{S_{r}(A|R)} R) ⊗_{R} B ≃ (S_{α_{(r,l)}}(A|R) ⊗_{R} B) ⊗_{(S_{r}(A|R)⊗_{R}B)} (R ⊗_{R} B)

vermöge

(a_{1}^{[γ_{(α_{1},k_{1})}]} ⊗ … ⊗ a_{l}^{[γ_{(α_{l},k_{l})}]} ⊗ a) ⊗ b ↦ (a_{1}^{[γ_{(α_{1},k_{1})}]} ⊗ … ⊗ a_{l}^{[γ_{(α_{l},k_{l})}]} ⊗ 1) ⊗ (1 ⊗ ab)

für alle a ∈ R, b ∈ B und elementarsymmetrische a_{i}^{[γ_{(α_{i},k_{i})}]} ∈ S_{α_{i}}A für i = 1, …, l.

Lemma 5.1.2. Wir haben folgende B-Isomorphie:

C_{α_{(r,l)}}(A|R) ⊗_{R} B ≃ C_{α_{(r,l)}}(A ⊗_{R} B|B)

mit

(a_{1}^{[γ_{(α_{1},k_{1})}]} ⊗ … ⊗ a_{l}^{[γ_{(α_{l},k_{l})}]} ⊗ 1) ⊗ 1 ↦ (a_{1} ⊗ 1)^{[γ_{(α_{1},k_{1})}]} ⊗ … ⊗ (a_{l} ⊗ 1)^{[γ_{(α_{l},k_{1})}]} ⊗ 1

für elementarsymmetrische Tensoren a_{i}^{[γ_{(α_{i},k_{i})}]} ∈ S_{α_{i}}A für i = 1, …, l.

Beweis.

C_{α_{(r,l)}}(A|R) ⊗_{R} B  =  (S_{α_{(r,l)}}(A|R) ⊗_{S_{r}A} R) ⊗_{R} B
≃^{Bem.5.1.1} (S_{α_{(r,l)}}(A|R) ⊗_{R} B) ⊗_{(S_{r}(A|R)⊗_{R}B)} (R ⊗_{R} B)
≃^{Satz 3.4.2} S_{α_{(r,l)}}(A ⊗_{R} B|B) ⊗_{S_{r}(A⊗_{R}B|B)} B
=  C_{α_{(r,l)}}(A ⊗_{R} B|B)

Folgt man den genannten Isomorphismen, dann sieht man schnell, dass Elemente aus C_{α_{(r,l)}}(A|R) ⊗_{R} B wie erwartet abgebildet werden. □

Für den Rest dieses Unterabschnitts werden wir uns mit dem Spezialfall A = Π^{d}R und dessen Folgerungen auseinandersetzen. Sei α_{(d,l)} ∈ P_{(d,l)}. Wir betrachten nun C_{α_{(d,l)}}A. Im Rückblick auf Bemerkung 3.5.2 seien

E_{1} = e_{i_{11}...i_{1k_{1}}}^{[γ_{(α_{1},k_{1})}]} ∈ S_{α_{1}}A, …, E_{l} = e_{i_{l1}...i_{lk_{l}}}^{[γ_{(α_{l},k_{l})}]} ∈ S_{α_{l}}A

und sei

𝔼 = e_{i_{11}...i_{1k_{1}} ...i_{lk_{l}}}^{[γ_{11},...,γ_{1k_{1}} ,...,γ_{lk_{l}}]} ∈ S_{n}A

der elementarsymmetrische Tensor, der von den (im Allgemeinen nicht paarweise verschiedenen) idempotenten Elementen e_{i_{11}}, …, e_{i_{1k_{1}}} , …, e_{i_{lk_{l}}} ∈ A erzeugt wird. Es sei an dieser Stelle Folgendes erwähnt:

Bemerkung 5.1.3.

ν_{R}^{A}(𝔼) = \{ \begin{matrix}1 & falls 𝔼 = e_{1...d}^{[1,...,1]} \\ 0 & sonst \end{matrix}

Beweis. Dies ist eine Umformulierung von Lemma 4.3.1. □

Wir erinnern uns an Unterabschnitt 3.5.1 bzw. Bemerkung 3.5.1. Dort haben wir gesehen, dass

S_{α_{(d,l)}}A = ⨁_{E_{1}∈E_{α_{1}}} ⋯ ⨁_{E_{l}∈E_{α_{l}}} E_{1} ⊗ … ⊗ E_{l} · R

Also ist nach Bemerkung 3.5.2

C_{α_{(d,l)}}A = ⨁_{(E_{1},...,E_{l})∈E}(E_{1} ⊗ … ⊗ E_{l} · R) ⊗_{S_{d}A} R
≃ ⨁_{(E_{1},...,E_{l})∈E} E_{1} ⊗ … ⊗ E_{l} · R

mit

E = {(E_{1}, …, E_{l})|E_{j} ∈ E_{α_{j}} für 1 ≤ j ≤ l und {i_{11}, …, i_{1k_{1}}, …, i_{lk_{l}}} = {1, …, d}}

Aus unseren Überlegungen folgt sofort:

Lemma 5.1.4. E ist eine R-Basis von C_{α_{(d,l)}}A. Insbesondere ist C_{α_{(d,l)}}A ein freier R-Modul vom Rang

Rang_{R} (C_{α_{(d,l)}}A) = \binom{α_{1} + ⋯ + α_{l}}{α_{1}} · \binom{α_{2} + ⋯ + α_{l}}{α_{2}} ⋯ \binom{α_{l}}{α_{l}}

Korollar 5.1.5. Sei K ein Körper und L eine separable K-Algebra der Dimension d. Dann hat C_{α_{(d,l)}}L die Dimension

dim_{K} (C_{α_{(d,l)}}L) = \binom{α_{1} + ⋯ + α_{l}}{α_{1}} · \binom{α_{2} + ⋯ + α_{l}}{α_{2}} ⋯ \binom{α_{l}}{α_{l}}

Beweis. Dies folgt ähnlich wie Satz 4.4.2, indem man C_{α_{(d,l)}}(L) mit dem algebraischen Abschluss \overline{K} von K (oder einer geeigneten Galoiserweiterung) tensoriert. Wir haben in Lemma 5.1.2 gesehen, dass

(C_{α_{(d,l)}}L) ⊗_{K} \overline{K} ≃ C_{α_{(d,l)}}(L ⊗_{K} \overline{K}) = C_{α_{(d,l)}}(Π^{d}\overline{K})

Wir wissen aus Unterabschnitt 1.3.1, dass

dim_{K} C_{α_{(d,l)}}L = dim\overline{K}(C_{α_{(d,l)}}L ⊗_{K} \overline{K}) = dim\overline{K} C_{α_{(d,l)}}(Π^{d}\overline{K})

und somit folgt die Behauptung aus dem letzten Lemma. □

5.1.2. Die Erweiterung für Moduln. Sei auch in diesem Unterabschnitt A eine freie R-Algebra vom Rang d, und seien V_{1}, …, V_{l} freie A-Moduln von endlichem Rang. Wir wissen, dass die V_{i} auch als R-Moduln gesehen werden können, und haben für α_{1}, …, α_{l} > 0 schon die Konstruktion S_{(α_{1},...,α_{l})}(V_{1}, …, V_{l}|R) kennengelernt (siehe Abschnitt 2.1). S_{α_{(d,l)}}(V_{1}, …, V_{l}|R) ist auf natürliche Weise ein S_{α_{(d,l)}}(A|R)-Modul. Wir definieren

C_{α_{(d,l)}}(V_{1}, …, V_{l}|R) := S_{α_{(d,l)}}(V_{1}, …, V_{l}|R) ⊗_{(S_{α_{(d,l)}} (A|R))} C_{α_{(d,l)}}(A|R)

Offensichtlich ist C_{d}(V_{1}|R) = N_{R}^{A}(V_{1}).

Bemerkung 5.1.6. Diese Konstruktion hat ähnliche Eigenschaften, wie wir sie schon für die Norm von Moduln nachgerechnet haben.

(1) Seien V′_{1}, …, V′_{l} weitere freie A-Moduln, dann haben wir einen injektiven R-Homomorphismus:

C_{α_{(d,l)}}(V_{1}, …, V_{l}) ⊗ C_{α_{(d,l)}}(V′_{1}, …, V′_{l}) ⟶ C_{α_{(d,l)}}(V_{1} ⊗ V′_{1}, …, V_{l} ⊗ V′_{l})

(Wie wir später sehen werden, ist diese Abbildung sogar ein Isomorphismus, wenn A = Π^{d}R ist, oder wenn A eine separable K-Algebra ist. Siehe Satz 5.1.7.)

(2) Sei B eine R-Algebra, dann haben wir eine kanonische B-Isomorphie

C_{α_{(d,l)}}(V_{1}, …, V_{l}|R) ⊗_{R} B ≃ C_{α_{(d,l)}}(V_{1} ⊗_{R} B, …, V_{l} ⊗_{R} B|B)

Es folgt noch eine Eigenschaft, die wir in ähnlicher Form schon in Kapitel 4 (Satz 4.3.2) gesehen haben.

Satz 5.1.7. Sei A = Π^{d}R, α_{(d,l)} = (α_{1}, …, α_{l}) ∈ P_{(d,l)}, und seien V_{1}, …, V_{l} freie A-Moduln von endlichem Rang. Dann ist

C_{α_{(d,l)}}(V_{1}, …, V_{l}) ≃ ⨁_{(E_{1},...,E_{l})∈E} E_{1}S_{α_{1}}V_{1} ⊗ … ⊗ E_{l}S_{α_{l}}V_{l}

Nach Lemma 3.5.4 wissen wir, dass

E_{j}S_{α_{j}}V_{j} ≃ e_{i_{j1}}V_{j} ⊗ … ⊗ e_{i_{jα_{j}}} V_{j} für E_{j} = e_{i_{j1},...,i_{jα_{j}}}^{[1,...,1]}

Beweis. Mit der Darstellung von C_{α_{(d,l)}}A aus dem letzten Unterabschnitt können wir C_{α_{(d,l)}}(V_{1}, …, V_{l}) wie folgt darstellen:

S_{α_{(d,l)}}(V_{1}, …, V_{l}) ⊗_{S_{α_{(d,l)}} A} ( ⨁_{(E_{1},...,E_{l})∈E}(E_{1} ⊗ … ⊗ E_{l} · R) ⊗_{S_{d}A} R)

(Dabei ist E wie vorhin.) Nun ist

S_{α_{(d,l)}}(V_{1}, …, V_{l}) = ⨁_{E_{1}∈E_{1},...,E_{l}∈E_{l}} E_{1}S_{α_{1}}V_{1} ⊗ … ⊗ E_{l}S_{α_{l}}V_{l}

und die E_{1} ⊗ … ⊗ E_{l} ∈ S_{α_{(d,l)}} mit E_{1} ∈ E_{1}, …, E_{l} ∈ E_{l} sind orthogonale Idempotente, so dass

S_{α_{(d,l)}}(V_{1}, …, V_{l}) ⊗_{S_{α_{(d,l)}} A} C_{α_{(d,l)}}A
= ⨁_{(E_{1},...,E_{l})∈E} (E_{1}S_{α_{1}}V_{1} ⊗ … ⊗ E_{l}S_{α_{l}}V_{l}) ⊗_{S_{α_{(d,l)}} A} (E_{1} ⊗ … ⊗ E_{l} · R)

und wir erkennen, dass die Behauptung erfüllt ist. □

5.2. Der Spezialfall C_{(k,d−k)}A. Sei A eine freie R-Algebra vom Rang d und k ≤ d. Wir betrachten folgenden R-Algebra-Homomorphismus:

ν̃_{k}: S_{k}A ⟶ C_{(k,d−k)}A
↓  ↑
S_{k}A ⊗ 1 ⟶ S_{k}A ⊗_{R} S_{d−k}A

vermöge ν̃_{k}(x) = (x ⊗ 1^{⊗d−k}) ⊗ 1 für x ∈ S_{k}A.

Offensichtlich ist ν̃_{d} = ν_{R}^{A}.

Bemerkung 5.2.1. Der Homomorphismus ν̃_{k} ist surjektiv.

Beweis. Lemma 3.4.3 besagt, dass es zu a ∈ S_{k}A ⊗ S_{d−k}A symmetrische Tensoren x_{i} ∈ S_{k}A und y_{i} ∈ S_{d}A (i = 1, …, n) gibt, so dass

a = ∑_{i=1}^{n}(x_{i} ⊗ 1^{⊗d−k}) · y_{i}

Es ist ((x_{i} ⊗ 1^{⊗d−k}) · y_{i}) ⊗ 1 = (x_{i} ⊗ 1^{⊗d−k}) ⊗ ν_{R}^{A}(y_{i}) ∈ C_{(k,d−k)}A, und wir haben

∑_{i=1}^{n} (ν_{R}^{A}(y_{i}) · x_{i}) ∈ S_{k}A

als mögliches Urbild von a ⊗ 1 ∈ C_{(k,d−k)}A. □

Seien i, j ≥ 0 und i + j ≤ d. Wir werden uns nun mit zwei Spezialfällen beschäftigen, in denen die Spur-Abbildung

T_{ij}: S_{i}A ⊗ S_{j}A ⟶ S_{i+j}A

eine Abbildung

T̂_{ij}: C_{(i,d−i)}A ⊗ C_{(j,d−j)}A ⟶ C_{(i+j,d−i−j)}A

induziert.

5.2.1. C_{(i,d−i)}A einer Produktalgebra A. Sei A = Π^{d}R. Wir können folgende Aussage über den Kern von ν̃_{k} machen:

Bemerkung 5.2.2. Kern ν̃_{k} wird erzeugt von den Elementen

e_{i_{1}...i_{l}}^{[α_{(k,l)}]} ∈ E_{k} mit α_{(k,l)} ≠ (1, …, 1)

Beweis. Wie wir bereits gesehen haben, bilden die e_{i_{1}...i_{l}}^{[α_{(k,l)}]} ∈ E_{k} eine Basis von S_{k}A. Unter ν̃_{k} wird wie folgt abgebildet:

e_{i_{1}...i_{l}}^{[α_{(k,l)}]} ⟼ (e_{i_{1}...i_{l}}^{[α_{(k,l)}]} ⊗ 1^{⊗d−k}) ⊗ 1 = ∑_{E∈E_{d−k}}(e_{i_{1}...i_{l}}^{[α_{(k,l)}]} ⊗ E) ⊗ 1

Nun ist, wie wir bereits in der Vorbereitung von Korollar 5.1.5 gesehen haben,

C_{(k,d−k)}A = ⨁_{(E_{1},E_{2})∈E} E_{1} ⊗ E_{2} · R

mit E = {(E_{1}, E_{2})|E_{1} ∈ E_{k}, E_{2} ∈ E_{d−k} und {i_{11}, …, i_{1l}, i_{21} …, i_{2l′}} = {1, …, d}}.

Folglich sind die Bilder von zwei Basiselementen e_{i_{1}...i_{l}}^{[α_{(k,l)}]} ≠ e_{j_{1}...j_{l′}}^{[α′_{(k,l′)}]} von S_{k}A linear unabhängig.

Aus Bemerkung 1.5.2 und Bemerkung 3.5.2 wissen wir, dass

(e_{i_{1}...i_{l}}^{[α_{(k,l)}]} ⊗ 1) · e_{1...d}^{[1,...,1]} = ( ∑_{E∈E_{d−k}} e_{i_{1}...i_{l}}^{[α_{(k,l)}]} ⊗ E) · e_{1...d}^{[1,...,1]} ≠ 0

genau dann, wenn α_{(k,l)} = (1, …, 1). Damit folgt die Behauptung. □

Wir betrachten nun die Abbildung

ν̃_{i} ⊗ ν̃_{j}: S_{i}A ⊗ S_{j}A ⟶ C_{(i,d−i)}A ⊗ C_{(j,d−j)}A

Bemerkung 5.2.3. Es ist

T_{ij}(Kern ν̃_{i} ⊗ ν̃_{j}) ⊂ Kern ν̃_{i+j}

Beweis. Kern ν̃_{i} ⊗ ν̃_{j} wird erzeugt von den Elementen x ⊗ y ∈ S_{(i,j)}A mit

x ∈ Kern ν̃_{i} und y ∈ S_{j}A oder y ∈ Kern ν̃_{j} und x ∈ S_{i}A

Sei ohne Einschränkung e_{k_{1}...k_{l}}^{[α_{(j,l)}]} ∈ E_{j} mit α_{(j,l)} ≠ (1, …, 1) ein Erzeuger von Kern ν̃_{j}, so ist offensichtlich

T_{ij}(x ⊗ e_{k_{1}...k_{l}}^{[α_{(j,l)}]}) ≠ e_{1...d}^{[1,...,1]}

und damit nach der letzten Bemerkung 5.2.2 ein Element aus Kern ν̃_{i+j}.

Wir sehen also, dass die Erzeuger von Kern ν̃_{i} ⊗ ν̃_{j} nach Kern ν̃_{i+j} abgebildet werden. □

Wie wir im folgenden Satz sehen werden, folgt aus dieser Bemerkung die Existenz einer solchen Abbildung T̂_{ij} für den Spezialfall A = Π^{d}R.

S_{i}A ⊗ S_{j}A  ⟶^{T_{ij}}  S_{i+j}A
ν̃_{i}⊗ν̃_{j} ↓  ν̃_{i+j} ↓
T̂_{ij}: C_{(i,d−i)}A ⊗ C_{(j,d−j)}A ⟶ C_{(i+j,d−i−j)}A

Satz 5.2.4. Sei A = Π^{d}. Dann induziert die Spur-Abbildung T_{ij} eine eindeutige Abbildung

T̂_{ij}: C_{(i,d−i)}A ⊗ C_{(j,d−j)}A ⟶ C_{(i+j,d−i−j)}A

Diese ist C_{(i+j,d−i−j)}A-linear und es gilt

ν̃_{i+j} ∘ T_{ij} = T̂_{ij} ∘ (ν̃_{i} ⊗ ν̃_{j})

Beweis. Nach Bemerkung 5.2.1 sind die Abbildungen ν̃_{i} und ν̃_{j} surjektiv. Folglich ist auch die Abbildung ν̃_{i} ⊗ ν̃_{j} surjektiv und wir finden zu jedem Element

ξ ∈ C_{(i,d−i)}A ⊗ C_{(j,d−j)}A

ein Urbild

∑_{k=1}^{n} x_{k} ⊗ y_{k} ∈ S_{i}A ⊗ S_{j}A mit x_{k} ∈ S_{i}A und y_{k} ∈ S_{j}A für k = 1, …, n

Nach der letzten Bemerkung legt die folgende Gleichung die Abbildung T̂_{ij} eindeutig fest:

T̂_{ij}(ξ) := ν̃_{i+j}( ∑_{k=1}^{n} T_{ij}(x_{k} ⊗ y_{k})) = ∑_{k=1}^{n} ν̃_{i+j}(T_{ij}(x_{k} ⊗ y_{k}))  □

5.2.2. C_{(k,d−k)} einer separablen K-Algebra. Ist L eine separable K-Algebra von Rang d, dann existiert, wie wir in Unterabschnitt 1.5.3 gesehen haben, eine Galoiserweiterung F |K mit L ⊗_{K} F ≃ Π^{d}F. Wir werden in diesem Unterabschnitt die beiden F -Algebren über diese Isomorphie miteinander identifizieren. Die Galoisgruppe von F |K werden wir mit G bezeichnen.

Sei 0 ≤ i ≤ d. Wir wissen, dass C_{(i,d−i)}(L|K) einen Grundringwechsel respektiert, demnach ist

C_{(i,d−i)}(L|K) ⊗_{K} F ≃ C_{(i,d−i)}(L ⊗_{K} F |F) = C_{(i,d−i)}(Π^{d}F |F)

Weiter sei 0 ≤ j ≤ d mit i+j ≤ d. Dann existiert, wie wir im letzten Unterabschnitt gesehen haben, die gewünschte Abbildung

T̂_{ij}: C_{(i,d−i)}(L ⊗_{K} F |F) ⊗ C_{(j,d−j)}(L ⊗_{K} F |F) ⟶ C_{(i+j,d−i−j)}(L ⊗_{K} F |F)

Wir bezeichnen die Abbildung in diesem Unterabschnitt mit T̂_{ij}, damit wir sie besser von der gesuchten Abbildung

T̂_{ij}: C_{(i,d−i)}(L|K) ⊗ C_{(j,d−j)}(L|K) ⟶ C_{(i+j,d−i−j)}(L|K)

unterscheiden können.

Außerdem haben wir eine kanonische Isomorphie

C_{(k,d−k)}(L|K) ≃ (C_{(k,d−k)}(L|K) ⊗_{K} F)^{G} vermöge ξ ↦ ξ ⊗ 1

Lemma 5.2.5. Die Isomorphie

C_{(k,d−k)}(L ⊗ F |F) ≃ C_{(k,d−k)}(L|K) ⊗_{K} F

respektiert die Operation der Galoisgruppe G von F |K.

Insbesondere ist

C_{(k,d−k)}(L ⊗ F |F)^{G} ≃ (C_{(k,d−k)}(L|K) ⊗_{K} F )^{G}

Beweis. Es ist

C_{(k,d−k)}(L ⊗ F |F) = S_{(k,d−k)}(L ⊗_{K} F |F) ⊗_{S_{d}(L⊗_{K}F |F)} F
≃ (S_{(k,d−k)}(L|K) ⊗_{K} F) ⊗_{S_{d}(L|K)⊗_{K}F} (K ⊗_{K} F)
≃ (S_{(k,d−k)}(L|K) ⊗_{S_{d}(L|K)} K) ⊗_{K} F)
= C_{(k,d−k)}(L|K) ⊗_{K} F

Die Isomorphie

S_{(k,d−k)}(L ⊗_{K} F |F) ⊗_{S_{d}(L⊗_{K}F |F)} F ≃ (S_{(k,d−k)}(L|K) ⊗_{S_{d}(L|K)} K) ⊗_{K} F)
((v ⊗ 1)^{[α_{(k,l_{1})}]} ⊗ (w ⊗ 1)^{[γ_{(d−k,l_{2})}]}) ⊗ a ↦ (v^{[α_{(k,l_{1})}]} ⊗ w^{[γ_{(d−k,l_{2})}]} ⊗ 1) ⊗ a

für a ∈ F und elementarsymmetrische Tensoren (v ⊗ 1)^{[α_{(k,l_{1})}]} ∈ S_{k}(L ⊗_{K} F |F) und (w ⊗ 1)^{[γ_{(d−k,l_{2})}]} ∈ S_{d−k}(L ⊗_{K} F |F) ist, wie man sieht, mit der Operation verträglich. □

Lemma 5.2.6. Es gilt

T̂_{ij} ∘ g = g ∘ T̂_{ij} für g ∈ G

Damit ist insbesondere

T̂_{ij}(C_{(i,d−i)}(Π^{d}F |F)^{G} ⊗ C_{(j,d−j)}(Π^{d}F |F)^{G}) ⊂ C_{(i+j,d−i−j)}(Π^{d}F |F)^{G}

Beweis. Um diese Behauptung einfacher folgern zu können, werden wir die folgenden beiden Abbildungen betrachten:

T_{i,j}: T_{F}^{i} (Π^{d}F) ⊗ T_{F}^{j} (Π^{d}F) ⟶ T_{F}^{i+j}(Π^{d}F) vermöge x ⊗ y ↦ ∑_{κ∈K_{i,j}} κ • (x ⊗ y)
V_{i}: T_{F}^{i} (Π^{d}F) ⟶ T_{F}^{n}(Π^{d}F) vermöge  x ↦ x ⊗ 1^{⊗n−i}

für zwei Tensoren x ∈ T_{F}^{i} (Π^{d}F) und y ∈ T_{F}^{j} (Π^{d}F).

Es ist offensichtlich, dass

T_{i,j}|_{S_{i}(Π^{d}F)⊗S_{j}(Π^{d}F)} = T_{ij} und V_{i}|_{S_{i}(Π^{d}F)} = ν̃_{i}

Seien x_{1}, …, x_{i} ∈ Π^{d}F, g ∈ G und σ ∈ S_{i}.

Wir sehen schnell, dass

σ • g(x_{1} ⊗ … ⊗ x_{i}) = g(x_{σ^{−1}1}) ⊗ … ⊗ g(x_{σ^{−1}i}) = g(σ • (x_{1} ⊗ … ⊗ x_{i}))

Dadurch erkennen wir, dass

g ∘ T_{i,j} = T_{i,j} ∘ g (bzw., dass g ∘ T_{ij} = T_{ij} ∘ g)

Dass g ∘ ν̃_{i} = ν̃_{i} ∘ g ist, sehen wir sofort, denn

g ∘ V_{i}(x_{1} ⊗ … ⊗ x_{i}) = g(x_{1} ⊗ … ⊗ x_{i} ⊗ 1^{⊗n−i}) = V_{i} ∘ g(x_{1} ⊗ … ⊗ x_{i}) □

Satz 5.2.7. Sei 0 ≤ i ≤ d, und sei 0 ≤ j ≤ d, so dass i + j ≤ d. Weiter sei L eine separable K-Algebra, dann induziert die Spur T_{ij} eine C_{(i+j,d−i−j)}(L|K)- lineare Abbildung

T̂_{ij}: C_{(i,d−i)}(L|K) ⊗ C_{(j,d−j)}(L|K) ⟶ C_{(i+j,d−i−j)}(L|K)

Beweis. Wir können jedem x ∈ C_{(i,d−i)}(L|K) auf kanonische Weise ein

y ∈ C_{(k,d−k)}(Π^{d}F |F)^{G}

zuordnen. Wir wissen aus Satz 5.2.4, dass wir eine solche Abbildung auf Produktalgebren definieren können. Die Abbildung T̂_{ij} wird durch das folgende Diagramm erklärt:

T̂_{ij}: C_{(i,d−i)}(L|K) ⊗ C_{(j,d−j)}(L|K) ⟶ C_{(i+j,d−i−j)}(L|K)
≃↓  ^{≃}↑
C_{(i,d−i)}(L ⊗ F |F)^{G} ⊗ C_{(j,d−j)}(L ⊗ F |F)^{G} ⟶ C_{(i+j,d−i−j)}(L ⊗ F |F)^{G}
↓  ↓
C_{(i,d−i)}(Π^{d}F |F) ⊗ C_{(j,d−j)}(Π^{d}F |F) \underrightarrow{T̂_{ij}} C_{(i+j,d−i−j)}(Π^{d}F |F)
□

Bemerkung 5.2.8. Wir haben T̂_{ij} so konstruiert, dass folgendes Diagramm kommutiert:

S_{i}(L|K) ⊗ S_{j}(L|K)  ⟶^{T_{ij}}  S_{i+j}(L|K)
ν̃_{i}⊗ν̃_{k−i}↓  ν̃_{k}↓
C_{(i,d−i)}(L|K) ⊗ C_{(j,d−j)}(L|K) \underrightarrow{T̂_{ij}} C_{(i+j,d−i−j)}(L|K)

Wir kommen nun zu einer schönen Formel für die Norm:

Korollar 5.2.9. Sei L eine separable K-Algebra der Dimension d. Seien x, y ∈ L, und sei k ≤ d.

ν̃_{k}((x + y)^{⊗k}) = ∑_{i=0}^{k} T̂_{i k−i}(ν̃_{i}(x^{⊗i}) ⊗ ν̃_{k−i}(y^{⊗k−i}))

Da ν̃_{d} = N_{K}^{L} ist, ist insbesondere

N_{K}^{L}(x + y) = ∑_{i=0}^{d} T̂_{i d−i}(ν̃_{i}(x^{⊗i}) ⊗ ν̃_{d−i}(y^{⊗d−i}))

(Diese Formel gilt natürlich auch falls L = Π^{d}R eine Produktalgebra ist.)

Beweis.

ν̃_{k}((x + y)^{⊗k})  =  ν̃_{k}( ∑_{i=0}^{k} T_{ik−i}(x^{⊗i} ⊗ y^{⊗k−i}))

=  ∑_{i=0}^{k} ν̃_{k}(T_{ik−i}(x^{⊗i} ⊗ y^{⊗k−i}))

=^{Bem.5.2.8} ∑_{i=0}^{k} T̂_{ik−i}(ν̃_{i}(x^{⊗i}) ⊗ ν̃_{k−i}(y^{⊗k−i}))
□

5.3. Der Grothendieck-Witt-Ring. Ziel dieses Abschnittes ist es, eine Ring-Struktur auf bestimmten Äquivalenzklassen von regulären symmetrischen Bilinearformen zu definieren. Sei K ein Körper und V ein K-Vektorraum endlicher Dimension. Wir nehmen an, dass char K ≠ 2 ist. Sei

β: V × V ⟶ K

eine symmetrische Bilinearform über K, dann nennen wir (V, β) einen K-bilinearen Raum. Spielt der zugrunde liegende Vektorraum in unserer Betrachtung keine Rolle, so schreiben wir auch nur β anstatt (V, β). Ist β nicht ausgeartet (wir sagen auch regulär), so nennen wir (V, β) einen nicht ausgearteten bilinearen Raum (oder einen regulären bilinearen Raum). Wir definieren

dim_{K}(V, β) = dim_{K} β := dim_{K} V

Ist (V′, β′) ein weiterer K-bilinearer Raum, so heißen (V, β) und (V′, β′) (bzw. β und β′) isometrisch

(V, β) ∼ (V′, β′) (bzw. β ∼ β′)

wenn es einen Isomorphismus Φ: V → V′ gibt, so dass

β′(Φ(v), Φ(w)) = β(v, w) für alle v, w ∈ V

Offensichtlich ist die Isometrie von bilinearen Räumen (bzw. Bilinearformen) eine Äquivalenzrelation.

Seien (V, β) und (V′, β′) zwei K-bilineare Räume, dann können wir auf folgende Weise eine bilineare Abbildung auf V ⊕ V′ definieren:

β ⊥ β′((v, v′), (w, w′)) := β(v, w) + β′(v′, w′) für v, w ∈ V v′, w′ ∈ V′

Den daraus resultierenden bilinearen Raum werden wir mit

(V ⊥ V′, β ⊥ β′)

bezeichnen.

Bemerkung 5.3.1. (Der Witt’sche Kürzungssatz) Seien β_{1}, β′_{1}, β_{2} und β′_{2} K-biline-are Räume. Gilt dann

β_{1} ⊥ β_{2} ∼ β′_{1} ⊥ β′_{2} und β_{1} ∼ β′_{1}

so ist

β_{2} ∼ β′_{2}

Sei Bil_{reg}(K) die Menge aller regulären K-bilinearen Räume. Wir werden weiter auf der Menge der regulären K-bilinearen Räume eine Semiringstruktur definieren. Wir haben mit ’⊥’ schon eine Verknüpfung auf Bil_{reg}(K) kennengelernt. Nun werden wir eine weitere erklären. Wir wissen schon aus Abschnitt 3.1, dass wir zwei regulären symmetrischen Bilinearformen

β_{1} : V_{1} × V_{1} ⟶ K und β_{2} : V_{2} × V_{2} ⟶ K

eine reguläre symmetrische Bilinearform

β_{1} ⊗ β_{2} : V_{1} ⊗ V_{2} × V_{1} ⊗ V_{2} ⟶ K
β_{1} ⊗ β_{2}(v_{1} ⊗ v_{2}, w_{1} ⊗ w_{2}) ↦ β_{1}(v_{1}, w_{1})β_{2}(v_{2}, w_{2})

für v_{1}, w_{1} ∈ V_{1} und v_{2}, w_{2} ∈ V_{2}, zuordnen können.

Bemerkung 5.3.2. Seien β_{1}, β′_{1}, β_{2} und β′_{2} reguläre K-bilineare Räume. Dann folgt aus

β_{1} ∼ β′_{1} und β_{2} ∼ β′_{2}

dass

β_{1} ⊗ β_{2} ∼ β′_{1} ⊗ β′_{2} und β_{1} ⊥ β_{2} ∼ β′_{1} ⊥ β′_{2}

Beide Verknüpfungen sind offensichtlich assoziativ und kommutativ, sie erfüllen das Distributivgesetz, und wir haben zwei neutrale Elemente, zum einen den Nullraum bzgl. ’⊥’, und zum anderen ⟨1⟩ bzgl. ’⊗’. Damit ist Bil_{reg}(K) ein Semiring. Da beide Verknüpfungen vorhandene Isometrien respektieren, setzt sich diese Semiringstruktur auch auf die Isometrieklassen fort. Nach dem Witt’schen Kürzungssatz genügen beide Semiringe der Kürzungseigenschaft.

Von nun an werden wir nur noch Isometrieklassen von regulären symmetrischen Bilinearformen betrachten. Sei β eine reguläre symmetrische Bilinearform, dann bezeichnen wir mit [β] ihre Isometrieklasse. Die Menge der Isometrieklassen regulärer symmetrischer Bilinearformen über K werden wir mit \overline{Bil}(K) bezeichnen. Wir werden oftmals auf den Isometrieklassen rechnen, ohne es explizit zu erwähnen. Den Grothendieck-Ring von \overline{Bil}(K) (bzgl. ’⊥’) werden wir mit

GW (K)

bezeichnen und Grothendieck-Witt-Ring über K nennen. Man beachte, dass aufgrund des Witt’schen Kürzungssatzes die Abbildung einer Isometrieklasse in den Grothendieck-Witt-Ring injektiv ist. Wir führen keine neue Notation für Elemente aus dem Grothendieck-Witt-Ring ein und werden die Elemente weiterhin mit [β] bezeichnen. Wenn wir Differenzen von Bilinearformen hinschreiben, so meinen wir damit ihre Differenz im Grothendieck-Witt-Ring.

(Vgl. für diesen Abschnitt die ersten Kapitel aus [11].)

5.4. Eine Erweiterung der Norm auf bilineare Abbildungen. Sei A eine R-Algebra und 0 ≤ k ≤ d. Wir haben uns schon überlegt, dass wir S_{d}A als einen Unterring von S_{k,d−k}A auffassen können, und definieren dazu den entsprechenden Homomorphismus

ι_{k}: S_{d}A ⟶ S_{k,d−k}A

Sei α_{(d,l)} = (α_{1}, …, α_{l}) ∈ P_{(r,l)} und k ≤ α_{1}. Dann ist

α^{k} := (k, α_{1} − k, α_{2}, …, α_{l}) ∈ P_{(d,l+1)}

und ι_{k} induziert wie folgt einen Homomorphismus auf C_{α_{(d,l)}}A:

ι̂_{k}:  C_{α_{(d,l)}}A  ⟶  C_{α^{k}}A
∥  ∥
S_{α_{(d,l)}}A ⊗_{S_{d}A} R ⟶^{ι_{k}⊗id_{R}} S_{α^{k}}A ⊗_{S_{d}A} R

Sei nun A frei vom Rang d, und seien V_{1}, …, V_{l} freie A-Moduln von endlichem Rang. Wir erinnern uns an S_{α_{(d,l)}}(V_{1}, …, V_{l}|R) und definieren

C_{α_{(d,l)}}(V_{1}, …, V_{l}|R) := S_{α_{(d,l)}}(V_{1}, …, V_{l}|R) ⊗_{S_{α_{(d,l)}} A} C_{α_{(d,l)}}A

Lemma 5.4.1. Sei W ein weiterer A-Modul von endlichem Rang. Dann gilt:

C_{α_{(d,l)}}(W ⊕ V_{1}, V_{2}, …, V_{l}) ≃ ⨁_{k=0}^{d} C_{α^{k}}(W, V_{1}, …, V_{l})

Beweis. Aus Satz 2.4.8 wissen wir, dass

S_{α_{1}}(W ⊕ V_{1}) ≃ ⨁_{k=0}^{α_{1}}(S_{k}W ⊗ S_{α_{1}−k}V_{1})

bzw., dass

S_{α_{(d,l)}}(W ⊕ V_{1}, V_{2}, …, V_{l}) = ⨁_{k=0}^{α_{1}} S_{α^{k}}(W, V_{1}, V_{2}, …, V_{l})

Außerdem ist

S_{α^{k}}A ⊗_{S_{α_{(d,l)}} A} C_{α_{(d,l)}}A = S_{α^{k}}A ⊗_{S_{d}A} R = C_{α^{k}}A

Damit erhalten wir

C_{α_{(d,l)}}(W ⊕ V_{1}, V_{2}, …, V_{l})
≃ ⨁_{k=0}^{α_{1}} S_{α^{k}}(W, V_{1}, …, V_{l}) ⊗_{S_{α_{(d,l)}} A} C_{α_{(d,l)}}A

≃ ⨁_{k=0}^{α_{1}} S_{α^{k}}(W, V_{1}, …, V_{l}) ⊗_{S_{α^{k}} A} S_{α^{k}}A ⊗_{S_{α_{(d,l)}} A} C_{α_{(d,l)}}A

= ⨁_{k=0}^{α_{1}} S_{α^{k}}(W, V_{1}, …, V_{l}) ⊗_{S_{α^{k}A}} C_{α^{k}}A

= ⨁_{k=0}^{α_{1}} C_{α^{k}}(W, V_{1}, …, V_{l})
□

Wir werden nun dieses Ergebnis auf Bilinearformen übertragen. Dazu müssen wir zunächst folgende bilineare Abbildung erklären:

C_{α_{(d,l)}}(β_{1}, …, β_{l})

Seien für 1 ≤ i ≤ l die Abbildungen β_{i}: V_{i} ×V_{i} ⟶ A Bilinearformen. Wir haben schon gesehen, dass wir zu jeder dieser Bilinearformen eine bilineare Abbildung

S_{α_{i}}(β_{i}): S_{α_{i}}V_{i} × S_{α_{i}}V_{i} ⟶ S_{α_{i}}A

bekommen. Wir definieren

S_{α_{(d,l)}}(β_{1}, …, β_{l}): S_{α_{(d,l)}}(V_{1}, …, V_{l}) × S_{α_{(d,l)}}(V_{1}, …, V_{l}) ⟶ S_{α_{(d,l)}}A

komponentenweise auf den einzelnen S_{α_{i}}V_{i} für 1 ≤ i ≤ l.

Des Weiteren definieren wir

C_{α_{(d,l)}}(β_{1}, …, β_{l}): C_{α_{(d,l)}}(V_{1}, …, V_{l}) × C_{α_{(d,l)}}(V_{1}, …, V_{l}) ⟶ C_{α_{(d,l)}}A

analog zu den A-Moduln durch

C_{α_{(d,l)}}(β_{1}, …, β_{l}) = (S_{α_{(d,l)}}(β_{1}, …, β_{l}))_{C_{α_{(d,l)}} A}

Dabei nutzen wir die natürliche S_{α_{(d,l)}}A-Modulstruktur von C_{α_{(d,l)}}A aus. Wir können C_{α_{(d,l)}}(β_{1}, …, β_{l}) auch als eine R-Bilinearform ansehen, denn per Definition ist C_{α_{(d,l)}}A ≃ R. Offensichtlich ist C_{d}(β_{1}) = N (β_{1}).

Wir werden für den Rest dieses Abschnittes die Moduln

C_{α_{(d,l)}}(V_{1}, …, V_{l}) und ⨁_{E_{1}∈E_{1}} ⋯ ⨁_{E_{l}∈E_{l}} E_{1}V_{1}^{⊗α_{1}} ⊗ … ⊗ E_{l}V_{l}^{⊗α_{l}}

über die Isomorphie aus Satz 5.1.7 miteinander identifizieren.

Bemerkung 5.4.2. Die meisten Eigenschaften, die wir vorhin schon für die Norm von Bilinearformen nachgerechnet haben, bleiben auch in dieser Konstruktion erhalten.

(1) Für i = 1, …, l seien β′_{i}: V′_{i} ×V′_{i} ⟶ A weitere A-Bilinearformen auf freien A-Moduln V′_{i} von endlichem Rang, dann faktorisiert

C_{α_{(d,l)}}(β_{1}, …, β_{l}) ⊗ C_{α_{(d,l)}}(β′_{1}, …, β′_{l}) über C_{α_{(d,l)}}(β_{1} ⊗ β′_{1}, …, β_{l} ⊗ β′_{l})

(Wenn A = Π^{d}R oder wenn A eine separable K-Algebra ist, sind die beiden Abbildungen sogar bis auf Isomorphie gleich.)

(2) Ist B eine weitere R-Algebra, dann ist unter der Isomorphie aus Bemerkung 5.1.6

C_{α_{(d,l)}}(β_{1}, …, β_{l})_{B} = C_{α_{(d,l)}}((β_{1})_{B}, …, (β_{l})_{B})

Der folgende Satz ergibt sich schnell aus Satz 5.1.7:

Satz 5.4.3. Sei A = Π^{d}R, α_{(d,l)} = (α_{1}, …, α_{l}) ∈ P_{(d,l)}, seien V_{1}, …, V_{l} freie A-Moduln von endlichem Rang, und seien für i = 1, …, l

β_{i}: V_{i} × V_{i} ⟶ A

A-Bilinearformen. Dann gilt

C_{α_{(d,l)}}(β_{1}, …, β_{l}) = ⊥_{(E_{1}, …, E_{l}) ∈ E} E_{1}β_{1}^{⊗α_{1}} ⊗ … ⊗ E_{l}β_{l}^{⊗α_{l}}

wobei

E_{j}β_{j}^{⊗α_{j}} := e_{i_{j1}}β_{j} ⊗ … ⊗ e_{i_{jα_{j}}} β_{j} mit E_{j} = e_{i_{j1}} … e_{i_{jα_{j}}}^{[1,...,1]}

Beweis. Man kann C_{α_{(d,l)}}(β_{1}, …, β_{l}) mit Hilfe der Formel aus Beispiel 3.5.5 ausrechnen. □

Korollar 5.4.4. Wenn A = Π^{d}R oder wenn A eine separable K-Algebra ist, dann gilt:

C_{α_{(d,l)}}(β_{1}, …, β_{l})

ist eine nicht ausgeartete C_{α_{(d,l)}}-Bilinearform (bzw. eine nicht ausgeartete R-Bili-nearform), wenn die Abbildungen β_{1}, …, β_{l} nicht ausgeartet sind.

Beweis. Für A = Π^{d} folgt dies direkt aus dem letzten Satz. Die vorangegangene Bemerkung 5.4.2 und der letzte Satz liefern uns die nötigen Mittel, damit wir die Behauptung im separablen Fall analog zu Satz 4.5.9 beweisen können. □

Lemma 5.4.5. Sei W ein weiterer freier A-Modul von endlichem Rang und

β: W × W ⟶ A

eine weitere A-Bilinearform. Dann ist

C_{α_{(d,l)}}(β ⊥ β_{1}, …, β_{l}) ≃ ⊥_{k=0}^{d} C_{α^{k}}(β, β_{1}, …, β_{l})

Beweis. Dies ist eine leichte Folgerung aus Lemma 5.4.1. □

5.5. Polynomiale Abbildungen. In diesem Abschnitt werden wir den Begriff des Polynoms auf Halbgruppen erweitern. Er ist fast vollständig der Arbeit [10] von M. Rost entnommen. Vergleiche aber auch [3, Proposition 1.6] von S. Joukhovitski. Wir werden in diesem Abschnitt einige Ergebnisse benutzen, die wir uns bereits im ersten Kapitel erarbeitet haben. Man beachte, dass wir sie dort für multiplikative Gruppen formuliert haben, sie hier jedoch für additive Gruppen benutzen.

Sei A eine Halbgruppe und B eine abelsche Gruppe. Zu einer beliebigen Abbildung f: A ⟶ B definieren wir

Δ_{x}f: A ⟶ B vermöge Δ_{x}f(y) = f(x + y) − f(y) für y ∈ A

Bemerkung 5.5.1. Sei γ ∈ ℤ[A] und f: A ⟶ B eine Abbildung. Dann ist

Δ̂_{x}f: ℤ[A] ⟶ B mit Δ̂_{x}f(γ) = f̂((e_{x} − 1)γ)

Beweis. Sei γ = ∑_{i=1}^{n} m_{i}e_{y_{i}} ∈ ℤ[A].

Δ̂_{x}f(γ) = Δ̂_{x}f( ∑_{i=1}^{n} m_{i}e_{y_{i}}) = ∑_{i=1}^{n} m_{i}Δ_{x}f(y_{i})

= ∑_{i=1}^{n} m_{i} f(x + y_{i}) − ∑_{i=1}^{n} m_{i} f(y_{i})

= f̂( ∑_{i=1}^{n} m_{i}e_{x+y_{i}}) − f̂( ∑_{i=1}^{n} m_{i}e_{y_{i}})
= f̂(e_{x}γ) − f̂(γ) = f̂((e_{x} − 1)γ)
□

Wir werden nun polynomiale Abbildungen auf Halbgruppen definieren:

(1) Wir nennen die Nullabbildung

p: A ⟶ B mit p(x) = 0 für alle x ∈ A

eine polynomiale Abbildung vom Grad −1.

(2) Für n ≥ 0 nennen wir eine Abbildung p: A ⟶ B eine polynomiale Abbildung vom Grad ≤ n, wenn die Abbildung Δ_{x}p für alle x ∈ A eine polynomiale Abbildung vom Grad ≤ n − 1 ist.

(3) Wir nennen eine Abbildung polynomial, wenn es ein n ∈ ℕ ∪ {−1} gibt, so dass sie eine polynomiale Abbildung vom Grad ≤ n ist

Mit P_{n}(A, B) (bzw. P (A, B)) werden wir die polynomialen Abbildungen vom Grad ≤ n von A nach B (bzw. die polynomiale Abbildungen von A nach B) bezeichnen. Offensichtlich sind die Halbgruppen-Homomorphismen von A nach B polynomialen Abbildungen vom Grad ≤ 1.

Seien p ∈ P_{n}(A, B), q ∈ P_{m}(A, B) und γ ∈ A. Wir definieren

(p + q)(γ) := p(γ) + q(γ)

Man sieht sofort, dass p + q eine polynomiale Abbildung vom Grad ≤ max(n, m) ist. Damit ist P_{n}(A, B) (bzw. P (A, B)) eine Gruppe.

Seien R, S kommutative Ringe und q: (R, +) ⟶ (S, +) eine polynomiale Abbildung. Dann nennen wir q multiplikativ, wenn (M1) q(1) = 1 (M2) q(a b) = q(a) q(b) für alle a, b ∈ R Sei p: A ⟶ B eine polynomiale Abbildung. Wir werden nun polynomiale Ab-

bildungen mit Hilfe von Gruppenkomplettierungen charakterisieren.

Erinnern wir uns an den Homomorphismus

ϵ_{A}: ℤ[A] ⟶ ℤ vermöge e_{x} ↦ 1 für x ∈ A

mit Kern ϵ_{A} = I_{A}.

Bemerkung 5.5.2. Für n ≥ −1 sind folgende Aussagen äquivalent:

(1)  Δ̂_{x}p(I_{A}^{n}) = 0 für alle x ∈ A
(2)  p̂(I_{A}^{n+1}) = 0

Beweis. Diese Behauptung folgt, weil I_{A}^{n+1} = I_{A} · I_{A}^{n} ist und I_{A} von den Elementen der Form (e_{x} − 1) ∈ ℤ[A] erzeugt wird, schnell aus der letzten Bemerkung. □

Lemma 5.5.3. Eine Abbildung p: A ⟶ B ist genau dann eine polynomiale Abbildung vom Grad ≤ n, wenn

p̂(I_{A}^{n+1}) = 0

Beweis. (durch Induktion nach n) Induktionsanfang: n = −1 Offensichtlich ist p: A ⟶ B genau dann polynomial vom Grad −1, wenn

p̂: ℤ[A] ⟶ B

polynomial vom Grad −1 ist. Außerdem ist

I_{A}^{0} = ℤ[A]

Induktionsschritt: n ⟼ n + 1 p ist eine polynomiale Abbildung vom Grad ≤ n + 1 genau dann, wenn für alle x ∈ A die Abbildung Δ_{x}p eine polynomiale Abbildung vom Grad ≤ n ist. Dies ist nach der Induktionsvoraussetzung genau dann der Fall, wenn

Δ̂_{x}p(I_{A}^{n}) = 0 für alle x ∈ A

Nach Bemerkung 5.5.2 ist dies gleichbedeutend mit

p̂(I_{A}^{n+1}) = 0
□

Sei γ ∈ ℤ[A], dann bezeichnen wir mit [γ]_{n} seine Restklasse in ℤ[A]/I_{A}^{n}. Weiter sei δ ∈ I_{A}^{n+1} und p ∈ P_{n}(A, B), dann erkennen wir anhand des letzten Lemmas

p̂(γ + δ) = p̂(γ) + p̂(δ) = p̂(γ)

Insbesondere ist die Abbildung

ℤ[A]/I_{A}^{n+1} ⟶ B vermöge γ ⟼ p̂(γ′) für γ ∈ ℤ[A]

wohldefiniert.

Seien f, g ∈ Hom(ℤ[A]/I_{A}^{n+1}, B) und γ ∈ ℤ[A]/I_{A}^{n+1}. Auch auf der Menge Hom(ℤ[A]/I_{A}^{n+1}, B) ist, vermöge (f + g)(γ) = f(γ) + g(γ), eine Gruppenstruktur definiert.

Korollar 5.5.4. Folgende Abbildung ist ein Gruppen-Isomorphismus:

P_{n}(A, B) ⟶ Hom(ℤ[A]/I_{A}^{n+1}, B)
p ↦ (γ mod I_{A}^{n+1} ↦ p̂(γ))

Beweis. Seien p, q ∈ P_{n}(A, B). Nach Lemma 5.5.3 ist die Abbildung wohldefiniert. Die Abbildung ist ein Gruppen-Homomorphismus, denn

p + q ↦ (γ mod I_{A}^{n+1} ↦ { \atop p + q}(γ))
= (γ mod I_{A}^{n+1} ↦ p̂(γ)) + (γ mod I_{A}^{n+1} ↦ q̂(γ))

Seien p, q ∈ P_{n}(A, B) mit

p̂(γ′) = q̂(γ′) für alle γ′ ∈ ℤ[A]/I_{A}^{n+1}

so ist auch

p(x) = p̂(e_{x}) = q̂(e_{x}) = q(x) für alle x ∈ A

Die Abbildung ist damit injektiv.

Ist andererseits f ∈ Hom(ℤ[A]/I_{A}^{n+1}, B), so definiert

f′(γ) := f([γ]_{n}) für γ ∈ ℤ[A]

eine lineare Abbildung von ℤ[A] nach B mit f′(I_{A}^{n+1}) = 0. Wir definieren

p_{f}: A ⟶ B vermöge x ↦ f′(e_{x}) für x ∈ A

Es ist p̂_{f} = f′ und damit ist p_{f} nach Lemma 5.5.3 eine polynomiale Abbildung vom Grad ≤ n. Wir haben dadurch die Surjektivität bewiesen. □

Den folgenden Satz kann man auch als eine Verallgemeinerung von Bemerkung 1.1.1 ansehen (vgl. Lemma 5.5.7):

Satz 5.5.5. Zu jeder polynomialen Abbildung p: A ⟶ B gibt es eine eindeutig bestimmte polynomiale Abbildung

\overline{p}: \overline{A} ⟶ B

Ist p vom Grad ≤ n, so ist \overline{p} vom Grad ≤ n.

Beweis. Für x ∈ A ist e_{x} − 1 ∈ I_{A} und somit e_{x} mod I_{A}^{n+1} invertierbar für n ≥ 0. Insbesondere ist A ⊂ ℤ[A] eine multiplikative Teilmenge, und wir sehen

ℤ[A]/I_{A}^{n+1} = A^{−1}(ℤ[A]/I_{A}^{n+1})

Nach Korollar 1.1.7 wissen wir, dass

A^{−1}(ℤ[A]/I_{A}^{n+1}) ≃ (A^{−1}ℤ[A])/(A^{−1}I_{A}^{n+1})

Außerdem haben wir in Unterabschnitt 1.1.5 gesehen, dass

A^{−1}ℤ[A] ≃ ℤ[\overline{A}] und dass A^{−1}I_{A}^{n+1} ≃ In+1 ; \overline{A}

Damit ist

ℤ[A]/I_{A}^{n+1} ≃ (A^{−1}ℤ[A])/(A^{−1}I_{A}^{n+1}) ≃ ℤ[\overline{A}]/In+1 ; \overline{A}

Unter dieser Isomorphie erhalten wir zu jeder polynomialen Abbildung p genau eine polynomiale Abbildung \overline{p}.

Offensichtlich ist \overline{p}: \overline{A} ⟶ B polynomial vom Grad ≤ n, wenn p: A ⟶ B polynomial vom Grad ≤ n ist. □

Wir werden diese Erweiterung nun explizit angeben:

Bemerkung 5.5.6. Für n ≥ −1, a, x ∈ A und p: A ⟶ B polynomial vom Grad n gilt:

(1)  e_{[a,x]}(1 − e_{x})^{n+1} = ∑_{k=0}^{n+1}(−1)^{k}\binom{n + 1}{k}e_{[a+kx,x]}
(2)  ˆ  \overline{p}(e_{[a,x]}(1 − e_{x})^{n+1}) = 0

Beweis. (1) Wir benutzen die Rechenregeln aus Bemerkung 1.1.10.

(1 − e_{x})^{n+1} = ∑_{k=0}^{n+1} \binom{n + 1}{k}(−1)^{k}e_{x}^{k} = ∑_{k=0}^{n+1} \binom{n + 1}{k}(−1)^{k}e_{kx}

Außerdem ist nach Bemerkung 1.1.10 und Satz 5.5.5

e_{[a,x]}e_{kx} = e_{[a+kx,x]}

Demnach gilt

e_{[a,x]}(1 − e_{x})^{n+1} = ∑_{k=0}^{n+1} \binom{n + 1}{k}(−1)^{k}e_{[a+kx,x]}

(2) Da (1 − e_{x})^{n+1} ∈ In+1 ; \overline{A} ist, ist auch e_{[a,x]}(1 − e_{x})^{n+1} ∈ In+1 ; \overline{A}. Damit folgt aus Lemma 5.5.3, dass

ˆ\overline{p}(e_{[a,x]}(1 − e_{x})^{n+1}) = 0
□

Lemma 5.5.7. \overline{p}: \overline{A} ⟶ B berechnet sich wie folgt:

\overline{p}(a − x) = ∑_{k=0}^{n}(−1)^{k}\binom{n + 1}{k + 1}p(a + kx) für a − x ∈ \overline{A}

Beweis. Aus der letzten Bemerkung 5.5.6(1) ergibt sich unter Zuhilfenahme der Bemerkung 1.1.10, dass

e_{[a,x]}(1 − e_{x})^{n+1} = ∑_{k=0}^{n+1} \binom{n + 1}{k}(−1)^{k}e_{[a+kx,x]}

= e_{[a,x]} + ∑_{k=1}^{n+1} \binom{n + 1}{k}(−1)^{k}e_{[a+kx,x]}

= e_{[a,x]} + ∑_{k=0}^{n} \binom{n + 1}{k + 1}(−1)^{k+1}e_{a+kx}

Nun ist nach Bemerkung 5.5.6(2)

0 = ˆ \overline{p}(e_{[a,x]}(1 − e_{x})^{n+1}) = ˆ \overline{p}(e_{[a,x]} + ∑_{k=0}^{n} \binom{n + 1}{k + 1}(−1)^{k+1}e_{a+kx})

Also ist

ˆ\overline{p}(e_{[a,x]}) = ˆ \overline{p}( ∑_{k=0}^{n} \binom{n + 1}{k + 1}(−1)^{k}e_{a+kx})

= ∑_{k=0}^{n} \binom{n + 1}{k + 1}(−1)^{k} ˆ \overline{p}(e_{a+kx})

und es folgt die Behauptung. □

(Zu diesem Abschnitt vgl. die ersten beiden Abschnitte in [10].)

5.6. Die Norm auf Bilinearformen als polynomiale Abbildung. Ziel dieses letzten Abschnittes ist es, zu einer gegebenen separablen Körpererweiterung eine multiplikative Abbildung von dem Grothendieck-Witt-Ring der Körpererweiterung in den Grothendieck-Witt-Ring des Grundkörpers zu erklären und ihre Existenz zu beweisen. Sei dazu K ein Körper mit char K ≠ 2.

Sei L|K eine separable Körpererweiterung vom Grad d und α_{(d,l)} ∈ P_{α_{(d,l)}}. Für 1 ≤ i ≤ l seien V_{i} L-Vektorräume endlicher Dimension und β_{i}: V_{i} × V_{i} ⟶ L Bilinearformen.

Bemerkung 5.6.1. Für 1 ≤ i ≤ l seien β′_{i}: V′_{i} × V′_{i} ⟶ L weitere Bilinearformen mit β_{i} ∼ β′_{i}. Dann ist

C_{α_{(d,l)}}(β_{1}, …, β_{l}) ∼ C_{α_{(d,l)}}(β′_{1}, …, β′_{l})

Beweis. C_{α_{(d,l)}}(β_{1}, …, β_{l}) wird aus den β′_{i} durch Tensorprodukte und Grundringwechsel konstruiert. Diese beiden Operationen sind, wie wir in Abschnitt 5.3 bemerkt haben, mit der Isometrie verträglich. □

Beispiel 5.6.2. Seien β: V × V ⟶ L und β′: W × W ⟶ L isometrische Bilinearformen. Dann gilt insbesondere

N_{K}^{L}(β) ∼ N_{K}^{L}(β′)

Lemma 5.6.3. Seien α_{1}, …, α_{l} > 0. Dann ist die Abbildung

Π^{l}\overline{Bil}(L) ⟶ GW (K)
vermöge  ([β_{1}], …, [β_{l}]) ⟼ [C_{(α_{1},...,α_{l})}(β_{1}, …, β_{l})]

in β_{i} polynomial vom Grad α_{i} für 1 ≤ i ≤ l.

Beweis. Korollar 5.4.4 und die letzte Bemerkung zeigen, dass die Abbildung wohldefiniert ist. Die Behauptung lässt sich mit einfachen Mitteln aus Lemma 5.4.5 ableiten. Man nehme ohne Einschränkung an, dass i = 1 ist und führe dann einen Induktionsbeweis nach α_{1}. □

Satz 5.6.4. Zu jeder separablen Körpererweiterung L|K der Dimension d gibt es eine eindeutige polynomiale Abbildung vom Grad d

N_{K}^{L}: GW (L) ⟶ GW (K) mit N_{K}^{L}([β]) = [N_{K}^{L}(β)]

Diese ist multiplikativ, und es gilt

dim_{K} N_{K}^{L}([β]) = (dim_{L}[β])^{d}

Beweis. Genau wie bei den Moduln, ist C_{d}(β) = N_{K}^{L}(β). Eine separable Körpererweiterung ist insbesondere eine separable K-Algebra, also können wir dem letzten Lemma entnehmen, dass die Abbildung

\overline{Bil}(L) ⟶ GW (K) vermöge N_{K}^{L}([β]) = [N_{K}^{L}(β)]

polynomial vom Grad d ist. Folglich existiert nach Satz 5.5.5 eine eindeutige polynomiale Abbildung vom Grad d

N_{K}^{L}: GW (L) ⟶ GW (K) mit N_{K}^{L}([β]) = [N_{K}^{L}(β)]

In Abschnitt 5.3 haben wir gesehen, dass das Tensorprodukt auf den Isometrieklassen wohldefiniert ist, und nach Korollar 4.5.4 erhält die Norm N_{K}^{L} das Tensorprodukt von Bilinearformen. Also ist die Abbildung N_{K}^{L} multiplikativ.

Die Aussage über die Dimension von N_{K}^{L}([β]) folgt aus Satz 4.4.2. □

Literatur

[1] D. Ferrand, Un Foncteur Norme, Bull. Soc. Math. France t. 128 (1998), 1-49.

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