DIE MULTIPLIKATIVE QUADRATISCHE NORM FÜR DEN GROTHENDIECK-WITT-RING

DIPLOMARBEIT

VON TOBIAS WITTKOP

FAKULTÄT FÜR MATHEMATIK

UNIVERSITÄT BIELEFELD SEPTEMBER 2006

Inhaltsverzeichnis

Einleitung 3 1. Vorbereitung 5 1.1. Grundlegende Definitionen 5 1.2. Die Norm von Moduln und symmetrischen Bilinearformen

über quadratischen Körpererweiterungen 8

1.3. Der Grothendieck-Witt-Ring 14 1.4. Äußere Potenzen von quadratischen Formen und

Lambda-Operationen 21

2. Die multiplikative quadratische Norm für den Grothendieck-Witt-Ring 26

2.1. Einführung der Norm 26 2.2. Grundlegende Eigenschaften der Norm 29 2.3. Die Norm von hyperbolischen Formen und Pfisterformen 34 3. Anhang 37 Literatur 40

Einleitung

Diese Arbeit ist in das Themengebiet der Theorie von symmetrischen Bilinearformen einzuordnen. Betrachtet man reguläre symmetrische Bilinearformen über einem Körper F, so bilden ihre Isometrieklassen mit einer Multiplikation, dem Tensorprodukt, und einer Addition, der orthogonalen Summe, einen Semiring Ŵ^{+}(F). Nach einer bekannten Konstruktion von A. Grothendieck kann ein Semiring zu einem Ring komplettiert werden mit der universellen Eigenschaft, dass jeder Semiring-Homomorphismus in einen Ring eindeutig fortgesetzt wird zu einem Ring-Homomorphismus. Den so konstruierten Ring bezeichnet man als Grothendieck-Ring, und im speziellen Fall der Isometrieklassen von symmetrischen Bilinearformen als Grothendieck-Witt-Ring Ŵ(F). Der Quotientenring von Ŵ(F) modulo dem Ideal H(F) der hyperbolischen Formen wird als Witt-Ring W (F) bezeichnet.

In ”Quadratic and Hermitian forms”[1] untersuchte W. Scharlau den Zusammenhang zwischen dem Grothendieck-Witt-Ring Ŵ(L) eines Erweiterungskörpers L und dem Grothendieck-Witt-Ring Ŵ(F) des Grundkörpers F. Er gibt einen additiven Transfer

T_{L/F} : Ŵ(L) → Ŵ(F),

den Scharlau-Transfer an. Umgekehrt existiert eine Restriktion res_{L/F} von Ŵ(F) in Ŵ(L).

res_{L/F} : Ŵ(F) → Ŵ(L),

welche zusammen mit dem Scharlau-Transfer der Projektionsformel

T_{L/F} (res_{L/F} (x)) = T_{L/F} (1)x, x ∈ Ŵ(F)

genügt.

An diesem Punkt setzt ein Projekt von M. Rost ein, welches den multiplikativen Transfer, die Norm N_{L/F}, untersucht. Daraus resultierende Ergebnisse (siehe [5]) wurden von S. Garibaldi, A. Merkurjev und J.- P. Serre in ’Cohomological Invariants in Galois Cohomology’ erwähnt (vergleiche [9, Seite 71, Remark 29.5]). Im Rahmen des Projektes entstanden mehrere Diplomarbeiten. Während die Diplomarbeit von S. Krsnik den technisch aufwändigen Fall der Existenz einer solchen Abbildung für beliebige separable Körpererweiterungen als Schwerpunkt hat, befasst sich diese Arbeit mit dem konkreten Fall von Körpererweiterungen vom Grad 2. Für diesen Fall wird die Existenz des multiplikativen Transfers gezeigt und weitere grundlegende Eigenschaften untersucht. Ferner werden für interessante Elemente aus Ŵ(L), wie hyperbolische Formen, so wie Pfisterformen die Bilder unter der Normabbildung N_{L/F} konkret berechnet. Im Gegensatz zum Scharlau-Transfer lässt sich die Norm nicht auf den Witt-Ring fortsetzen, da die Bilder von hyperbolischen Formen nicht hyperbolisch sind.

Dabei wird wie folgt vorgegangen.

Das erste Kapitel dient der Vorbereitung. Zunächst wird die Norm und Spur von L-Moduln definiert, die zur Herleitung der Norm von symmetrischen Bilinearformen benötigt wird. Im Folgenden wird die Grothendieck-Vervollständigung für Semiringe eingeführt und speziell der Grothendieck-Witt-Ring untersucht. Der letzte Abschnitt dieses Kapitels beschäftigt sich mit äußeren Potenzen von symmetrischen Bilinearformen und ihrer Fortsetzung auf den Grothendieck-Witt-Ring mit Hilfe von formalen Potenzreihen so wie Rechenregeln für diese.

Die in Abschnitt 1.2 eingeführte Norm von regulären symmetrischen Bilinearformen wird auf Grundlage der Ergebnisse aus Abschnitt 1.3 eindeutig auf den Grothendieck-Witt-Ring zu dem gewünschten multiplikativen Transfer fortgesetzt. Des Weiteren werden die Eigenschaften der Norm formuliert und bewiesen. In Abschnitt 2.3 wird die Norm von hyperbolischen Formen und Pfisterformen berechnet. Als abschließendes Ergebnis erhält man dadurch, dass sich die Norm nicht auf den Witt-Ring definieren lässt.

Im letzten Kapitel, dem Anhang, werden der Beweis der Grothendieck-Vervollständigung und einige längere Nebenrechnungen aufgeführt.

Ich möchte mich an dieser Stelle noch bei meinem Betreuer Prof. Dr. Markus Rost bedanken für die Zeit und Geduld die er aufgebracht hat um mich bei der Erstellung dieser Arbeit zu unterstützen.

1. Vorbereitung

Sei im Weiteren F ein Körper mit char(F) ≠ 2 und L eine quadratische Körpererweiterung, die wir meistens in der Form L = F [α]/(α^{2}−a) mit a ∈ F^{∗} schreiben.

1.1. Grundlegende Definitionen. Sei in diesem Abschnitt V ein beliebiger endlich dimensionaler F -Modul.

Definition 1.1. Eine symmetrische Bilinearform ist eine Abbildung b: V × V → F, so dass für alle v, v′, w ∈ V, λ ∈ F gilt:

(i) b(v, w) = b(w, v)

(ii) b(v + v′, w) = b(v, w) + b(v′, w)

(iii) b(λv, w) = λb(v, w) = b(v, λw) Das Paar (V, b) wird als symmetrischer Bilinearraum bezeichnet.

Definition 1.2. Eine quadratische Form ist eine Abbildung q: V → F, so dass für alle v, w ∈ V, λ ∈ F gilt:

(i) q(λv) = λ^{2}q(v) und (ii) b_{q}(v, w) := \frac{1}{2}(q(v + w) − q(v) − q(w)) ist eine symmetrische

Bilinearform. Das Paar (V, q) wird als quadratischer Raum bezeichnet.

Definition 1.3. Sei b: V ×V → F eine symmetrische Bilinearform, so heißt die quadratische Form q_{b}: V → F, die definiert ist durch q_{b}(v) := b(v, v), die zu b assoziierte quadratische Form.

Sei V ein F -Modul und q: V → F eine quadratische Form, so heißt die symmetrische Bilinearform b_{q}: V × V → F, die definiert ist durch b_{q}(v, w) := \frac{1}{2}(q(v +w)−q(v)−q(w)), die zu q assoziierte Bilinearform.

Bemerkung 1.4. Es ist leicht nachzurechnen, dass b_{q_{b}} = b und q_{b_{q}} = q gilt. Das heißt, man kann quadratische Formen mit symmetrischen Bilinearformen identifizieren.

Definition 1.5. Sei V ein F -Modul mit Basis ϱ = {e_{i}}_{i=1,...,n} und b: V × V → F eine symmetrische Bilinearform. Die Matrix B = (b_{i,j})_{i,j=1,...,n} mit b_{i,j} = b(e_{i}, e_{j}) heißt die zu b assoziierte Matrix bezüglich der Basis ϱ. Es gilt:

b(v, w) = v^{t}Bw, v, w ∈ V

Sei q: V → F eine quadratische Form, so ist die assoziierte Matrix B_{q} von q bezüglich der Basis ϱ gerade die der assoziierten symmetrischen Bilinearform b_{q}. Es gilt:

q(v) = v^{t}B_{q}v, v ∈ V

Definition 1.6. Sei V ein F -Modul mit Basis ϱ und (V, b) ein symmetrischer Bilinearraum. Die Determinante der zu (V, b) assoziierten Matrix B modulo Multiplikation mit F^{∗}^{2} wird als Determinante des Bilinearraums (V, b) bezeichnet und mit det((V, b)) oder kurz det(b) notiert.

Definition 1.7. Zwei Bilinearräume (V, b) und (V′, b′) mit Basis ϱ und ϱ′ heißen isometrisch, wenn ihre assoziierten Matrizen B, B′ (bezüglich ϱ und ϱ′) kongruent sind, d.h. wenn es eine invertierbare Matrix T gibt mit:

T · B · T^{t} = B′

Bemerkung 1.8. Es ist leicht zu überprüfen, dass für zwei isometrische Bilinearräume (V, b) und (V′, b′) gilt:

det(b) = det(b′)

Lemma 1.9. Jede symmetrische Matrix B ist kongruent zu einer Diagonalmatrix.

Beweis. Siehe hierzu [1]. □

Bemerkung 1.10. Betrachtet man nur die Isometrieklassen von symmetrischen Bilinearformen (quadratischen Formen), so kann man jede Form b darstellen als Diagonalmatrix B. Wir schreiben:

b = ⟨b_{1}, …, b_{n}⟩ für B = ( ..._{0  b_{n}}^{b_{1}  0} )

Definition 1.11. Sei b: V × V → F eine symmetrische Bilinearform, so heißt b regulär, falls gilt:

V^{⊥_{b}} := { v ∈ V | b(u, v) = 0, ∀u ∈ V } = {0}

Eine quadratische Form q heißt regulär, falls die assoziierte Bilinearform b_{q} regulär ist.

Bemerkung 1.12. Eine symmetrische Bilinearform ist genau dann regulär, wenn für ihre Determinante gilt:

det(b) ≠ 0

Beweis. Siehe hierzu [1, Seite 11]. □

Definition und Lemma 1.13. Seien V und W F -Moduln. Seien weiterhin b: V × V → F und b′: W × W → F zwei symmetrische Bilinearformen, so gilt:

(i) Es gibt genau eine symmetrische Bilinearform

b ⊗ b′: (V ⊗ W) × (V ⊗ W) → F

mit der Eigenschaft:

((v ⊗ w), (v′ ⊗ w′)) ↦ b(v, v′) · b′(w, w′)

Sind b und b′ regulär, so ist es auch b ⊗ b′.

(ii) Es gibt genau eine symmetrische Bilinearform

b ⊥ b′: (V ⊕ W) × (V ⊕ W) → F

mit der Eigenschaft:

((v, w), (v′, w′)) ↦ b(v, v′) + b(w, w′)

Sind b und b′ regulär, so ist es auch b ⊥ b′.

Beweis. (i) Betrachte die 4-lineare Abbildung

β: V × W × V × W → F
(v, w, v′, w′) ↦ b(v, v′) · b′(w, w′).

Aus der universellen Eigenschaft des Tensorprodukts erhält man die eindeutige lineare Abbildung

φ: V ⊗ W ⊗ V ⊗ W → F
v ⊗ w ⊗ v′ ⊗ w′ ↦ b(v, v′) · b′(w, w′).

Zusammen mit der kanonischen bilinearen Abbildung

β′: (V ⊗ W) × (V ⊗ W) → V ⊗ W ⊗ V ⊗ W
((v ⊗ w), (v′ ⊗ w′)) ↦ v ⊗ w ⊗ v′ ⊗ w′

erhält man eine symmetrische Bilinearform auf V ⊗ W. Siehe hierzu und zum Beweis der Regularität [7, Seite 9,10].

(ii) Man kann die erforderlichen Eigenschaften einfach nachrechnen. Siehe zum Beweis der Regularität [1]. □

Bemerkung 1.14. Seien b, b′ zwei symmetrische Bilinearformen und B = (b_{ij})_{ij}, B′ ihre assoziierten Matrizen.

Für die assoziierte Matrix A der Bilinearform b ⊗ b′ gilt:

A = B ⊗ B′ := (\begin{matrix}b_{1,1}B′ & … & b_{1,n}B′ \\ ⋮ & ... & ⋮ \\ b_{n,1}B′ & … & b_{n,n}B′ \end{matrix})

Für die assoziierte Matrix A′ der Bilinearform b ⊥ b′ gilt:

A′ = (\begin{matrix}B & 0 \\ 0 & B′ \end{matrix})

Bemerkung 1.15. Das Tensorprodukt zweier quadratischen Formen q, q′ wird über das Tensorprodukt der assoziierten Bilinearformen definiert:

b_{q⊗q′} := b_{q} ⊗ b_{q′}

Beispiel 1.16. Die quadratische Form

⟨⟨α_{1}, …, α_{n}⟩⟩ := ⨂_{i=1}^{n}⟨1, −α_{i}⟩, α_{i} ∈ F^{∗}

wird als n-fache Pfisterform bezeichnet.

1.2. Die Norm von Moduln und symmetrischen Bilinearformen über quadratischen Körpererweiterungen. Im Folgenden werden die Norm und die Spurabbildung definiert. Dies geschieht für die Spur analog zu der Definition aus [1].

Sei L = F ⊕ αF, α^{2} = a ∈ F^{∗} eine quadratische Körpererweiterung von F. Für ein Element u = y+αz ∈ L sei \overline{u} definiert durch \overline{u} = y−αz.

Betrachte den L-Modulendomorphismus der Linksmultiplikation mit einem Element u = y + αz ∈ L.

μ_{u}: L → L
l ↦ ul

Dieser Endomorphismus hat zur Basis (1, α) die darstellende Matrix ( \begin{matrix}y & az \\ z & y \end{matrix}) und somit das charakteristische Polynom x^{2} − (u + \overline{u})x + u\overline{u}.

Definition 1.17. Die Spur T_{L/F} (u) eines Elements u ∈ L bezüglich der Körpererweiterung L/F ist die Spur des Endomorphismus μ_{u}, also T_{L/F} (u) = u + \overline{u}.

Die Norm N_{L/F} (u) eines Elements u ∈ L bezüglich der Körpererweiterung L/F ist die Determinante des Endomorphismus μ_{u}, also N_{L/F} (u) = u\overline{u}.

Definition 1.18. Seien V, W L-Moduln. Eine Abbildung

f: V → W

heißt L-semilinear (bezüglich l ↦ \overline{l}, l ∈ L) falls für alle v ∈ V und l ∈ L gilt:

f(lv) = \overline{l}f(v)

Definition 1.19. Sei V ein L-Modul. \overline{V} ist der L-Modul definiert durch \overline{V} = V als Menge, und der Skalarmultiplikation

l · v = \overline{l}v, l ∈ L, v ∈ V.

Zur Verdeutlichung werden die Elemente aus \overline{V} mit \overline{v}, v ∈ V bezeichnet. Wir schreiben dann:

l\overline{v} = \overline{\overline{l}v}

Bemerkung 1.20. Die L-semilinearen Abbildungen

V → W

sind gerade die L-linearen Abbildungen

V → \overline{W} .

Lemma 1.21. Sei V ein L-Modul. Dann gibt es genau eine L-semili-neare Abbildung

τ: V ⊗_{L} \overline{V} → V ⊗_{L} \overline{V}

mit

v ⊗ \overline{w} ↦ w ⊗ \overline{v}.

Es gilt:

τ ∘ τ = id

Beweis. Man betrachte, dass die Abbildung

f: V × \overline{V} → \overline{V ⊗_{L} \overline{V}}
(v, \overline{w}) ↦ \overline{w ⊗ \overline{v}}

L-bilinear ist und man somit durch die universelle Eigenschaft des Tensorprodukts eine eindeutige L-lineare Abbildung

τ̃: V ⊗_{L} \overline{V} → \overline{V ⊗_{L} \overline{V}}
v ⊗ \overline{w} ↦ \overline{w ⊗ \overline{v}}

erhält. Nach Bemerkung 1.20 existiert also genau eine L-semilineare Abbildung

τ: V ⊗_{L} \overline{V} → V ⊗_{L} \overline{V}
v ⊗ \overline{w} ↦ w ⊗ \overline{v}.

Es ist leicht nachzurechnen, dass τ ∘ τ = id gilt. □ Definition 1.22. Die Norm eines L-Moduls V wird definiert durch

N_{L/F} (V) = (V ⊗_{L} \overline{V})^{τ}

wobei τ die L-semilineare Abbildung aus Lemma 1.21 ist. Es ist also der F -Modul der Invarianten von V ⊗ \overline{V} unter der Abbildung τ. Beispiel 1.23. Die Norm des L-Moduls L ist der F -Modul F:

N_{L/F} (L) = F

Beweis. Der F -Modul (L ⊗ \overline{L})^{τ} wird offensichtlich von 1 ⊗ 1 erzeugt, und ist somit ein 1-dimensionaler F -Modul, also isomorph zu F. □ Lemma 1.24. Sei V ein endlicher freier L-Modul mit Basis {e_{i}}_{i=1,...,n}, so bilden die Elemente

f_{i} := e_{i} ⊗ \overline{e_{i}} ∈ N_{L/F} (V)  für i = 1, …, n
g_{ij} := e_{i} ⊗ \overline{e_{j}} + e_{j} ⊗ \overline{e_{i}} ∈ N_{L/F} (V)  für 1 ≤ i < j ≤ n
h_{ij} := α(e_{i} ⊗ \overline{e_{j}} − e_{j} ⊗ \overline{e_{i}}) ∈ N_{L/F} (V)  für 1 ≤ i < j ≤ n

eine F -Basis des F -Moduls N_{L/F} (V) und eine L-Basis des L-Moduls V ⊗ \overline{V}. Beweis. Da {e_{i}}_{i=1,...,n} eine Basis von V ist, bilden die Elemente {e_{i} ⊗ \overline{e_{j}}\}_{i,j=1,...,n} eine Basis des L-Moduls V ⊗ \overline{V}. Diese Basiselemente lassen sich folgendermaßen durch die eben definierten Elemente f_{i}, g_{ij}, h_{ij} ausdrücken:

e_{i} ⊗ \overline{e_{i}} = f_{i}  für i = 1, … n
e_{i} ⊗ \overline{e_{j}} = \frac{1}{2}(g_{ij} + α^{−1}h_{ij})  für 1 ≤ i < j ≤ n
e_{i} ⊗ \overline{e_{j}} = \frac{1}{2}(g_{ji} − α^{−1}h_{ji})  für 1 ≤ j < i ≤ n

Somit bilden die Elemente f_{i}, g_{ij}, h_{ij} eine L-Basis von V ⊗ \overline{V}. Es ist leicht nachzurechnen, dass sie invariant unter der Abbildung τ sind.

Sei x ∈ V ⊗ \overline{V} mit

x = ∑_{i=1}^{n} λ_{i}f_{i} + ∑_{1≤i<j≤n}(μ_{ij}g_{ij} + η_{ij}h_{ij}), λ_{i}, μ_{ij}, η_{ij} ∈ L.

Gilt τ(x) = x, so folgt aus der L-Semilinearität von τ:

x = ∑_{i=1}^{n} \overline{λ_{i}}f_{i} + ∑_{1≤i<j≤n}(\overline{μ_{ij}}g_{ij} + \overline{η_{ij}}h_{ij})

Durch Koeffizientenvergleich erhält man

\overline{λ_{i}} = λ_{i}, \overline{μ_{ij}} = μ_{ij} und \overline{η_{ij}} = η_{ij}.

Da also gilt λ_{i}, μ_{ij}, η_{ij} ∈ F, bilden die Elemente f_{i}, g_{ij}, h_{ij} eine Basis von N_{L/F} (V).

□

Bemerkung 1.25. Im Weiteren schreiben wir:

N_{L/F} (v) := v ⊗ \overline{v}

Lemma 1.26. Sei V ein L-Modul. Die Elemente N_{L/F} (v), v ∈ V erzeugen N_{L/F} (V).

Beweis. Dies folgt aus den leicht nachzurechnenden Gleichungen

f_{i} = N_{L/F} (e_{i})  für i = 1, …, n
g_{ij} = N_{L/F} (e_{i} + e_{j}) − N_{L/F} (e_{i}) − N_{L/F} (e_{j})  für 1 ≤ i < j ≤ n
h_{ij} = N_{L/F} (e_{i} + αe_{j}) − N_{L/F} (e_{i}) − aN_{L/F} (e_{j}) für 1 ≤ i < j ≤ n.
□

Definition 1.27. Sei V ein L-Modul, so ist V auch ein F -Modul. Er wird auch die Spur des L-Moduls V genannt und mit T_{L/F} (V) bezeichnet. Es ist also T_{L/F} (V) = V als Menge, mit der Multiplikation k · v = kv für k ∈ F.

Definition und Lemma 1.28. Sei b eine symmetrische Bilinearform auf einem L-Modul V, dann gilt:

(i) Die Abbildung

\overline{b}: \overline{V} × \overline{V} → L,

die definiert ist durch

\overline{b}(\overline{v}, \overline{w}) = \overline{b(v, w)},

ist eine symmetrische L-Bilinearform.

(ii) Die Abbildung

T_{L/F} (b): T_{L/F} (V) × T_{L/F} (V) → F,

die definiert ist durch

T_{L/F} (b)(v, w) = T_{L/F} (b(v, w)),

ist eine symmetrische F -Bilinearform, wobei T_{L/F} die Spurabbildung ist (siehe hierzu auch [1, Seite 44-51]).

(iii) Die Abbildung

N_{L/F} (b): N_{L/F} (V) × N_{L/F} (V) → F,

die definiert ist durch

N_{L/F} (b)(x, y) = (b ⊗ \overline{b})(x, y),

ist eine symmetrische F -Bilinearform.

Beweis. (i) Seien \overline{v}, \overline{w} ∈ \overline{V} und λ ∈ L. Die Biadditivität und die Symmetrie sind offensichtlich. Die L-Linearität sieht man so:

\overline{b}(λ\overline{v}, \overline{w}) = \overline{b}(\overline{\overline{λ}v}, \overline{w}) = \overline{b(\overline{λ}v, w)}
= \overline{\overline{λ}b(v, w)} = λ\overline{b(v, w)} = λ\overline{b}(\overline{v}, \overline{w})

(ii) Man hat für v, w ∈ V:

T_{L/F} (b)(v, w) = T_{L/F} (b(v, w))
= b(v, w) + \overline{b(v, w)}
= b(v, w) + \overline{b}(\overline{v}, \overline{w})

Die Biadditivität, Symmetrie sowie die F -Linearität sind offensichtlich.

(iii) Es ist nur zu zeigen, dass N_{L/F} (b) Werte in F hat. Dazu reicht es nach Lemma 1.26 aus, dies für die Erzeuger N_{L/F} (v) = v ⊗ \overline{v} von N_{L/F} (V) zu zeigen. Es gilt:

(b ⊗ \overline{b})(v ⊗ \overline{v}, w ⊗ \overline{w}) = b(v, w) · \overline{b}(\overline{v}, \overline{w}) = N_{L/F} (b(v, w)) ∈ F
□

Satz 1.29. Seien V und W L-Moduln, so sind folgende Abbildungen Isomorphismen von L-Moduln:

(i)

ϕ: T_{L/F} (V) ⊗_{F} L → V ⊕ \overline{V}
v ⊗_{F} l ↦ l(v, \overline{v})

(ii)

ψ: N_{L/F} (V) ⊗_{F} L → V ⊗ \overline{V}
x ⊗_{F} l ↦ lx

Beweis. (i) Die Abbildung ist offensichtlich L-linear. Sei (e_{i})_{i=1,...,n} eine L-Basis von V, so ist e_{i}, αe_{i}, i = 1, …, n eine F -Basis von T_{L/F} (V) und e_{i} ⊗_{F} 1, αe_{i} ⊗_{F} 1, i = 1, …, n eine L-Basis von T_{L/F} (V) ⊗_{F} L. Diese wird folgendermaßen abgebildet:

e_{i} ⊗_{F} 1 ↦ (e_{i}, \overline{e_{i}})
αe_{i} ⊗_{F} 1 ↦ (αe_{i}, \overline{αe_{i}}) = α(e_{i}, −\overline{e_{i}})

Die Elemente (e_{i}, \overline{e_{i}}), α(e_{i}, −\overline{e_{i}}), i = 1, …, n bilden wiederum eine L-Basis von V ⊕ \overline{V}, da sie linear unabhängig sind, und sich die Basis (e_{i}, 0), (0, \overline{e_{i}}), i = 1, …, n von V ⊕ \overline{V} aus ihnen erzeugen lässt. Daraus folgt die Behauptung.

(ii) Die Abbildung ist offensichtlich L-linear. Da die F -Basis f_{i}, g_{ij}, h_{ij} von N_{L/F} (V) eine L-Basis von V ⊗\overline{V} ist, folgt die Behauptung. □

Korollar 1.30. Sei b eine symmetrische Bilinearform auf einem L-Modul V. Unter Berücksichtigung der Isomorphismen ϕ und ψ aus Satz 1.29 gilt:

(i) T_{L/F} (b) ⊗_{F} L = b ⊥ \overline{b}

(ii) N_{L/F} (b) ⊗_{F} L = b ⊗ \overline{b}

Beweis. Der Beweis wird exemplarisch für den Fall (ii) gezeigt. Den Fall (i) zeigt man auf analoge Weise.

Seien x, y ∈ N_{L/F} (V), k, l ∈ L, so gilt:

(b ⊗ \overline{b}) ∘ (ψ × ψ)(x ⊗_{F} l, y ⊗_{F} k) = lk(b ⊗ \overline{b}) ∘ (ψ × ψ)(x ⊗_{F} 1, y ⊗_{F} 1)
= lkN_{L/F} (b)(x, y)

= lk(N_{L/F} (b) ⊗_{F} L)(x ⊗_{F} 1, y ⊗_{F} 1) = (N_{L/F} (b) ⊗_{F} L)(x ⊗_{F} l, y ⊗_{F} k)

□

Lemma 1.31. Ist b eine reguläre symmetrische Bilinearform auf einem L-Modul V, dann gilt:

(i) \overline{b} ist regulär.

(ii) T_{L/F} (b) ist regulär.

(iii) N_{L/F} (b) ist regulär.

Beweis. Für ein beliebiges v ∈ V, wähle ein w ∈ V, so dass b(v, w) = β ≠ 0.

(i) Daraus folgt, dass

\overline{b}(\overline{v}, \overline{w}) = \overline{b(v, w)} = \overline{β} ≠ 0.

Also ist \overline{b} regulär.

(ii) Dies folgt da T_{L/F} (b) ⊗_{F} L = b ⊥ \overline{b} gilt, und diese Form regulär ist. Man kann es auch mit den obigen Voraussetzungen folgendermaßen überprüfen:

T_{L/F} (b)(v, w · β^{−1}) = T_{L/F} (b(v, w · β^{−1})) = b(v, wβ^{−1}) + \overline{b(v, wβ^{−1})}

= b(v, w)β^{−1} + \overline{b(v, w)}\overline{β^{−1}} = β · β^{−1} + \overline{β · β^{−1}} = 1 + 1 ≠ 0.

Also ist T_{L/F} (b) regulär. Siehe hierzu auch [1, Seite 47].

(iii) Dies folgt, da N_{L/F} (b) ⊗_{F} L = b ⊗ \overline{b} gilt, und diese Form regulär ist, wenn b regulär ist. □

Lemma 1.32. Seien V und W L-Moduln, so gibt es kanonische L-Modulisomorphismen:

(i)

ϕ′: N_{L/F} (V ⊕ W) → N_{L/F} (V) ⊕ T_{L/F} (V ⊗ \overline{W}) ⊕ N_{L/F} (W)

mit der Eigenschaft:

N_{L/F} ((v, w)) ↦ (N_{L/F} (v), v ⊗ \overline{w}, N_{L/F} (w))

(ii)

ψ′: N_{L/F} (V ⊗ W) → N_{L/F} (V) ⊗ N_{L/F} (W)

mit der Eigenschaft:

N_{L/F} (v ⊗ w) ↦ N_{L/F} (v) ⊗ N_{L/F} (w)

Beweis. (i) Der Isomorphismus entsteht aus dem Isomorphismus

(V ⊕ W) ⊗ (\overline{V} ⊕ \overline{W}) → (V ⊗ \overline{V}) ⊕ (V ⊗ \overline{W}) ⊕ (W ⊗ \overline{V}) ⊕ (W ⊗ \overline{W})
(v, w) ⊗ (\overline{v′}, \overline{w′}) ↦ (v ⊗ \overline{v′}, v ⊗ \overline{w′}, w ⊗ \overline{v′}, w ⊗ \overline{w′})

durch Einschränkung und den Isomorphismen aus Satz 1.29.

(ii) Analog zu (i) entsteht der gewünschte Isomorphismus aus dem Isomorphismus

(V ⊗ W) ⊗ (\overline{V} ⊗ \overline{W}) → (V ⊗ \overline{V}) ⊗ (W ⊗ \overline{W})
v ⊗ w ⊗ \overline{v′} ⊗ \overline{w′} ↦ v ⊗ \overline{v′} ⊗ w ⊗ \overline{w′}

wiederum durch Einschränkung und den Isomorphismen aus Satz 1.29. □

Satz 1.33. Seien b und b′ symmetrische Bilinearformen auf V bzw. V′. Unter Beachtung der Isomorphismen ϕ′ und ψ′ aus Lemma 1.32 gilt:

(i) N_{L/F} (b ⊥ b′) = N_{L/F} (b) ⊥ T_{L/F} (b ⊗ \overline{b′}) ⊥ N_{L/F} (b′)

(ii) N_{L/F} (b ⊗ b′) = N_{L/F} (b) ⊗ N_{L/F} (b′)

Beweis. Man führt den Beweis von (i) analog zum Beweis von Korollar 1.30. Im Fall (ii) betrachtet man die Bilinearformen über dem Erweiterungskörper L. Da sie dort gleich sind, sind sie es bereits über F.

□ 1.3. Der Grothendieck-Witt-Ring.

Satz 1.34. Sei M eine abelsche Halbgruppe. Dann existiert eine bis auf Isomorphie eindeutige abelsche Gruppe M̂ und ein Halbgruppenhomomorphismus i: M → M̂ mit der universellen Eigenschaft: Zu jedem Halbgruppenhomomorphismus f: M → G in eine abelsche Gruppe G existiert ein eindeutiger Gruppenhomomorphismus f′: M̂ → G mit f = f′ ∘ i.

Beweis. Der Beweis wurde aus [1, Seite 29,30] übernommen, und steht noch einmal im Anhang Nebenrechnung 3.1. Er zeigt, dass M̂ von den Elementen i(a), a ∈ M erzeugt wird. Die Elemente aus M̂ werden mit

[a, b] = i(a) − i(b) = a − b, a, b ∈ M

notiert. □

Bemerkung 1.35. Ist M eine Halbgruppe, die der Kürzungsregel genügt, so ist i injektiv.

Bemerkung 1.36. Ist in Satz 1.34 M ein Semiring, so ist M̂ auf kanonische Weise ein Ring.

Definition 1.37. Sei M eine Halbgruppe (Semiring), so heißt die aus Satz 1.34 konstruierte Gruppe (Ring) M̂ Grothendieckgruppe (Grothendieckring) von M.

Lemma 1.38. Seien M eine abelsche Halbgruppe und G eine abelsche Gruppe. Sei B: M × M → G eine biadditive Abbildung. Dann existiert eine eindeutig bestimmte biadditive Fortsetzung B̂ der Abbildung B auf M̂ × M̂, mit:

B̂(a − b, c − d) = B(a, c) + B(b, d) − B(a, d) − B(b, c)

Beweis. Man betrachte das folgende Diagramm:

M × M ⟶^{B} G
(i,id_{M})↓  ↓^{id}_{G}
M̂ × M \underrightarrow{B̃} G
(idM̂,i)↓  ↓^{id}_{G}
M̂ × M̂ \underrightarrow{B̂} G

Hierbei ist i: M → M̂ wie in Satz 1.34. Für b ∈ M ist

M → G
a ↦ B(a, b)

ein Halbgruppenhomomorphismus. Sei

M̂ → G
u ↦ B̃(u, b)

die Fortsetzung zu einem Gruppenhomomorphismus nach der universellen Eigenschaft von i. Ferner ist dann für u ∈ M̂ die Abbildung

M → G
b ↦ B̃(u, b)

auch ein Halbgruppenhomomorphismus. Sei dann

M̂ → G
v ↦ B̂(u, v)

wiederum die Fortsetzung zu einem Gruppenhomomorphismus nach der universellen Eigenschaft von i. Die Eigenschaften sind leicht nachzurechnen. □

Bemerkung 1.39. Ist B symmetrisch, so ist es auch B̂.

Lemma 1.40. Sei M eine abelsche Halbgruppe, die der Kürzungsregel genügt, und sei G eine abelsche Gruppe. Sei

Q: M → G

eine Abbildung mit der Eigenschaft, dass die Abbildung

B: M × M → G
B(a, b) := Q(a + b) − Q(a) − Q(b)

biadditiv ist. Dann gibt es genau eine Abbildung

Q̂: M̂ → G

mit der Eigenschaft

Q̂(u + v) = Q̂(u) + Q̂(v) + B̂(u, v), für u, v ∈ M̂

und

Q̂(i(a)) = Q(a), für a ∈ M

wobei i die Abbildung aus Satz 1.34 ist.

Beweis. Betrachte die Abbildung

Q̂: M̂ → G

mit

Q̂([a, b]) = Q(a) − Q(b) + B(b, b) − B(a, b).

Sie ist wohldefiniert (siehe Anhang Nebenrechnung 3.2), und erfüllt die gewünschten Eigenschaften (siehe Anhang Nebenrechnung 3.3). Die Abbildung ist eindeutig bestimmt, da M̂ erzeugt wird von i(M). □

Korollar 1.41. Sei M ein kommutativer Semiring der bezüglich der Addition der Kürzungsregel genügt, Q und B Abbildungen wie in Lemma 1.40 mit der zusätzlichen Eigenschaft

Q(a · b) = Q(a) · Q(b), a, b ∈ M.

Dann lässt sich die Abbildung auf den Grothendieckring M̂ fortsetzen mit den Eigenschaften aus Lemma 1.40 und der Eigenschaft

Q̂([a, b] · [a′, b′]) = Q̂([a, b]) · Q̂([a′, b′]), [a, b], [a′, b′] ∈ M̂.

Beweis. Es muss nur noch die letzte Eigenschaft nachgerechnet werden. Siehe dazu im Anhang Nebenrechnung 3.5. □

Satz 1.42 (Wittscher Kürzungssatz). Seien b, b_{1}, b_{2} symmetrische Bilinearformen. Ist b ⊥ b_{1} isometrisch zu b ⊥ b_{2}, dann ist b_{1} isometrisch zu b_{2}.

Beweis. Siehe hierzu [2, Seite 15-19]. □

Definition 1.43 (Grothendieck-Witt-Ring). Man betrachte die Menge Ŵ^{+}(F) der Isometrieklassen von regulären symmetrischen Bilinearformen auf F -Moduln.

Mit der Addition [b] + [b′] = [b ⊥ b′] und der Multiplikation [b] · [b′] = [b ⊗ b′] aus Definition 1.13 bildet Ŵ^{+}(F) einen Semiring, dessen additive Halbgruppe nach dem Wittschen Kürzungssatz der Kürzungsregel genügt (vergleiche [1, Seite 29-33]).

Aus der Konstruktion aus Satz 1.34 ergibt sich der Ring Ŵ(F), welchen wir als Grothendieck-Witt-Ring bezeichnen. Seine Elemente schreiben wir i([b]) − i([b′]) (oder kurz [b] − [b′]) mit [b], [b′] ∈ Ŵ^{+}(F). Der Ring ist kommutativ auf Grund der Definition der Multiplikation.

Definition 1.44. Sei V ein F -Modul, b eine symmetrische Bilinearform auf V. Ein Vektor v ∈ V, v ≠ 0 heißt isotrop, falls b(v, v) = 0. Ansonsten heißt er anisotrop.

Ein Bilinearraum (V, b) heißt isotrop, falls er einen isotropen Vektor v enthält.

Ein Bilinearraum (V, b) heißt total isotrop, falls für alle v, w ∈ V gilt b(v, w) = 0.

Definition 1.45. Sei V ein F -Modul und V^{∗} sein Dualraum. Die Abbildung

h_{V} : (V ⊕ V^{∗}) × (V ⊕ V^{∗}) → F
((v, f), (w, g)) ↦ f(w) + g(v)

ist eine wohldefinierte reguläre symmetrische Bilinearform. Der Bilinearraum

ℍ(V) := (V ⊕ V^{∗}, h_{V})

heißt hyperbolischer Raum von V.

Lemma 1.46. Sei V ein 2n-dimensionaler F -Modul, b eine symmetrische Bilinearform auf V. (V, b) ist genau dann isometrisch zu einem hyperbolischen Raum, wenn eine der folgenden Bedingungen erfüllt ist:

(i) Es existiert ein n-dimensionaler total isotroper Unterraum von V.

(ii) b wird repräsentiert von einer Matrix der Form:

B = (\begin{matrix}0 & C \\ C^{t} & D \end{matrix})

wobei C und D n × n Matrizen sind und det(C) ≠ 0. (iii) b wird repräsentiert von einer Matrix der Form:

B = (\begin{matrix}0 & E \\ E & 0 \end{matrix})

wobei E die n × n Einheitsmatrix ist. (iv) b wird repräsentiert von einer Matrix der Form:

B = (\begin{matrix}A & 0 \\ 0 & −A \end{matrix})

wobei A eine invertierbare n × n Matrix ist.

(v) b ist isometrisch zur Form n⟨1, −1⟩.

Beweis. Siehe hierzu [1, Seite 12]. □

Bemerkung 1.47. Zu jedem Element x ∈ Ŵ(F) existiert eine eindeutig bestimmte anisotrope Form q und eine eindeutig bestimmte Zahl n ∈ ℤ, so dass sich x schreiben lässt als:

x = [q] + [n⟨1, −1⟩]

Beweis. Siehe hierzu [1, Seite 34 Theorem 1.11]. □

Definition 1.48. Wir bezeichnen mit H(F) die Untergruppe des Grothendieck-Witt-Ringes Ŵ(F), die additiv erzeugt wird von den Klassen der hyperbolischen Räume. Es gilt:

H(F) = [⟨1, −1⟩]ℤ

Bemerkung 1.49. Für einen Bilinearraum (V, b) sei die Dimension von b gleich der Dimension von V. Die Abbildung

dim: Ŵ^{+}(F) → ℤ
[b] ↦ dim(b)

ist ein Semiringhomomorphismus, und wird nach Satz 1.34 eindeutig zu einem Ringhomomorphismus

dim: Ŵ(F) → ℤ

fortgesetzt. Für [φ] − [ψ] ∈ Ŵ(F) gilt:

dim([φ] − [ψ]) = dim([φ]) − dim([ψ])

Lemma 1.50. Sei φ ∈ H(F) und x ∈ Ŵ(F). Dann gilt:

φ ⊗ x = dim(x)φ ∈ H(F)

Die hyperbolischen Formen bilden somit ein Ideal im Grothendieck-- Witt-Ring Ŵ(F).

Beweis. Siehe hierzu [1, Seite 33]. □

Definition 1.51. Der Grothendieck-Witt-Ring Ŵ(F) modulo dem Ideal H(F) wird als Wittring W (F) bezeichnet. Es ist also der Ring der Isometrieklassen von anisotropen quadratischen Formen.

Sei im Weiteren

π: Ŵ(F) → W (F)

die Projektion des Grothendieck-Witt-Ring in den Witt-Ring.

Lemma 1.52. Die Abbildung

dim_{|H(F)} : H(F) → 2ℤ

ist bijektiv. Ferner induziert die Dimensionsabbildung des Grothendieck-Witt-Ringes folgende Abbildung auf dem Witt-Ring:

d̃im: W (F) → ℤ/2ℤ
x ↦ dim(x) mod 2
□

Definition 1.53. Die Ideale

Î(F) := Kern(dim) ⊂ Ŵ(F)
I(F) := Kern(d̃im) ⊂ W (F)

werden als fundamentale Ideale des Grothendieck-Witt-Ringes bzw. des Witt-Ringes bezeichnet.

Lemma 1.54. Für die Potenzen der fundamentalen Ideale gilt:

Î^{n}(F) ≅ I^{n}(F), n > 0

Beweis. Man betrachte die eingeschränkte Projektion:

π_{|Î(F)} : Î(F) → I(F),

und folgert leicht aus Lemma 1.52, dass diese Abbildung bijektiv ist.

□

Definition 1.55. Das Element

[[a_{1}, …, a_{n}]] := ⟨⟨a_{1}, …, a_{n}⟩⟩ − ⟨⟨1⟩⟩^{n} ∈ Î^{n}(F)

wird als normalisierte n-fache Pfisterform bezeichnet. Man beachte:

[[a_{1}, …, a_{n}]] = (π_{|Î(F)})^{−1}(⟨⟨a_{1}, …, a_{n}⟩⟩)

Lemma 1.56. Die n-ten Potenzen der fundamentalen Ideale I(F) und Î(F) werden additiv erzeugt von den n-fachen Pfisterformen bzw. den normalisierten n-fachen Pfisterformen.

Beweis. Es reicht aus dies jeweils für den Fall n = 1 zu zeigen. Jedes Element aus I(F) lässt sich schreiben als Summe von 2-dimensionalen quadratischen Formen, und diese wiederum als Summe zweier Pfisterformen:

⟨α, β⟩ = ⟨1, α⟩ − ⟨1, −β⟩ = ⟨⟨−α⟩⟩ − ⟨⟨β⟩⟩

Siehe hierzu auch [1].

Die Behauptung für Î(F) folgt damit aus Lemma 1.54. □

Im Folgenden werden Rechenregeln für den Grothendieck-Witt-Ring und den Witt-Ring aufgeführt und bewiesen, die im späteren Verlauf der Arbeit benutzt werden.

Bemerkung 1.57. Für zwei Elemente x, y ∈ Ŵ(F) gilt

x = y in Ŵ(F)

genau dann, wenn:

dim(x) = dim(y) und π(x) = π(y) in W (F)

Beweis. Dies folgt direkt aus Bemerkung 1.47. □

Satz 1.58 (Wittrelation). Es gelten folgende Relationen im Grothendieck-Witt-Ring Ŵ(F) eines Körpers F:

(i) ⟨k⟩ = ⟨kl^{2}⟩, k, l ∈ F^{∗}

(ii) ⟨k⟩ + ⟨l⟩ = ⟨k + l⟩ + ⟨(k + l)kl⟩, k, l ∈ F^{∗} mit k + l ≠ 0

Im Witt-Ring W (F) gilt zusätzlich die Eigenschaft:

⟨k⟩ + ⟨−k⟩ = 0, k ∈ F^{∗}

Beweis. Siehe hierzu [1, Seite 66]. □

Bemerkung 1.59. Für die Erzeuger von Î^{n}(F) gelten folgende Rechenregeln, wobei λ, λ_{i}, μ_{i}∈ F^{∗}.

(i) [[λ_{1}, …, λ_{n}]] · [[μ_{1}, …, μ_{m}]] = [[λ_{1}, …, λ_{n}, μ_{1}, …, μ_{m}]] (ii) [[λ]] = ⟨1⟩ − ⟨λ⟩ (iii) [[λ, μ]] = [[λ, −λμ]] (iv) [[a, N_{L/F} (λ)]] = 0 für λ ∈ L^{∗}

(v) ⟨2⟩⟨⟨−a⟩⟩ + ⟨2⟩[[a]] = 2

Beweis. (i) und (ii) folgen aus Bemerkung 1.57.

(iii) Unter Berücksichtigung von Bemerkung 1.57 und der Wittrelationen aus Satz 1.58 rechnet man folgendermaßen:

⟨⟨λ, −λμ⟩⟩ = ⟨1, −λ, λμ, −λ^{2}μ⟩
= ⟨1, −λ, −μ, λμ⟩
= ⟨⟨λ, μ⟩⟩

(iv) Nach Bemerkung 1.57 reicht es zu zeigen, dass ⟨⟨a, N_{L/F} (λ)⟩⟩ hyperbolisch ist. Sei dazu λ = x+αy und somit N_{L/F} (λ) = x^{2}−ay^{2}. Sei weiterhin x, y ≠ 0, da sonst die Aussage direkt folgt. Unter Verwendung der Wittrelationen gilt:

⟨⟨a, x^{2} − ay^{2}⟩⟩ = ⟨1, −a, −x^{2} + ay^{2}, ax^{2} − a^{2}y^{2}⟩

= ⟨1, −a, −1 + a \underbrace{\frac{y^{2}}{x^{2}}}_{=:z^{2}}, a − a^{2} \frac{y^{2}}{x^{2}} ⟩

= ⟨1, −az^{2}, −1 + az^{2}, a(1 − az^{2})⟩

= ⟨1 − az^{2}, −az^{2}(1 − az^{2}), −1 + az^{2}, a(1 − az^{2})⟩

= ⟨1 − az^{2}, −(1 − az^{2}), a(1 − az^{2}), −a(1 − az^{2})⟩ = ⟨1, 1, −1, −1⟩

(v) Man zeigt die Gleichung auf folgende Weise:

⟨2⟩[[a]] + ⟨2⟩⟨⟨−a⟩⟩ = ⟨2⟩(⟨1⟩ − ⟨a⟩ + ⟨1⟩ + ⟨a⟩) = ⟨2⟩(⟨1, 1⟩)

Nach Satz 1.58 (ii) gilt:

2 = ⟨1, 1⟩ = ⟨1⟩ + ⟨1⟩ = ⟨1 + 1⟩ + ⟨(1 + 1) · (1 · 1)⟩ = ⟨2, 2⟩

□

1.4. Äußere Potenzen von quadratischen Formen und Lambda-Operationen.

Definition 1.60. Sei x ∈ Ŵ^{+}(F) repräsentiert durch eine symmetrische Bilinearform φ: V × V → F. Die k-fache äußere Potenz von x ist definiert durch:

λ^{k}(x): λ^{k}V × λ^{k}V → F
(v_{1} ∧ ⋯ ∧ v_{k}, u_{1} ∧ ⋯ ∧ u_{k}) ↦ det(φ(v_{i}, u_{j}))_{1≤i,j≤k}

λ^{0}(x) wird als ⟨1⟩ definiert.

Bemerkung 1.61. Für x ∈ Ŵ^{+}(F) gilt:

(i) λ^{k}(x) ∈ Ŵ^{+}(F)

(ii) λ^{1}(x) = x (iii) λ^{k}(x) = 0 für k > dim(x)

Lemma 1.62. Sei x = ⟨a_{1}, …, a_{n}⟩ ∈ Ŵ^{+}(F) und k ≤ dim(x) = n, so ist dim(λ^{k}(x)) = \binom{n}{k} und λ^{k}(x) hat die Diagonalform:

λ^{k}(x) = ⨁_{1≤i_{1}<···<i_{k}≤n}⟨a_{i_{1}} ⋯ a_{i_{k}}⟩

Beweis. Siehe hierzu [8, Seite 3]. □

Beispiel 1.63. Im Fall λ^{2}, der im Weiteren vorwiegend betrachtet wird, hat λ^{2}(x) die Diagonalform:

λ^{2}(⟨a_{1}, …, a_{n}⟩) = ⨁_{1≤i<j≤n}⟨a_{i}a_{j}⟩ =: ⟨a_{i}a_{j}⟩_{i<j}

Für x ∈ Ŵ^{+}(F) betrachtet man die Potenzreihe:

λ_{t}(x) := ∑_{i≥0} t^{i}λ^{i}(x) ∈ Ŵ^{+}(F)[[t]]

Lemma 1.64. Es gilt für x, y ∈ Ŵ^{+}(F):

λ_{t}(x + y) = λ_{t}(x)λ_{t}(y)

Beweis. Sei x = ⟨a_{1}, …, a_{n}⟩, y = ⟨a_{n+1}, …, a_{m}⟩, dann gilt:

λ_{t}(x)λ_{t}(y)

= ∑_{i≥0} t^{i}λ^{i}(x) · ∑_{i≥0} t^{i}λ^{i}(y)

= ∑_{k≥0} ∑_{0≤i≤k} t^{k}λ^{i}(x)λ^{k−i}(y)

= ∑_{k≥0} t^{k} ∑_{0≤i≤k} λ^{i}(x)λ^{k−i}(y)

Nach Lemma 1.62 erhält man:

λ^{i}(x)λ^{k−i}(y)

= ( ⨁_{0≤j_{1}<···<j_{i}≤n}⟨a_{j_{1}} ⋯ a_{j_{k}}⟩) · ( ⨁_{n+1≤l_{1}<···<l_{k−i}≤m}⟨a_{l_{1}} ⋯ a_{l_{k−i}}⟩)

Summiert man dies über i ∈ {0, …, k}, so ergibt sich:

∑_{0≤i≤k} λ^{i}(x)λ^{k−i}(y) = ⨁_{0≤j_{1}<···<j_{k}≤m}⟨a_{j_{1}} ⋯ a_{j_{k}}⟩ = λ^{k}(x + y)

und damit die gewünschte Potenzreihe:

∑_{k≥0} t^{k}λ^{k}(x + y) = λ_{t}(x + y)

□

Bemerkung 1.65. Sei R ein kommutativer Ring mit 1 und R[[t]] der Potenzreihenring von R. Dann ist

M := 1 + tR[[t]] ⊂ R[[t]]

eine Untergruppe bezüglich der Multiplikation.

Für die Inverse einer Potenzreihe

λ = 1 + ta_{1} + t^{2}a_{2} + …, a_{i} ∈ R

gilt:

λ^{−1} = 1 − ta_{1} + t^{2}(a_{1} − a_{2}) + …

Ferner gilt im speziellen:

(1 + ta)^{−1} = ∑_{i≥0} t^{i}(−a)^{i}

Im Folgenden betrachten wir den Fall R = Ŵ(F).

Bemerkung 1.66. Für x ∈ Ŵ^{+}(F) ist

λ_{t}(x) ∈ M.

Nach Lemma 1.64 ist

λ_{t}: Ŵ^{+}(F) → M

ein Halbgruppenhomomorphismus, welcher sich nach Satz 1.34 eindeutig zu einem Gruppenhomomorphismus

λ̂_{t}: Ŵ(F) → M

fortsetzt. Dieser hat dann die Eigenschaft:

λ̂_{t}(x − y) = λ̂_{t}(x)(λ̂_{t}(y))^{−1}

Er wird im Folgenden einfach mit λ_{t} notiert.

Definition 1.67. Die λ-Operationen können wir jetzt durch die formalen Potenzreihen definieren, die auf ganz Ŵ(F) gegeben sind. Dabei ist für alle x ∈ Ŵ(F), λ^{i}(x) das i-te Glied der Potenzreihe ∑_{i≥0} t^{i}λ^{i}(x).

Lemma 1.68. Für x, y ∈ Ŵ(F) gilt:

λ^{2}(x − y) = λ^{2}(x) − xy + y^{2} − λ^{2}(y)

Beweis. Modulo t^{3}Ŵ(F)[[t]] gilt nach Bemerkung 1.65 und Bemerkung 1.66:

λ_{t}(x − y) = λ_{t}(x)(λ_{t}(y))^{−1}
= (1 + tx + t^{2}λ^{2}(x))(1 − ty + t^{2}(y^{2} − λ^{2}(y)))
= 1 + t(x − y) + t^{2}(−xy + λ^{2}(x) + y^{2} − λ^{2}(y))
□

Lemma 1.69. Seien x, y ∈ Ŵ(F) und l ∈ F^{∗}. Für die λ-Operationen gelten folgende Regeln:

(i) λ^{0}(λ) = ⟨1⟩ (ii) λ^{1}(x) = x (iii) x^{2} = dim(x) + 2λ^{2}(x) (iv) λ^{2}(−x) = λ^{2}(x) + dim(x)

(v) λ^{2}(x + y) = λ^{2}(x) + xy + λ^{2}(y)

(vi) λ^{2}(x − y) = λ^{2}(x) − xy + dim(y) + λ^{2}(y)

(vii) λ^{2}(⟨l⟩x) = λ^{2}(x)

Beweis. (i) und (ii) folgen aus der Definition von λ^{0}(x) für dim(x) ≥ 0.

(iii) Die Behauptung ist klar, für x ∈ Ŵ^{+}(L) (vergleiche Beispiel 1.63). Für x = v − w ∈ Ŵ(F) mit v, w ∈ Ŵ^{+}(F) wissen wir nach Bemerkung 1.49:

dim(x) = dim(v) − dim(w)

und nach Lemma 1.68:

λ^{2}(x) = λ^{2}(v) − vw + w^{2} − λ^{2}(w)

Die Behauptung ergibt sich daraus wie folgt:

dim(x) + 2λ^{2}(x)

= dim(v) − dim(w) + 2(λ(v) − vw + w^{2} − λ^{2}(w))

= dim(v) − dim(w) + v^{2} − dim(v) − 2vw + 2w^{2} − w^{2} + dim(w)

= v^{2} − 2vw + w^{2} = x^{2}

Die Gleichungen (iv)-(vii) lassen sich mit (iii), Beispiel 1.63 und Lemma 1.68 leicht überprüfen. □

Bemerkung 1.70. Sei y = ⟨⟨a_{1}, …, a_{n}⟩⟩, a_{i} ∈ F^{∗} eine n-fache Pfisterform, so gilt

y^{2} = ⟨⟨−1⟩⟩^{n}y,

da für n=1 schon gilt

⟨⟨λ⟩⟩^{2} = ⟨1, −λ, −λ, 1⟩ = ⟨⟨−1⟩⟩⟨⟨λ⟩⟩,

und der allgemeine Fall sich darauf reduzieren lässt durch

⟨⟨a_{1}, …, a_{n}⟩⟩^{2} = ∏_{i=1}^{n}⟨⟨a_{i}⟩⟩^{2} = ∏_{i=1}^{n}⟨⟨−1⟩⟩⟨⟨a_{i}⟩⟩ = ⟨⟨−1⟩⟩^{n}⟨⟨a_{1}, …, a_{n}⟩⟩.

Lemma 1.71. Sei x eine n-fache Pfisterform und x′ = x − ⟨⟨1⟩⟩^{n} ∈ Î^{n}(F). Dann gilt:

λ^{2}(x′) = ⟨⟨−1⟩⟩^{n−1}x′

Beweis. Sei x = ⟨⟨a_{1}, …, a_{n−1}, b⟩⟩ und y = ⟨⟨a_{1}, …, a_{n−1}⟩⟩, so gilt nach Bemerkung 1.57

x′ = y − ⟨b⟩y

Mit Hilfe der Regeln aus Lemma 1.69 rechnet man folgendermaßen:

λ^{2}(x′) = λ^{2}(y − ⟨b⟩y)
= λ^{2}(y) − ⟨b⟩y(y − ⟨b⟩y) − λ^{2}(⟨b⟩y)
= λ^{2}(y) − ⟨b⟩y^{2} + ⟨b⟩^{2}y^{2} − λ^{2}(y)

Da y^{2} = ⟨⟨−1⟩⟩^{n−1}y (siehe Bemerkung 1.70) folgt:

λ^{2}(x′) = −⟨b⟩⟨⟨−1⟩⟩^{n−1}y + ⟨⟨−1⟩⟩^{n−1}y
= ⟨⟨−1⟩⟩^{n−1}y(⟨1⟩ − ⟨b⟩)
= ⟨⟨−1⟩⟩^{n−1}x′
□

Lemma 1.72.

λ^{2}(⟨⟨1⟩⟩^{n}) = ⟨⟨1⟩⟩^{2n−1} − ⟨⟨−1⟩⟩^{n−1}

Beweis. Man zeigt die Aussage durch Induktion über n.

Betrachte also zunächst den Fall n = 1.

λ^{2}(⟨1, −1⟩) = ⟨−1⟩ = ⟨⟨1⟩⟩ − ⟨⟨−1⟩⟩^{0}

Angenommen die Aussage stimmt für alle k ≤ n so folgt für n + 1:

λ^{2}(⟨⟨1⟩⟩^{n+1})
= λ^{2}(⟨⟨1⟩⟩^{n} + ⟨⟨1⟩⟩^{n})
= λ^{2}(⟨⟨1⟩⟩^{n}) + ⟨⟨1⟩⟩^{n}⟨⟨1⟩⟩^{n} + λ^{2}(⟨⟨1⟩⟩^{n})
= ⟨⟨1⟩⟩^{2n−1} − ⟨⟨−1⟩⟩^{n−1} + ⟨⟨1⟩⟩^{2n} + ⟨⟨1⟩⟩^{2n−1} − ⟨⟨−1⟩⟩^{n−1}
= ⟨⟨1⟩⟩^{2n+1} − ⟨⟨−1⟩⟩^{n}

□

MULTIPLIKATIVE QUADRATISCHE NORM 25

Korollar 1.73. Für eine n-fache Pfisterform x gilt:

λ^{2}(x) = x′⟨⟨−1⟩⟩^{n−1}

mit x′ := x − ⟨1⟩. Beweis. Unter Verwendung von Lemma 1.68 ergibt sich:

λ^{2}(x − ⟨⟨1⟩⟩^{n}) = λ^{2}(x) − ⟨⟨1⟩⟩^{n}(x − ⟨⟨1⟩⟩^{n}) − λ^{2}(⟨⟨1⟩⟩^{n}) Da hyperbolische Formen der Dimension 0 gleich 0 sind (vergleiche Lemma 1.52) erhält man:

λ^{2}(x − ⟨⟨1⟩⟩^{n}) = λ^{2}(x) − λ^{2}(⟨⟨1⟩⟩^{n})

Nach Lemma 1.72 folgt:

λ^{2}(x − ⟨⟨1⟩⟩^{n}) = λ^{2}(x) − ⟨⟨1⟩⟩^{2n−1} + ⟨⟨−1⟩⟩^{n−1}

Und nach Lemma 1.71 folgt schließlich die Behauptung durch:

λ^{2}(x) = λ^{2}(x − ⟨⟨1⟩⟩^{n}) + ⟨⟨1⟩⟩^{2n−1} − ⟨⟨−1⟩⟩^{n−1}

= (x − ⟨⟨1⟩⟩^{n})⟨⟨−1⟩⟩^{n−1} + ⟨⟨1⟩⟩^{2n−1} − ⟨⟨−1⟩⟩^{n−1} = x⟨⟨−1⟩⟩^{n−1} − ⟨⟨1⟩⟩^{2n−1} + ⟨⟨1⟩⟩^{2n−1} − ⟨⟨−1⟩⟩^{n−1}

= (x′)⟨⟨−1⟩⟩^{n−1}
□

2. Die multiplikative quadratische Norm für den Grothendieck-Witt-Ring

Sei im Weiteren L und F wie in Abschnitt 1.2.

2.1. Einführung der Norm. Nach Lemma 1.31 bildet die in Definition 1.28 definierte Normabbildung N_{L/F} eine reguläre symmetrische Bilinearform eines L-Moduls auf eine reguläre symmetrische Bilinearform eines F -Moduls ab. Es ist leicht zu überprüfen, dass die auf den Isometrieklassen induzierte Abbildung

N_{L/F} : Ŵ^{+}(L) → Ŵ^{+}(F)
[b] ↦ [N_{L/F} (b)]

wohldefiniert und durch N_{L/F} eindeutig bestimmt ist. Gleiches gilt für die Spurabbildung T_{L/F}.

Lemma 2.1. Es existiert eine eindeutig bestimmte Abbildung

T_{L/F} : Ŵ(L) → Ŵ(F)

mit der Eigenschaft:

[b] ↦ [T_{L/F} (b)]

für eine reguläre symmetrische Bilinearform b.

Beweis. Aus der Definition der Spur lässt sich leicht zeigen, dass die Spur ein Halbgruppenhomomorphismus (bezüglich der Addition) von Ŵ^{+}(L) in den Grothendieck-Witt-Ring Ŵ(F) ist. Damit gibt es nach Satz 1.34 einen eindeutig bestimmten Gruppenhomomorphismus

T̂_{L/F} : Ŵ(L) → Ŵ(F)

mit der gewünschten Eigenschaft. Wir schreiben zukünftlich einfach T_{L/F} anstatt T̂_{L/F}. □

Lemma 2.2. Seien b, b′ symmetrische F -Bilinearformen mit dim(b) = dim(b′) = 2. Ist det(b) = det(b′) und haben die quadratischen Formen q_{b}, q_{b′} einen gemeinsamen von Null verschiedenen Wert, so sind b und b′ isometrisch.

Beweis. Sei c = q_{b}(v) = q_{b′}(v′) ≠ 0, so gibt es Diagonalisierungen:

b = ⟨c, d⟩, b′ = ⟨c, d′⟩

Da

cd = det(b) = det(b′) = cd′ mod F^{∗2}

existiert ein e ∈ F^{∗} mit d′ = de^{2} und damit sind b und b′ isometrisch. □

Lemma 2.3. Im Grothendieck-Witt-Ring gelten für die Spur folgende Gleichungen:

(i) T_{L/F} (x + y) = T_{L/F} (x) + T_{L/F} (y), x, y ∈ Ŵ(L)

(ii) T_{L/F} (⟨1⟩) = ⟨2⟩⟨⟨−a⟩⟩

(iii) T_{L/F} (⟨λ⟩) = \begin{cases}⟨T_{L/F} (λ)⟩⟨⟨−aN_{L/F} (λ)⟩⟩ & falls T_{L/F} (λ) ≠ 0 \\ ⟨⟨1⟩⟩ & sonst \end{cases}

(iv) T_{L/F} (\overline{x}) = T_{L/F} (x), x ∈ Ŵ(L)

Beweis. (i) Dies folgt aus Satz 1.34 und Lemma 2.1.

(ii) Sei λ = μ + αη ∈ L^{∗}, so gilt:

T_{L/F} (⟨1⟩)(λ) = T_{L/F} (λ^{2}) = 2(μ^{2} + α^{2}η^{2})

Es gilt also:

T_{L/F} (⟨1⟩) = ⟨2, 2a⟩ = ⟨2⟩⟨⟨−a⟩⟩

(iii) Sei λ = μ + αη ∈ L^{∗}. Zu der Standardbasis 1, α hat T_{L/F} (⟨λ⟩) die darstellende Matrix ( \begin{matrix}2μ & 2aη \\ 2aη & 2aμ \end{matrix} ). Falls T_{L/F} (λ) = 2μ = 0 so ist die Form nach Lemma 1.46 hyperbolisch, und es gilt:

T_{L/F} (⟨λ⟩) = ⟨1, −1⟩ = ⟨⟨1⟩⟩

Da die Dimension der Formen 2 ist, reicht es aus die Bedingungen aus Lemma 2.2 zu überprüfen. Für die Determinante gilt:

det(T_{L/F} (⟨λ⟩) = aN_{L/F} (λ) = det(⟨T_{L/F} (λ)⟩⟨⟨−aN_{L/F} (λ)⟩⟩).

Ferner haben beide quadratische Formen den gemeinsamen Wert

T_{L/F} (λ).

(iv) Die Behauptung ist klar für x ∈ Ŵ^{+}(L) und damit, auf Grund der Additivität von T_{L/F}, auch für x ∈ Ŵ(L). □

Lemma 2.4. Die Abbildung

T̃_{L/F} : Ŵ^{+}(L) × Ŵ^{+}(L) → Ŵ^{+}(F)
T̃_{L/F} (x, y) = T_{L/F} (x\overline{y})

ist biadditiv und symmetrisch.

Beweis. Aus Bemerkung 2.3 (iv) folgt die Symmetrie, und aus den Eigenschaften des Tensorprodukts die Biadditivität. □

Satz 2.5. Es existiert eine eindeutig bestimmte Abbildung

N_{L/F} : Ŵ(L) → Ŵ(F)

mit den Eigenschaften:

(i) N_{L/F} ([b]) = [N_{L/F} (b)] für eine reguläre symmetrische Bilinearform b.

(ii) N_{L/F} (x + y) = N_{L/F} (x) + N_{L/F} (y) + T_{L/F} (x · \overline{y}) x, y ∈ Ŵ(L).

MULTIPLIKATIVE QUADRATISCHE NORM 28

Beweis. Die Abbildung

N_{L/F} : Ŵ^{+}(L) → Ŵ^{+}(F)
[b] ↦ [N_{L/F} (b)]

erfüllt nach Lemma 1.32 die Bedingungen aus Lemma 1.40 mit:

B(x, y) = T̃_{L/F} (x, y), x, y ∈ Ŵ^{+}(L)

Sie lässt sich somit eindeutig fortsetzen zu einer Abbildung

N̂_{L/F} : Ŵ(L) → Ŵ(F)

mit der Eigenschaft:

N̂_{L/F} (x + y) = N̂_{L/F} (x) + N̂_{L/F} (y) + T̂_{L/F} (x · \overline{y}) x, y ∈ Ŵ^{+}(L) □ 2.2. Grundlegende Eigenschaften der Norm.

Lemma 2.6. Die Normabbildung aus Satz 2.5 hat mit λ ∈ L^{∗}, μ ∈ K^{∗} und x, y ∈ Ŵ(L) folgende Eigenschaften:

(i) N_{L/F} (⟨λ⟩) = ⟨N_{L/F} (λ)⟩ (ii) N_{L/F} (⟨μ⟩) = ⟨μ^{2}⟩ (iii) N_{L/F} (x · y) = N_{L/F} (x) · N_{L/F} (y)

Beweis. (i) Es gilt:

N_{L/F} (⟨λ⟩) = (⟨λ⟩ ⊗ \overline{⟨λ⟩})_{|N_{L/F} (L)}
= (⟨λ⟩ ⊗ \overline{⟨λ⟩})_{|F ⊗F}
= (⟨λ\overline{λ}⟩)_{|F}
= (⟨N_{L/F} (λ)⟩)_{|F}

(ii) Dies folgt aus (i) und N_{L/F} (μ) = μ^{2}, μ ∈ F.

(iii) Nach Satz 1.33 erfüllt die Normabbildung die Eigenschaften von Korollar 1.41, womit die Behauptung folgt. □

Definition 2.7. Sei b eine reguläre symmetrische Bilinearform auf einem F -Modul V. Die Abbildung

b_{L}: V ⊗_{F} L × V ⊗_{F} L → L
(v ⊗ l, w ⊗ k) ↦ lb(v, w)k

ist eine reguläre symmetrische Bilinearform. Sei B die assoziierte Matrix von b bezüglich einer Basis ϱ = {e_{i}}_{i=1,...,dim_{F} (V)} von V, so gilt für die assoziierte Matrix B_{L} von b_{L} bezüglich der Basis ϱ_{L} = {e_{i} ⊗_{F} 1}_{i=1,...,dim_{L}(V ⊗_{F} L)} von V ⊗_{F} L:

B = B_{L}

Damit sieht man leicht, dass die Abbildung

res_{L/F} : Ŵ^{+}(F) → Ŵ(L)
[b] ↦ [b_{L}]

ein Semiringhomomorphismus ist, welcher sich nach Satz 1.34 zu einem Ringhomomorphismus

res_{L/F} : Ŵ(F) → Ŵ(L)

fotsetzt. Diesen bezeichnen wir als Restriktion. (Siehe hierzu auch [1, Seite 44,45].)

Lemma 2.8 (Projektionsformel). Sei x ∈ Ŵ(F) und y ∈ Ŵ(L), dann gilt:

T_{L/F} (res_{L/F} (x)y) = xT_{L/F} (y)

Im Spezialfall y = ⟨1⟩ ergibt sich somit

T_{L/F} (res_{L/F} (x)) = T_{L/F} (⟨1⟩)x = ⟨2⟩⟨⟨−a⟩⟩x.

Beweis. Siehe hierzu [1, Seite 48 Theorem 5.6] und Bemerkung 2.3. □

Satz 2.9. Sei x ∈ Ŵ(L) so gilt:

N_{L/F} (−x) = N_{L/F} (x) − dim(x)⟨2⟩[[a]]

Beweis. Mit Hilfe der bisher bekannten Regeln ergibt sich für x ∈ Ŵ(L)

0 = N_{L/F} (0) = N_{L/F} (x + (−x))
= N_{L/F} (x) + N_{L/F} (−x) + T_{L/F} (x\overline{(−x)})

Daraus ergibt sich folgende Formel für die Norm von −x:

N_{L/F} (−x) = T_{L/F} (x\overline{x}) − N_{L/F} (x)
= N_{L/F} (x) − (2N_{L/F} (x) − T_{L/F} (x\overline{x}))

Zunächst beweist man die Aussage für alle x ∈ Ŵ^{+}(L) durch vollständige Induktion über die Dimension.

Sei x = ⟨k⟩, k ∈ L^{∗}. Durch die obige Gleichung reicht es folgendes zu zeigen:

2N_{L/F} (⟨k⟩) − T_{L/F} (⟨k⟩\overline{⟨k⟩}) = dim(⟨k⟩)⟨2⟩[[a]]

Mit Hilfe der Projektionsformel (siehe Lemma 2.8) und der Eigenschaft

⟨k⟩\overline{⟨k⟩} = res_{L/F} (N_{L/F} (⟨k⟩)) = res_{L/F} (⟨N_{L/F} (k)⟩)

ergibt sich folgende Behauptung:

2⟨N_{L/F} (k)⟩ − ⟨2⟩⟨⟨−a⟩⟩⟨N_{L/F} (k)⟩ = ⟨2⟩[[a]]

Nach Bemerkung 1.59 (v) erhält man:

⟨2⟩[[a]]⟨N_{L/F} (k)⟩ = ⟨2⟩[[a]]

Dies wiederum gilt nach Bemerkung 1.59 (iv).

Bleibt der Induktionsschritt zu zeigen. Sei dazu x = ⟨a_{1}, …, a_{n−1}⟩. Angenommen, die Aussage gilt für alle Formen der Dimension kleiner n, so ergibt sich:

N_{L/F} (−x + (−⟨a_{n}⟩))

= N_{L/F} (−x) + N_{L/F} (−⟨a_{n}⟩) + T_{L/F} (x\overline{⟨a_{n}⟩})

= N_{L/F} (x) + N_{L/F} (⟨a_{n}⟩) − (n − 1)⟨2⟩[[a]] − 1⟨2⟩[[a]] + T_{L/F} (x\overline{⟨a_{n}⟩}) = N_{L/F} (x + ⟨a_{n}⟩) − n⟨2⟩[[a]]

Nun beweist man die Aussage für alle x = y − z ∈ Ŵ(L), y, z ∈ Ŵ^{+}(L) unter Benutzung des eben Gezeigten:

N_{L/F} (y − z) = N_{L/F} (y) − T_{L/F} (y · \overline{z}) + N_{L/F} (−z) = N_{L/F} (−y) + dim(y)⟨2⟩[[a]] − T_{L/F} (z · \overline{y}) + N_{L/F} (z) − dim(z)⟨2⟩[[a]] = N_{L/F} (z − y) − dim(z − y)⟨2⟩[[a]]

□

Satz 2.10. Für z ∈ Ŵ(F) gilt:

N_{L/F} (res_{L/F} (z)) = z^{2} − ⟨2⟩[[a]]λ^{2}(z)

Beweis. Angenommen die Behauptung stimmt für alle z ∈ Ŵ^{+}(F), so folgt für x−y ∈ Ŵ(F) mit x, y ∈ Ŵ^{+}(F) und dim(x) = n, dim(y) = m:

N_{L/F} (res_{L/F} (x − y))
= N_{L/F} (res_{L/F} (x)) + N_{L/F} (− res_{L/F} (y)) − T_{L/F} (res_{L/F} (xy))

Unter Anwendung von Satz 2.9 und der oben genannten Vorraussetzung erhält man:

x^{2} − ⟨2⟩[[a]]λ^{2}(x) + y^{2} − ⟨2⟩[[a]]λ^{2}(y) − ⟨2⟩[[a]]m − T_{L/F} (res_{L/F} (xy))

Man benutzt die Projektionsformel aus Lemma 2.8 und erhält:

x^{2} + y^{2} − ⟨2⟩⟨⟨−a⟩⟩xy − ⟨2⟩[[a]](λ^{2}(x) + m + λ^{2}(y))

Mit Hilfe von Bemerkung 1.59(v) und Lemma 1.69(vi) folgt dann die Behauptung.

Den Fall z ∈ Ŵ^{+}(F) beweist man durch vollständige Induktion über die Dimension dim(z) = n.

Der Induktionsanfang n = 1 folgt aus Lemma 2.6(ii) und Bemerkung 1.61(iii).

Sei die Aussage richtig für alle quadratischen Formen der Dimension kleiner n. Sei nun ⟨a_{1}, …, a_{n}⟩ ∈ Ŵ^{+}(F) und x = ⟨a_{1}, …, a_{n−1}⟩. Analog zu der eben geführten Gleichungskette folgt das Ergebnis durch:

N_{L/F} (res_{L/F} (x + ⟨a_{n}⟩))
= N_{L/F} (res_{L/F} (x)) + N_{L/F} (res_{L/F} ⟨a_{n}⟩) + T_{L/F} (res_{L/F} (x\overline{⟨a_{n}⟩})
= x^{2} − ⟨2⟩[[a]]λ^{2}(x) + ⟨a_{n+1}⟩^{2} + ⟨2⟩⟨⟨−a⟩⟩x⟨a_{n}⟩
= x^{2} + ⟨a_{n}⟩^{2} + ⟨2⟩⟨⟨−a⟩⟩x⟨a_{n}⟩ − ⟨2⟩[[a]](λ^{2}(x) + λ^{2}(⟨a_{n}⟩))
= x^{2} + ⟨a_{n}⟩^{2} + 2x⟨a_{n}⟩ − ⟨2⟩[[a]](λ^{2}(x) + λ^{2}(⟨a_{n}⟩) + x⟨a_{n}⟩)
= (x + ⟨a_{n}⟩)^{2} − ⟨2⟩[[a]]λ^{2}(x + ⟨a_{n}⟩)
□

Lemma 2.11. Seien x, y ∈ Ŵ^{+}(L) so gilt

T_{L/F} (x)T_{L/F} (y) = T_{L/F} (xy) + ⟨a⟩T_{L/F} (x\overline{y}).

Beweis. Unter Verwendung der Projektionsformel (siehe Lemma 2.8) erhält man

T_{L/F} (x)T_{L/F} (y) = T_{L/F} (x res_{L/F} (T_{L/F} (y))).

Aus Satz 1.33 folgt dann

T_{L/F} (x(y + \overline{y})) = T_{L/F} (xy) + T_{L/F} (x\overline{y}).

Wiederum mit der Projektionsformel und da res_{L/F} (⟨a⟩) = ⟨1⟩ (a ist ein Quadrat in L) ergibt sich schließlich

T_{L/F} (xy) + T_{L/F} (res_{L/F} (⟨a⟩)x\overline{y}) = T_{L/F} (xy) + ⟨a⟩T_{L/F} (x\overline{y}).
□

Satz 2.12. Sei x ∈ Ŵ(L), so gilt:

λ^{2}(T_{L/F} (x)) = T_{L/F} (λ^{2}(x)) + ⟨a⟩N_{L/F} (x)

Beweis. Zuerst zeigt man die Behauptung für x ∈ Ŵ^{+}(L). Dies geschieht durch vollständige Induktion über die Dimension dim(x) = n.

Betrachte zunächst den Induktionsanfang n = 1. Nach Lemma 2.3 (iii) gilt:

λ^{2}(T_{L/F} (⟨l⟩)) = λ^{2}(⟨T_{L/F} (l), aT_{L/F} (l)N_{L/F} (l)⟩)

Mit Hilfe von Beispiel 1.63 und Satz 1.58(i) erhält man:

λ^{2}(T_{L/F} (⟨l⟩)) = ⟨aN_{L/F} (l)⟩ = ⟨a⟩⟨N_{L/F} (l)⟩

Die Behauptung folgt schließlich aus Lemma 2.6(i) und Bemerkung 1.61(iii).

Sei nun x = ⟨a_{1}, …, a_{n}⟩ und y = ⟨a_{1}, …, a_{n−1}⟩. Nach Lemma 1.69 gilt:

λ^{2}(T_{L/F} (x)) = λ^{2}(T_{L/F} (y)) + λ^{2}(T_{L/F} (⟨a_{n}⟩)) + T_{L/F} (y)T_{L/F} (⟨a_{n}⟩)

Auf Grund der Induktionsvorraussetzung wird die Gleichungskette folgendermaßen weitergeführt:

T_{L/F} (λ^{2}(y)) + ⟨a⟩(N_{L/F} (y) + N_{L/F} (⟨a_{n}⟩) + T_{L/F} (y)T_{L/F} (⟨a_{n}⟩)

Man ergänzt die passenden Terme und erhält:

T_{L/F} (λ^{2}(x)) + ⟨a⟩(N_{L/F} (x))
− T_{L/F} (y⟨a_{n}⟩) − ⟨a⟩T_{L/F} (y\overline{⟨a_{n}⟩}) + T_{L/F} (y)T_{L/F} (⟨a_{n}⟩)

Nach Lemma 2.11 folgt dann direkt die Aussage.

Jetzt bleibt noch zu zeigen, dass die Aussage auch für ein beliebiges Element z = x − y ∈ Ŵ(L), x, y ∈ Ŵ^{+}(L) gilt. Mit Hilfe der Rechenregeln für λ^{2} (siehe Lemma 1.69) folgt:

λ^{2}(T_{L/F} (x − y))

= λ^{2}(T_{L/F} (x)) − T_{L/F} (x)T_{L/F} (y) + dim(T_{L/F} (y)) + λ^{2}(T_{L/F} (y))

Aus der im oberen Teil des Beweises bereits gezeigten Aussage erhält man:

λ^{2}(T_{L/F} (x − y)) = T_{L/F} (λ^{2}(x) + λ^{2}(y)) + ⟨a⟩(N_{L/F} (x) + N_{L/F} (y))
− T_{L/F} (x)T_{L/F} (y) + dim(T_{L/F} (y))

Da N_{L/F} (y) = N_{L/F} (−y) + dim(y)⟨2⟩[[a]] (vergleiche Satz 2.9) und wiederum aus den Rechenregeln für λ^{2} (vergleiche Lemma 1.69) erhält man:

λ^{2}(T_{L/F} (x − y)) = T_{L/F} (λ^{2}(x − y)) + ⟨a⟩N_{L/F} (x − y)
+ ⟨a⟩T_{L/F} (x\overline{y}) + T_{L/F} (xy) − T_{L/F} (x)T_{L/F} (y)
+ ⟨a⟩ dim(y)⟨2⟩[[a]] − T_{L/F} (dim(y)) + dim(T_{L/F} (y))

Nach Lemma 2.11 und der Projektionsformel (siehe Lemma 2.8) ergibt sich:

T_{L/F} (λ^{2}(x−y))+⟨a⟩N_{L/F} (x−y)+dim(y)(⟨2a⟩[[a]]−⟨2⟩⟨⟨−a⟩⟩+⟨1, 1⟩)

Die Behauptung folgt schließlich aus Bemerkung 1.59(v). □

2.3. Die Norm von hyperbolischen Formen und Pfisterformen.

Lemma 2.13. Es gilt:

N_{L/F} (n⟨⟨1⟩⟩) = n⟨2⟩[[a]] + 2n^{2}⟨⟨1⟩⟩, n ∈ ℤ

Beweis. Für n > 0 zeigt man die Aussage durch Induktion über n. Sei also n = 1, so gilt:

N_{L/F} (⟨1, −1⟩) = N_{L/F} (⟨1⟩) + N_{L/F} (⟨−1⟩) + T_{L/F} (⟨1⟩\overline{⟨−1⟩})
= ⟨1⟩ + ⟨1⟩ + T_{L/F} (⟨−1⟩)
= ⟨2, 2⟩ + ⟨−2⟩⟨⟨−a⟩⟩
= 2 − ⟨2⟩⟨⟨−a⟩⟩ + 2⟨⟨1⟩⟩
= ⟨2⟩[[a]] + 2⟨⟨1⟩⟩

Der Induktionsschritt folgt leicht durch:

N_{L/F} ((n + 1)⟨⟨1⟩⟩)
= N_{L/F} (n⟨⟨1⟩⟩) + N_{L/F} (⟨⟨1⟩⟩) + T_{L/F} (n⟨⟨1⟩⟩\overline{⟨⟨1⟩⟩})
= n⟨2⟩[[a]] + 2n^{2}⟨⟨1⟩⟩ + ⟨2⟩[[a]] + 2⟨⟨1⟩⟩ + T_{L/F} (2n⟨⟨1⟩⟩)
= (n + 1)⟨2⟩[[a]] + (2n^{2} + 2)⟨⟨1⟩⟩ + (4n)⟨⟨1⟩⟩
= (n + 1)⟨2⟩[[a]] + (2(n + 1)^{2})⟨⟨1⟩⟩

Der Fall n < 0 ergibt sich schließlich aus Satz 2.9 durch:

N_{L/F} (n⟨⟨1⟩⟩) = N_{L/F} (−n⟨⟨1⟩⟩) + 2n⟨2⟩[[a]]
= (−n)⟨2⟩[[a]] + 2(−n)^{2}⟨⟨1⟩⟩ + 2n⟨2⟩[[a]]
= n⟨2⟩[[a]] + 2n^{2}⟨⟨1⟩⟩
□

Bemerkung 2.14. Da die Norm hyperbolische Formen nicht in hyperbolische Formen überführt, lässt sie sich nicht als Abbildung von W (L) nach W (F) fortsetzen.

Definition 2.15. Man bezeichne mit η(k), k ∈ L das folgende Element aus Î(F) ⊂ Ŵ(F):

η(k) = \begin{cases}[[T_{L/F} (k), −aN_{L/F} (k)]] & falls T_{L/F} (k) ≠ 0 \\ 0 & sonst \end{cases}

Mit Hilfe der eben definierten Notation η(k) lässt sich die Norm von Pfisterformen leichter ausdrücken.

Satz 2.16. Für k, k_{i} ∈ L^{∗} gilt:

(i) N_{L/F} (⟨⟨k⟩⟩) = ⟨⟨a⟩⟩ + η(k) im Witt-Ring W (F).

(ii) N_{L/F} (⟨⟨k_{1}, …, k_{n}⟩⟩) = ⟨⟨a⟩⟩^{n} + (η(k_{1}) ⋯ η(k_{n})) im Witt-Ring

W (F). (iii) N_{L/F} ([[k]]) = [[2, a]] + η(k) im Grothendieck-Witt-Ring Ŵ(F).

(iv) N_{L/F} ([[k_{1}, …, k_{n}]]) = η(k_{1}) ⋯ η(k_{n}) für n > 1. Beweis. Die bisher bekannten Regeln für die Norm liefern die Ergebnisse wie folgt.

(i) Sei k ∈ L^{∗} und T_{L/F} (k) ≠ 0. Dann gilt:

N_{L/F} (⟨⟨k⟩⟩) = N_{L/F} (⟨1, −k⟩)
= N_{L/F} (⟨1⟩) + N_{L/F} (⟨−k⟩) + T_{L/F} (⟨1⟩\overline{⟨−k⟩})
= ⟨N_{L/F} (1)⟩ + ⟨N_{L/F} (k)⟩ + T_{L/F} (−k)

Nach Lemma 2.3 ergibt sich:

N_{L/F} (⟨⟨k⟩⟩)
= ⟨1⟩ + ⟨N_{L/F} (k)⟩ + ⟨T_{L/F} (−k)⟩⟨⟨−aN_{L/F} (k)⟩⟩
= ⟨1⟩ + ⟨N_{L/F} (k)⟩ + ⟨⟨T_{L/F} (k), −aN_{L/F} (k)⟩⟩ − ⟨⟨−aN_{L/F} (k)⟩⟩
= ⟨1⟩ + ⟨N_{L/F} (k)⟩ − ⟨1⟩ − ⟨aN_{L/F} (k)⟩ + η(k) + 2⟨⟨1⟩⟩
= ⟨N_{L/F} (k)⟩[[a]] + η(k) + 2⟨⟨1⟩⟩

Nach Bemerkung 1.59(iv) gilt ⟨N_{L/F} (k)⟩[[a]] = [[a]] und somit folgt die Aussage folgendermaßen:

N_{L/F} (⟨⟨k⟩⟩) = [[a]] + η(k) + 2⟨⟨1⟩⟩ = ⟨⟨a⟩⟩ + η(k) + ⟨⟨1⟩⟩

Vergleiche [5].

(ii) Die Behauptung ist erfüllt nach (i) und der Aussage aus Bemerkung 1.59(iv).

(iii) Sei k ∈ L^{∗} und T_{L/F} (k) ≠ 0. Dann gilt:

N_{L/F} ([[k]]) = N_{L/F} (⟨⟨k⟩⟩ − ⟨⟨1⟩⟩)
= N_{L/F} (⟨⟨k⟩⟩) + N_{L/F} (−⟨⟨1⟩⟩) + T_{L/F} (⟨⟨k⟩⟩(−⟨⟨1⟩⟩))

T_{L/F} (⟨⟨k⟩⟩(−⟨⟨1⟩⟩)) ist hyperbolisch, und somit erhält man unter Verwendung von Satz 2.9:

N_{L/F} ([[k]]) = N_{L/F} (⟨⟨k⟩⟩) + N_{L/F} (⟨⟨1⟩⟩) − 2⟨2⟩[[a]] − 4⟨⟨1⟩⟩

Mit den Ergebnissen aus (i) und Lemma 2.13 folgt dann:

N_{L/F} ([[k]]) = η(k) + ⟨⟨a⟩⟩ + ⟨⟨1⟩⟩ + ⟨2⟩[[a]] + 2⟨⟨1⟩⟩ − 2⟨2⟩[[a]] − 4⟨⟨1⟩⟩
= η(k) + ⟨⟨a⟩⟩ − ⟨2⟩[[a]] − ⟨⟨1⟩⟩
= η(k) + [[a]] − ⟨2⟩[[a]]
= η(k) + [[2, a]]

(iv) Die letzte Gleichung folgt aus der vorherigen, sowie Bemerkung 1.59(i) und Lemma 2.6(ii) durch:

N_{L/F} ([[k_{1}, …, k_{n}]]) = N_{L/F} ([[k_{1}]] ⋯ [[k_{n}]])
= N_{L/F} ([[k_{1}]]) ⋯ N_{L/F} ([[k_{n}]])
= ([[2, a]] + η(k_{1})) ⋯ ([[2, a]] + η(k_{n}))
= [[2, a]]^{n} + η(k_{1}) ⋯ η(k_{n})

MULTIPLIKATIVE QUADRATISCHE NORM 36

und der Eigenschaft:

[[2]][[2]] = ⟨⟨2, 2⟩⟩ − ⟨1, −1⟩^{2}
= ⟨1, −2, −2, 1⟩ − ⟨1, 1, −1, −1⟩
= 0.
□

Korollar 2.17. Sei x ∈ Ŵ(L) eine n-fache Pfisterform. Dann ist

N_{L/F} (x) − [[a]]^{n} ∈ Ŵ(F)

eine 2n-fache Pfisterform (vergleiche [5]). Korollar 2.18. Sei x ∈ Ŵ(L) eine normalisierte n-fache Pfisterform. Ist n ≥ 2 so ist

N_{L/F} (x) ∈ Ŵ(F)

eine normalisierte 2n-fache Pfisterform.

3. Anhang

Die folgenden Rechnungen gelten für eine Halbgruppe M mit neutralem Element 0. Für unsere einzige Anwendung M = Ŵ^{+}(F) ist diese Annahme erfüllt. Für eine beliebige Halbgruppe M erweitert man gegebenenfalls M durch Hinzunahme eines neutralen Elements.

Nebenrechnung 3.1. Man definiere eine Äquivalenzrelation auf M × M folgendermaßen:

(a, b) ∼ (a′, b′) ⇔ ∃c ∈ M mit a + b′ + c = a′ + b + c

Man schreibe die Äquivalenzklasse von (a, b) mit [a, b] und die Menge der Äquivalenzklassen mit M̂. Man definiere eine Addition auf M̂ durch:

[a, b] + [a′, b′] = [a + a′, b + b′]

Diese ist wohldefiniert, assoziativ und kommutativ. Bezüglich dieser Addition besitzt M̂ das neutrale Element 0 = [a, a], a ∈ M beliebig, und zu jedem Element [a, b] ein Inverses [b, a]. Damit bildet M̂ eine abelsche Gruppe. Die Abbildung

i: M → M̂
a ↦ [a, 0]

ist ein Halbgruppenhomomorphismus. Bleibt die universelle Eigenschaft zu zeigen. Da [a, b] = [a, 0]−[b, 0], erzeugt das Bild von i gerade M̂. Sei nun G eine abelsche Gruppe, und f: M → G ein Halbgruppenhomomorphismus, so ist die Abbildung f′([a, b]) = f(a) − f(b) ein Gruppenhomomorphismus mit der Eigenschaft f = f′ ∘ i. Dieser ist eindeutig bestimmt da M̂ von i(M) erzeugt wird. Des weiteren ist leicht nachzurechnen, dass M̂ bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt ist.

Nebenrechnung 3.2. Für [a, b] = [a′, b′] (a + b′ = a′ + b) gilt:

Q̂([a, b]) − Q̂([a′, b′])
= Q(a) − Q(b) + B(b, b) − B(a, b)
− (Q(a′) − Q(b′) + B(b′, b′) − B(a′, b′))
= Q(a) + Q(b′) + B(b, b) + B(a′, b′)
− Q(a′) − Q(b) − B(b′, b′) − B(a, b)
= Q(a + b′) + B(a′, b) + B(b, b) + B(a′, b′)
− Q(a′ + b) − B(a, b′) − B(b′, b′) − B(a, b)
= B(a′ + b, b) + B(a′, b′) − B(a + b′, b′) − B(a, b)
= B(a + b′, b) + B(a′, b′) − B(a′ + b, b′) − B(a, b)
= B(b′, b) − B(b, b′) = 0

Nebenrechnung 3.3. Für a ∈ M gilt:

Q̂(i(a)) = Q̂([a, 0]) = Q(a) − Q(0) + B(0, 0) − B(a, 0) = Q(a)

Für [a, b], [c, d] ∈ M̂ gilt:

Q̂([a, b] + [c, d])
= Q̂([a + c, b + d])
= Q(a + c) − Q(b + d) + B(b + d, b + d) − B(a + c, b + d)
= Q(a) + Q(c) + B(a, c) − Q(b) − Q(d) − B(b, d)
+ B(b, b) + B(b, d) + B(d, b) + B(d, d)
− B(a, b) − B(a, d) − B(c, b) − B(c, d)
= Q(a) − Q(b) + B(b, b) − B(a, b)
+ Q(c) − Q(d) + B(d, d) − B(c, d)
+ B(d, b) + B(a, c) − B(a, d) − B(c, b)
= Q̂([a, b]) + Q̂([c, d]) + B̂([a, b], [c, d])

Bemerkung 3.4. Mit den Voraussetzungen aus Korollar 1.41 gelten folgende Rechenregeln:

(i) B(a, b) · B(c, d) = B(ac, bd) + B(bc, ad)

(ii) Q(a) · B(b, c) = B(ab, ac)

Beweis. Die Gleichungen werden mit Hilfe der Eigenschaften der Abbildungen einfach nachgerechnet.

(i)

B(a, b) · B(c, d)
= (Q(a + b) − Q(a) − Q(b))(Q(c + d) − Q(c) − Q(d))
= Q((a + b)c + (a + b)d) − Q((a + b)c) − Q((a + b)d)
− Q(ac + ad) + Q(ac) + Q(ad)
− Q(bc + bc) + Q(bc) + Q(bd)
= B(ac + bc, ad + bd) − B(ac, ad) − B(bc, bd)
= B(ac, bd) + B(bc, ad)

(ii)

Q(a) · B(b, c) = Q(a)(Q(b + c) − Q(b) − Q(c))
= Q(ab + ac) − Q(ab) − Q(ac) = B(ab, ac)
□

Nebenrechnung 3.5. Unter Verwendung der Rechenregeln aus Bemerkung 3.4 rechnet man folgendermaßen:

Q̂([a, b]) · Q̂([c, d]) = (Q(a) − Q(b) + B(b, b) − B(a, b))(Q(c) − Q(d) + B(d, d) − B(c, d)) = Q(ac) − Q(ad) + Q(a)B(d, d) − Q(a)B(c, d)

− Q(bc) + Q(bd) − Q(b)B(d, d) + Q(b)B(c, d) + Q(c)B(b, b) − Q(d)B(b, b) + B(b, b)B(d, d) − B(b, b)B(c, d) − Q(c)B(a, b) + Q(d)B(a, b) − B(a, b)B(d, d) + B(a, b)B(c, d)

= Q(ac) − Q(ad) + Q(bd) − Q(bc)

− B(ac, ad) + B(ad, ad) − B(bd, bd) + B(bc, bd) + B(cb, cb) − B(db, db) + B(b, b)B(d, d) − B(b, b)B(c, d) − B(ac, bc) + B(ad, bd) − B(a, b)B(d, d) + B(a, b)B(c, d)

= Q(ac) − Q(ad) + Q(bd) − Q(bc)

− B(ac, ad) + B(ad, ad) − B(bd, bd) + B(bc, bd) + B(cb, cb) − B(db, db) + B(bd, bd) + B(bd, bd) − B(bc, bd) − B(bc, bd) − B(ac, bc) + B(ad, bd) − B(ad, bd) − B(bd, ad) + B(ac, bd) + B(bc, ad)

= Q(ac) − Q(ad) + Q(bd) − Q(bc)

− B(ac, ad) + B(ad, ad) + B(cb, cb) − B(bc, bd) − B(ac, bc) − B(bd, ad) + B(ac, bd) + B(bc, ad) + B(ad, bc) − B(ad, bc)

= Q(ac) + Q(bd) + B(ac, bd)

− Q(ad) − Q(bc) − B(ad, bc) + B(ad, ad) + B(ad, bc) + B(bc, ad) + B(cb, cb) − B(ac, ad) − B(ac, bc) − B(bd, ad) − B(bc, bd)

= Q(ac + bd) − Q(ad + bc)

+ B(ad + bc, ad + bc) − B(ac + bd, ad + bc)

= Q̂([ac + bd, ad + bc])

= Q̂([a, b] · [c, d])

Literatur

[1] W. Scharlau, Quadratic and Hermitian forms, Springer, 1985.

[2] , Quadratic forms, Queen’s papers in pure and apllied mathematics 22 (1969).

[3] M. Rost, Scratches on multiplicative transfer, 2001.

[4] , On the Galois cohomology of Spin(14), preprint, 1999,2006.

[5] , A Pfister form invariant for etale algebras, preprint, 2002.

[6] T.Y. Lam, The algebraic theory of quadratic forms, W.A.Benjamin Inc., 1973.

[7] D. Husemoller and J. Milnor, Symmetric bilinear forms, Springer, 1973.

[8] S. McGarraghy, Exterior powers of symmetric bilinear forms, preprint, Linear Algebraic Groups and Related Structures, http://www.mathematik.unibielefeld.de/lag/, 2001.

[9] S. Garibaldi, A. Merkujev, and J.-P. Serre, Cohomological Invariants in Galois Cohomology, University Lecture Series 28 (2003).