Algebra I SS 2001

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1. Symmetrische Gruppen

1. Bestimme alle Untergruppen der symmetrischen Gruppe S_{4}. Zeichne den entsprechenden Untergruppen-Verband.

2. (a) Die Gruppe S_{n} wird von den Elementen (1, 2), (2, 3), …, (n − 1, n) erzeugt.

(b) Die Gruppe S_{n} wird von den Elementen (1, 2) und (2, 3, … n) erzeugt.

3. (a) Die Partition der Zykellängen von σ ∈ S_{n} sei (λ_{1}, …, λ_{t}). Man zeige: Genau dann gehört σ zur A_{n}, wenn t ≡ n mod 2 gilt.

(b) Bestimme die Ordnungen der Elemente der Gruppe A_{20}.

4. (a) Man beschreibe alle Elemente von Primzahlordnung in der S_{n}. Wieviele Elemente der Ordnung 3 gibt es in der S_{10} ?

(b) Sei σ ein n-Zykel in der S_{n}. Man bestimme alle Elemente τ ∈ S_{n} mit σ · τ = τ · σ.

Übungszettel mit meist 4 Übungsaufgaben werden in der Donnerstagsvorlesung verteilt. Es sollten immer alle Aufgaben bearbeitet werden. Die Aufgaben sind selbständig zu lösen. Bitte schreiben Sie Ihre Lösungen kurz und prägnant, aber mit vollständigen Zwischentexten, leserlich auf DIN A4-Blätter. Die Aufgaben können in Zweiergruppen bearbeitet und abgegeben werden. Pro Zweiergruppe soll für jede Aufgabe nur eine Lösung abgegeben werden, dabei muß beim Aufschreiben der Lösungen abgewechselt werden. Sofern auf dem Lösungszettel nichts anderes vermerkt ist, wird davon ausgegangen, daß jeder der Beteiligten mit jeder der notierten Lösungen vertraut ist und bereit ist, diese vorzuführen. Abgabe spätestens am folgenden Donnerstag, 10:10 Uhr ins Postfach des Übungsleiters (Karsten Schmidt). Die Lösungen werden in den Übungsstunden der darauffolgenden Woche besprochen. Für jede vollständig gelöste Aufgabe gibt es 4 Punkte. Für einen Übungsschein (zur Bescheinigung der erfolgreichen Teilnahme) sind 50% der Punkte erforderlich. Wer zuwenige Punkte haben sollte, kann eine mündliche Prüfung über den Stoff der Vorlesung und der Übungen ablegen.

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Routine-Übungen.

A. Symmetrische Gruppen

1. Betrachte folgenden Würfel

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Wie lautet die Zykelbeschreibung folgender Permutationen der Eckenmenge {1, 2, …, 8}?

a) Spiegelung an der zu \overline{14} senkrechten Ebene.

b) Spiegelung an der Ebene, die durch die Ecken 1, 2, 3, 4 geht.

c) Drehung um 120^{∘} um die Achse durch 1 und 7.

d) Drehung um 180^{∘}, die Drehachse gehe durch den Mittelpunkt der Strecke \overline{5}6.

e) Drehung um 90^{∘}, die Drehachse gehe durch den Mittelpunkt des Quadrats mit den Ecken 1, 2, 5, 6.

2. (a) Berechne alle Potenzen der Permutation (12345)(67)

(insgesamt sollte man 10 Elemente erhalten. Warum?)

(b) Sei σ eine Permutation mit Partition (λ_{1}, …, λ_{m}). Dann ist die Ordnung von σ gerade das k.g.V. der Zahlen λ_{1}, …, λ_{t}.

3. Man berechne eine Zykelbeschreibung von (1, 2, 3) ∘ (1, 7, 6, 5) ∘ (1, 3, 5, 7) ∘ (1, 2) ∘ (1, 7)

(in der S_{8}). B. Beispiele von Gruppen und Untergruppen

(1) Bestimme alle Untergruppen von (ℤ, +).

(2) Betrachte die Symmetriegruppe eines regelmäßigen n-Ecks. Ist n eine Primzahl, so geben man alle Untergruppen an.

(3) Sei n ∈ ℕ_{1}. Die komplexen Zahlen der Form e^{\frac{2πia}{n}}, mit a ∈ ℤ heißen (n-te) Einheitswurzeln. Sei E_{n} die Menge der n-ten Einheitswurzeln. Zeige

(a) Die Menge E_{n} ist bezüglich der Multiplikation komplexer Zahlen eine zyklische Gruppe der Ordnung n.

(b) Es gilt genau dann E_{n} ⊆ E_{m}, wenn n ein Teiler von m ist.

(c) Bestimme alle Untergruppen von

E_{5}, E_{25}, E_{125}, E_{1000}, E_{30}.

Zeichne die entsprechenden Untergruppen-Verbände.

C. Grundsätzliches

(1) Seien U, V Untergruppen einer Gruppe. Zeige: U ∩ V ist eine Untergruppe von G.

(2) Sei eine Familie U_{i} von Untergruppen von G (mit i ∈ I) gegeben. Zeige: ⋂_{i∈I} U_{i} ist eine Untergruppe von G.

(3) Folgerung: Ist S eine Teilmenge einer Gruppen, so gibt es eine eindeutig bestimmte kleinste Untergruppe von G, die S enthält, nämlich den Durchschnitt aller Untergruppen von G, die S enthalten. (Man nennt diese Untergruppe die von S erzeugte Untergruppe.)

D. Konstruktion: Direktes Produkt

Seien G, H Gruppen. Sei G × H die Menge der Paare (g, h) mit g ∈ G, h ∈ H, mit folgender Multiplikation:

(g_{1}, h_{1})(g_{2}, h_{2}) = (g_{1}g_{2}, h_{1}h_{2}).

(1) Zeige: G × H ist wieder eine Gruppe.

(2) Bestimme alle Untergruppen von

C_{2} × C_{3}, C_{2} × C_{5}, C_{3} × C_{7},
C_{2} × C_{2}, C_{3} × C_{3},
C_{2} × C_{2} × C_{2}.

Zeige dabei: Die ersten drei Gruppen sind zyklisch, die übrigen nicht.

E. Beweise

(1) Zeige: Hat jedes Element einer Gruppe Ordnung 1 oder 2, so ist die Gruppe kommutativ.

(2) Ist N ein Normalteiler einer Gruppe und gilt |N| = 2, so liegt N im Zentrum.

(3) Ist U eine Untergruppe einer Gruppe G und gilt G : H = 2, so ist U ein Normalteiler.

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2. Untergruppen, Nebenklassen. Diesmal 5 Aufgaben.

5. Noch einmal die Aufgabe 1: Bestimme alle Untergruppen des symmetrischen Gruppe S_{4}. Diesmal mit Anleitung (siehe Rückseite); es sollen also der Anleitung folgend die Details des Beweises notiert werden.

6. Sei ϕ: G → H ein Gruppen-Homomorphismus mit Kern N und Bild B. Sei U eine Untergruppe von G, sei V eine Untergruppe von H. Zeige:

ϕ^{−1}ϕ(U) = UN und ϕϕ^{−1}(V) = V ∩ B.

Folgere daraus, daß ϕ eine Bijektion zwischen einerseits den Untergruppen von G, die N enthalten, und andererseits den Untergruppen von B liefert.

7. Sei G eine Gruppe.

(a) Seien U ⊆ V ⊆ G Untergruppen von G mit endlichem Index. Zeige:

[G : U] = [G : V] · [V : U].

(b) Seien U_{1}, U_{2} Untergruppen von G mit endlichem Index. Man zeige, daß auch U_{1} ∩ U_{2} endlichen Index hat, und daß gilt

[G : U_{1} ∩ U_{2}] ≤ [G : U_{1}] · [G : U_{2}].

Anleitung: Sei U_{i} die Menge der Linksnebenklassen von G nach U_{i} und U die Menge der Linksnebenklassen von G nach U_{1} ∩ U_{2}. Zeige: Durch g(U_{1} ∩ U_{2}) ↦ (gU_{1}, gU_{2}) erhält man eine injektive Abbildung U → U_{1} × U_{2} (zu zeigen ist vor allem auch, daß diese Zuordnung wohldefiniert ist).

(c) Folgere aus (a) und (b) daß gilt: Sing U_{1}, U_{2} Untergruppen von G mit endlichem Index und sind die Indizes [G : U_{1}] und [G : U_{2}] teilerfremd, so gilt

[G : U_{1} ∩ U_{2}] = [G : U_{1}] · [G : U_{2}].

8. Sei U eine Untergruppe von G mit Index n. Zeige: Es gibt einen Normalteiler N in G mit endlichem Index, der in U enthalten ist.

Anleitung: Sei U die Menge der Linksnebenklassen von U in G. Nach Voraussetzung ist dies eine Menge der Kardinalität n und die Linksmultiplikation mit einem Element g ∈ G permutiert diese Linksnebenklassen, liefert also eine Permutation in S_{U} = S_{n}. Auf diese Weise erhalten wir einen Gruppen-Homomorphismus G → S_{n}, dessen Kern in U enthalten ist ….

9. (a) Seien U, V Untergruppen der Gruppe G. Zeige: Genau dann ist UV = {uv | u ∈ U, v ∈ V } eine Untergruppe von G, wenn UV = V U gilt.

(b) Man gebe Beispiele von Untergruppen U, V einer Gruppe G an, für die UV keine Untergruppe ist.

Anleitung zur Konstruktion des Untergruppen-Verbands der S_{4}.

1. Als bekannt werde vorausgesetzt: der Untergruppenverband der A_{4} und alle zyklischen Untergruppen der S_{4}, also das folgende Bild:

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2. (a) Betrachte das Erzeugnis von (1234) und (13), dies liefert eine Diedergruppe D_{4}, hier bezeichnet als P′. (Analog erhält man zwei weitere Diedergruppen P und P′′.)

(b) Bezeichne mit G_{4} den Stabilisator von 4 in G, also die Untergruppe aller g ∈ G mit g(4) = 4. Diese Untergruppe G_{4} ist gerade die Permutationsgruppe auf der Menge {1, 2, 3}, also eine S_{3}. (Analog erhält man drei weitere Untergruppen G_{1}, G_{2}, G_{3}.)

•_{•}_{(12)(34)}  _{•}_{(13)(24)}  _{•}_{(14)(24)}^{•}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{(1234)}^{(1432)}  ^{•}^{P′}  •_{(1)} ^{•}^{W′}_{•}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{(13)}  _{•}_{(24)} •^{V}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.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Damit hat man schon alle Untergruppen konstruiert (aber das ist erst noch zu zeigen)!

3. Sei also U eine Untergruppe von G. Wir können annehmen: U ⊈ A_{4}. Fall 1: Es enthalte U einen 4-Zykel, obdA: (1234) ∈ U. Zeige: Entweder gilt U ⊆ P′ oder aber U = G. Fall 2: Es enthalte U keinen 4-Zykel. Dann enthält U eine Transposition, etwa (12) ∈ U. Zeige: Endweder U ⊆ G_{3} oder U ⊆ G_{4} oder U = G.

http://www.mathematik.uni-bielefeld.de/birep/alg/

3. Untergruppen. Wieder 5 Aufgaben.

10. Noch einmal Aufgabe 1. Wie wir wissen ist die Drehgruppe des Würfels isomorph zu S_{4}. Man suche nach Beschriftungen des Untergruppenverbands der S_{4}, die sich nur auf den Würfel beziehen. Zu ändern sind also die dort notierten Bezeichungen der Elemente und der Untergruppen. Zur Standartisierung bezeichnen wir die Ecken des Würfels wie folgt:

._{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}_{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  _{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}_{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} a  b c d e  f g h

und nummerieren die Raumdiagonalen (oder Eckenpaare) auf folgende Weise:

1 = {a, g}, 2 = {b, h}, 3 = {c, e}, 4 = {d, f}.

Zu untersuchen ist also: Welche Sorte von Drehung entspricht welchem Zykeltyp? Und: Wie lassen sich die 30 Untergruppen geometrisch interpretieren?

11. Sei p eine Primzahl. Sei k ein Körper mit p Elementen. Zeige:

(a) Die Menge P der unipotenten oberen Dreiecksmatrizen ist eine p-Untergruppe von G = GL(n, k) und p ist kein Teiler von [G : P].

(b) Ebenso ist die Menge P′ der unipotenten unteren Dreiecksmatrizen eine p-Untergruppe.

(c) Man gebe ein Element g ∈ GL(n, k) mit gP g^{−1} = P′ an.

12. Sei p eine Primzahl, sei p ≤ n ≤ 2p − 1.

(a) Zeige: p teilt n!, aber p^{2} teilt nicht n!.

(b) Bestimme die Anzahl a der Untergruppen der Ordnung p. Zeige, daß gilt a ist ein Teiler von n! und a ≡ 1 mod p.

13. Sei X ein platonischer Körper (also ein Tetraeder, Würfel, Oktaeder, Dodekaeder oder Ikosaeder). Sei G_{X} die volle Symmetriegruppe (aller Drehungen und Spiegelungen) und H_{X} die Drehgruppe von X. Bestimme jeweils die Ordnung von G_{X} und H_{X} (wenn möglich auf verschiedene Weisen).

14. Sei n ∈ ℕ_{1}. Die komplexen Zahlen der Form e^{\frac{2πia}{n}}, mit a ∈ ℤ heißen (n-te) Einheitswurzeln. Sei E_{n} die Menge der n-ten Einheitswurzeln.

(a) Zeige, daß E_{n} bezüglich der Multiplikation komplexer Zahlen eine zyklische Gruppe der Ordnung n.

(b) Bestimme alle Untergruppen von E_{5}, E_{25}, E_{125}, E_{10 000}, E_{30}, E_{1155}. Zeichne die entsprechenden Untergruppen-Verbände.

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4. Gruppen-Operationen

15. Eine Gruppe G der Ordnung 55 operiere auf einer Menge mit 19 Elementen. Man zeige, daß es mindestens 3 Fixpunkte gibt.

16. Sei G eine p-Gruppe. Zeige: Ein Normalteiler N von G der Ordnung p liegt immer im Zentrum.

(Hinweis: G operiert auf N vermöge Konjugation. Betrachte die möglichen Bahnenlängen.)

17. Zeige: Eine Gruppe der Ordnung 123 456 ist nicht einfach.

18. Sei |G| = pq, mit Primzahlen p < q. Zeige:

(a) G hat genau eine q-Sylowgruppe.

(b) Hat G nicht nur eine p-Sylowgruppe, so ist q = 1 + kp mit k > 0.

Zusatz: Es folgt also, daß die Ordnung einer einfachen nicht-abelschen Gruppe weder eine Primzahlpotenz noch von der Form pq mit Primzahlen p, q sein kann. Welche Zahlen 1 ≤ n ≤ 59 sind weder Primzahlpotenzen noch von der Form pq mit Primzahlen p, q?

19. Zeige: Es gibt genau zwei Isomorphieklassen von Gruppen der Ordnung p^{2}, nämlich die der Gruppe C_{p^{2}} und die der Gruppe C_{p} × C_{p}.

Übungsscheine (= Leistungsnachweise). Für den Erhalt eines Scheins sind mindestens 50 % der erreichbaren Punkte erforderlich. Dabei wird erwartet, daß auch nach Erreichen dieser Punktzahl weiterhin Lösungen der Übungsaufgaben abgegeben werden und in den Übungsgruppen mitgearbeitet wird. Für Lehramtsstudenten gibt es auf Wunsch auch sogenannte qualifizierte Studiennachweise, dafür sind (neben der aktiven Teilnahme an den Übungsgruppen) mindestens 35 % der erreichbaren Punkte erforderlich.

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Noch einmal: 19. Zeige: Es gibt genau zwei Isomorphieklassen von Gruppen der Ordnung p^{2}, nämlich die der Gruppe C_{p^{2}} und die der Gruppe C_{p} × C_{p}.

Es darf folgendes Lemma verwendet werden: Sind U, V zwei Normalteiler einer Gruppe G mit UV = G und U ∩ V = {1}, so ist G isomorph zu U × V (siehe Leitfaden, p.17).

5. Körper

20. Sei K ein Körper. Zeige: K besitzt einen kleinsten Unterkörper K_{0}. Ist n · 1_{K} ≠ 0 für alle natürlichen Zahlen n ≥ 1, so ist K_{0} zu ℚ isomorph. Gibt es eine natürliche Zahl n ≥ 1 mit n · 1_{K} = 0, so ist die kleinste derartige Zahl eine Primzahl p, und K_{0} hat genau p Elemente, nämlich die Elemente t · 1_{K} mit 0 ≤ t < p.

21. Bestimme den kleinsten Unterkörper K von ℝ, der die beiden Zahlen \sqrt{2}, \sqrt{3} enthält. Bestimme die Dimension von K als ℚ-Vektorraum.

Hinweis: K enthält natürlich ℚ, und auch alle ℚ-Vielfache von \sqrt{2} und von \sqrt{3}, also alle Linearkombinationen c_{0} + c_{1}\sqrt{2} + c_{3}\sqrt{3} mit c_{0}, c_{1}, c_{2} ∈ ℚ. Ist die Menge dieser Elemente unter Multiplikation abgeschlossen? Nein, also muß man weitere Elemente betrachten …. Sobald man eine elementweise Beschreibung von K gefunden hat, geht es darum, eine Basis zu bestimmen: insbesondere ist zu zeigen, daß gewisse Elemente (wie 1, \sqrt{2}, \sqrt{3}, …) linear unabhängig sind.

22. Bestimme die Minimalpolynome der folgenden komplexen Zahlen über ℚ

\sqrt{2 + \sqrt[3]{2}},  \sqrt{3} + \sqrt[5]{3},  \sqrt[3]{2} + i\sqrt[5]{2}.

23. Seien p ≠ q Primzahlen. Sei L der kleinste Unterkörper von ℝ, der die Zahlen \sqrt{p} und \sqrt[3]{q} enthält. Zeige: L wird vom Element \sqrt{p} · \sqrt[3]{q} erzeugt und hat Grad 6 über ℚ.

6. Kreisteilungspolynome und Körpererweiterungen

Betrachte die folgende n-te Einheitswurzel ζ_{n} = e^{\frac{2πi}{n}} in ℂ und ihre Potenten ζ_{n}^{t} mit 1 ≤ t ≤ n. Setze Φ_{n}(X) = ∏_{1≤t≤n,(t,n)=1}(X − ζ_{n}^{t}), man nennt Φ_{n} das n-te Kreisteilungspolynom.

24. Zeige:

(a) X^{n} − 1 = ∏_{1≤t≤n}(X − ζ_{n}^{t})

(b) X^{n} − 1 = ∏_{d|n} Φ_{d}(X) (dabei soll das Produkt über alle natürlichen Zahlen d gebildet werden, die n teilen).

(c) Es ist Φ_{n}(X) ∈ ℚ[X]. (Verwende (b) und Induktion).

25. Zeige:

(a) Ist p eine Primzahl, so ist Φ_{p} = X^{p−1} + ⋯ + X + 1.

(b) Bestimme die Kreisteilungspolynome Φ_{n} für 1 ≤ n ≤ 30.

26. Sei K ⊂ L eine Körpererweiterung vom Grad 2. Zeige:

(a) Es braucht in L kein Element α mit L = K(α) und α^{2} ∈ K zu geben. (Betrachte zum Beispiel:

K = 𝔽_{2} und L = K[X]/(X^{2} + X + 1).)

(b) Ist die Charakteristik von K nicht 2, so gibt es ein Element α ∈ L mit L = K(α) und α^{2} ∈ K.

27. Bestimme in K = ℚ(\sqrt{2}, i) alle Elemente α mit α^{2} ∈ ℚ. Wie sehen demnach die Unterkörper von K aus?

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7. Körpererweiterungen

28. Zeige: Ist ℚ ⊂ L eine Körpererweiterung vom Grad 2, so ist L = ℚ[α] mit α^{2} = −1 oder α^{2} = p_{1} ⋯ p_{t} oder α^{2} = −p_{1} ⋯ p_{t}, und dabei sind p_{1}, … p_{t} paarweiese verschiedenen Primzahlen und es ist t ≥ 1.

29. Sei ζ eine primitive n-te Einheitswurzel in ℂ mit n ≥ 3. Zeige

[ℚ[ζ] : ℚ[ζ + ζ^{−1}]] = 2

auf folgende Weise:

(a) Es ist ℚ[ζ + ζ^{−1}] ein echter Unterkörper von ℚ[ζ]. Und

(b) ζ ist eine Nullstelle von T^{2} − (ζ + ζ^{−1})T + 1.

30. Sei nun ζ eine primitive 5-te Einheitswurzel in ℂ. Zeige, daß X^{2} + X + 1 das Minimalpolynom von ζ + ζ^{−1} über ℚ ist. Bestimme auf diese Weise [ℚ[ζ] : ℚ].

31. Sei K ⊆ L eine Körpererweiterung. Das Polynom f ∈ K[X] zerfalle über L in Linearfaktoren, etwa

f = (T − α_{1}) ⋯ (T − α_{n}).

(a) Zeige: K[α_{1}, …, α_{n−1}] ist ein Zerfällungskörper von f.

(b) Man gebe ein Beispiel mit n ≥ 3 an, daß K[α_{1}, …, α_{n−2}] kein Zerfällungskörper von f ist.

32. Sei K ⊆ K[α] eine Körpererweiterung, das Minimalpolynom von α über K sei von der Form f = T^{n} − a mit a ∈ K. Zeige: Genau dann zerfällt f in K[α] in Linearfaktoren, wenn K alle n-ten Einheitswurzeln enthält (d.h.: wenn T^{n} − 1 in K in Linearfaktoren zerfällt).

8. Polynome, Körpererweiterungen

33. Seien a, b ∈ ℚ. Betrachte das Polynom f = X^{3} + aX + b ∈ ℚ[X]. Seien α_{1}, α_{2}, α_{3} die Wurzeln von f. Zeige, daß gilt

(α_{1} − α_{2})^{2}(α_{1} − α_{3})^{2}(α_{2} − α_{3})^{2} = −4a^{3} − 27b^{2}.

(Hinweis: Wegen f = (X − α_{1})(X − α_{2})(X − α_{3}) läßt sich ein Koeffizientenvergleich durchführen.

34. Folgere aus dem Ergebnis der Aufgabe 33: Genau dann hat der Zerfällungskörper von f Grad 3 über ℚ, wenn f irreduzibel und −4a^{3} − 27b^{2} ein Quadrat in ℚ ist.

35. Sei K ein Körper, K[T] der Polynomring in einer Variablen. Für f = ∑_{i=0}^{n} c_{i}T^{i} definiert man f′ = ∑_{i=1}^{n} ic_{i}T^{i−1} und nennt dies die Ableitung von f.

(a) Zeige: Sind f, g ∈ K[T], so gilt (fg)′ = f′g + fg′.

(b) Folgere daraus: Sind f, g ∈ K[T] und ist g^{t} mit t ∈ ℕ_{1} ein Teiler von f, so ist g^{t−1} ein Teiler von f′. Insbesondere gilt: Hat f eine doppelte Nullstelle α, so ist α Nullstelle von f′.

36. (a) Zeige: Jede Körpererweiterung von Grad 2 ist normal.

(b) Zeige: ℚ ⊂ ℚ[\sqrt[4]{2}] ist nicht normal.

(c) Gibt es Körpererweiterungen K_{1} ⊂ K_{2} ⊂ K_{3} mit K_{1} ⊂ K_{2} normal, K_{2} ⊂ K_{3} normal, aber K_{1} ⊂ K_{3} nicht normal?

37. Sei K ein Körper der Charakteristik p, dabei sei p eine Primzahl. Sei a ∈ K. Betrachte das Polynom f = T^{p} − T − a. Zeige:

(a) Ist α eine Nullstelle von f in einem Oberkörper von K, so ist auch α + 1 eine Nullstelle.

(b) f ist separabel.

(c) Besitzt f keine Nullstelle in K, so ist f irreduzibel.

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9.

38. Sei p eine Primzahl. (a) Sei K ein Körper der Charakteristik p. Sei K ⊆ L eine Körpererweiterung mit [L : K] = p^{2}. Es gebe u, v ∈ L mit L = K[u, v] und u^{p}, v^{p} ∈ K. Zeige: Jedes Element α ∈ L\K hat ein Minimalpolynom der Form T^{p} − c mit c ∈ K. Insbesondere gibt es kein Element w ∈ L mit

L = K[w].

(b) Sei k ein Körper der Charakteristik p, sei L der Quotientenkörper des Polynomrings k[X, Y] = k[X][Y] in zwei Variablen mit Koeffizienten in k. Sei K der von X^{p} und Y^{p} erzeugte Zwischenkörper k ⊆ K ⊆ L. Zeige: Die Körpererweiterung K ⊆ L erfüllt die Bedingungen in (a).

39. Sei p Primzahl, sei K ein Körper der Charakteristik p. Sei K ⊆ L eine endliche Körpererweiterung und p sei kein Teiler von [L : K]. Zeige: L ist separabel über K.

40. Sei K ⊆ L eine Körpererweiterung vom Grad n, sei α ∈ L und L = K[α]. Ist die Charakteristik von K kein Teiler von n, so gibt es β ∈ L mit L = K[β], wobei das Minimalpolynom von β über K die Form T^{n} + ∑_{i=0}^{n−2} c_{i}T^{i} mit c_{i} ∈ K hat.

41. Sei K Körper, sei f ∈ K[T] ein normiertes Polynom vom Grad n. Sei L der Zerfällungskörper von f über K. Zeige, daß [L : K] ein Teiler von n! ist.

Hinweis: Zeige zuerst: Sind d_{i} ≥ 1 natürliche Zahlen (1 ≤ i ≤ r), so ist d_{1}!d_{2}! ⋯ d_{r}! ein Teiler von

(d_{1} + ⋯ + d_{r})!.

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10. Zerfällungskörper und Galois-Gruppen.

42. Sei α = α_{1} ∈ ℂ eine Wurzel des Polynoms f = X^{4} − 2X^{2} + 2 ∈ ℚ[X]. (Hinweis: es gilt (α^{2} − 1)^{2} = −1, man schreibt daher auch α = \sqrt{1 + i} oder α = \sqrt{1 − i} ). Zeige:

(a) Es sind auch α_{2} = −α, α_{3} = \overline{α}, α_{4} = −\overline{α} Wurzeln von f (zeichne die Lage der vier Nullstellen in ℂ).

(b) Setze L = ℚ(α_{1}, α_{2}, α_{3}, α_{4}). Zeige [L : ℚ] = 8. (Zum Beispiel kann man zeigen: L =

ℚ(i)(\sqrt{2})(α).)

(c) Versuche, alle Unterkörper von L zu konstruieren.

43. Bestimme Gal(ℚ(\sqrt{3}, \sqrt{5}, \sqrt{7}) : ℚ). Wie sehen demnach alle möglichen Zwischenkörper aus?

44. Sei

f = X^{3} − 3X + 1 ∈ ℚ[X].

Betrachte den Zerfällungskörper L = Z_{ℚ}(f). Bestimme [L : ℚ]. Wie sieht die Galois-Gruppe Gal(L : ℚ) aus?

45. Gegenbeispiel zur Aufgabe 32.

(a) Sei α = e^{\frac{1}{4} πi} ∈ ℂ. Zeige: Dies ist eine primitive achte Einheitswurzel und das Minimalpolynom über ℚ lautet T^{4} + 1; das Polynom f = T^{4} + 1 zerfällt über ℚ[α] in Linearfaktoren, in ℚ gibt es aber keine primitive 4-te Einheitswurzel.

(b) Ist p > 2 eine beliebige Primzahl, kann man dann entsprechend einen endlichen Erweiterungskörper ℚ ⊂ ℚ[α] konstruieren, sodaß das Minimalpolynom von α die Form f = T^{p} − a mit a ∈ ℚ hat und f über ℚ[α] in Linearfaktoren zerfällt?

11.

46. Sei f(X) = ∑_{i=0}^{n} a_{i}X_{i} ein normiertes Polynom vom Grad n mit Koeffizienten in ℤ. Es gebe eine Primzahl p mit den folgenden Eigenschaften:

(i) p teilt alle Koeffizienten a_{0}, a_{1}, …, a_{n−1}. (ii) p^{2} ist kein Teiler von a_{0}. Zeige: Das Polynom f(X) ist irreduzibel in ℚ[X].

47. Beweise mit Hilfe von Aufgabe 46:

(a) Ist p eine Primzahl, und n ≥ 2 eine natürliche Zahl, so ist \sqrt[n]{p} keine rationale Zahl.

(b) Ist p eine Primzahl, so ist das Kreisteilungspolynom Φ_{p}(X) irreduzibel. Hinweis zu (b): Betrachte statt Φ_{p}(X) das Polynom Φ_{p}(X + 1).

Kreisteilungskörper

48. Sei ζ eine primitive n-te Einheitswurzel in ℂ, mit n = 5, 7, 11. Bestimmen Sie alle Unterkörper

von ℚ(ζ).

49. Sei {ζ_{1}, …, ζ_{n}} die Menge der n-ten Einheitswurzeln in ℂ, mit n ∈ ℕ_{1}. Beweise:

ζ_{1}^{k} + … ζ_{n}^{k} = \{ \begin{matrix}0 & falls k ≢ 0 (mod n), \\ n & falls k ≡ 0 (mod n). \end{matrix}

50. Sind m, n teilerfremde natürliche Zahlen, und ζ_{m}, ζ_{n} zugehörige primitive Einheitswurzeln, so gilt

ℚ(ζ_{m}) ∩ ℚ(ζ_{n}) = ℚ.

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12.

Zu bearbeiten sind (mindestens) vier der folgenden Aufgaben.

51. Man konstruiere die 5-ten Einheitswurzeln in ℂ mit Zirkel und Lineal. (Verlangt ist: Zeichung mit Konstruktionsbeschreibung, Beweis). (Verwiesen sei hier auf die Aufgaben 29 und 30).

51^{∗} Für Mutige: Man konstruiere die 17-ten Einheitswurzeln in ℂ mit Zirkel und Lineal.

52. “Konstruieren” bedeute auch hier: mit Zirkel und Lineal.

(a) Man zeige: Aus einem konstruierten regelmäßigen n-Eck kann man ein regelmäßiges 2n-Eck konstruieren.

(b) Seien n_{1}, n_{2} Zahlen mit (n_{1}, n_{2}) = 1. Hat man ein regelmäßiges n_{1}-Eck und ein regelmäßiges n_{2}-Eck konstruiert, so kann man auch ein regelmäßiges n_{1}n_{2}-Eck konstruieren.

(c) Für welche Zahlen n ≤ 100 ist ein regelmäßiges n-Eck konstruierbar? (Beachte: die regelmäßigen n-Ecke mit n = 3, 5 und 17 sind konstruierbar).

53. Sei p Primzahl, p−1 = md mit m, d ∈ ℕ_{1}. Sei ζ eine primitive n-te Einheitswurzel in ℂ. Seien η_{0}(d), η_{1}(d), …, η_{m−1}(d) die d-gliedrigen Gauß’schen Perioden in ℚ[ζ]. Für p = 7 und d = 2 oder 3 soll berechnet werden:

(a) Die Multiplikationstabelle der η_{0}(d), η_{1}(d), …, η_{m−1}(d).

(b) Die Minimalpolynome von η_{0}(d), η_{1}(d), …, η_{m−1}(d) über ℚ.

(c) Das Minimalpolynom von ζ über ℚ[η_{0}(d)].

54. Sei ζ eine primitive 12-te Einheitswurzel in ℂ. Wegen ϕ(12) = 4 ist G = Gal(ℚ[ζ] : ℚ) eine Gruppe der Ordnung 4. Zeige: Dies ist die Klein’sche Vierergruppe. Bestimme alle Unterkörper von

ℚ[ζ].

Hinweis: Wie wir wissen, ist G = {g_{1}, g_{5}, g_{7}, g_{11}}, dabei ist g_{a} der Automorphismus von ℚ[ζ] mit

g_{a}(ζ) = ζ^{a}.

55. Sei n ∈ ℕ_{1} und ζ eine primitive n-te Einheitswurzel in ℂ. Bestimme alle Einheitswurzeln in ℚ[ζ].

56. Seien a, b ∈ ℚ. Betrachte das Polynom

f = X^{4} + aX^{2} + b ∈ ℚ[X].

Sei L der Zerfällungskörper von f über ℚ. Bestimme in Abhängigkeit von a, b den Grad [L : ℚ] und die Galois-Gruppe Gal(L : ℚ).