Leitfaden: Algebra I

Vorbemerkung: Ist M eine Menge, so wird ihre Mächtigkeit (= Kardinalität) mit |M| bezeichnet. Bei einer Gruppe G wird die Mächtigkeit der Grundmenge die Ordnung der Gruppe genannt.

I. Gruppen

0. Definitionen und Beispiele.

Gruppen. Eine Gruppe G = (G, μ) ist eine Menge (die “Grundmenge”) mit einer Abbildung μ: G × G → G (die “Gruppen-Operation” oder auch “Multiplikation”); verlangt wird, daß folgende Bedingungen erfüllt sind: (dabei schreibt man meist g_{1}g_{2} oder g_{1} · g_{2} statt μ(g_{1}, g_{2})): (G1) (Assoziativität): Für alle Elemente g_{1}, g_{2}, g_{3} ∈ G gilt (g_{1}g_{2})g_{3} = g_{1}(g_{2}g_{3}). (G2) (Existenz eines Einselements): Es gibt ein Element e ∈ G mit eg = g = ge für

alle g ∈ G. (G3) (Lösbarkeit von Gleichungen): Sind g_{1}, g_{2} Elemente von G, so gibt es h, h′ in

G mit g_{1}h = g_{2}, und h′g_{1} = g_{2}. Ist G eine Gruppe, und gilt g_{1}g_{2} = g_{2}g_{1} für alle g_{1}, g_{2} ∈ G, so heißt G kommu-

tative oder auch abelsche Gruppe.

Bemerkungen:

(1) Wegen (G1) kann man bei Produktbildungen g_{1}g_{2}g_{3} auf das Klammersetzen verzichten (und damit auch bei längeren Produkten g_{1}g_{2} ⋯ g_{n}).

(2) Für das in (G2) gegebene Element e gilt e · e = e (es ist “idempotent”), wegen (G3) ist e das einzige Element mit dieser Eigenschaft. Das Element e ist also eindeutig bestimmt, man schreibt meist 1 oder 1_{G} statt e und nennt es das Einselement der Gruppe.

(3) Insbesondere kann man in (G3) für g_{2} das Einselement wählen: Wir sehen: zu g ∈ G gibt es h, h′ mit gh = 1 = h′g. Wegen h = 1·h = h′gh = h′ ·1 = h′ (∗) sieht man, daß h = h′ gilt. Man nennt h das zu g inverse Element und schreibt h = g^{−1}. (Die Rechnung (∗) zeigt, daß für jedes Element g das zu g inverse Element eindeutig bestimmt ist!)

(4) Die zu g_{1}, g_{2} in (G3) gegebenen Elemente h, h′ lassen sich mit Hilfe von g_{1}^{−1} folgendermaßen berechnen: es ist h = g_{1}^{−1}g_{2}, und h′ = g_{2}g_{1}^{−1}, insbesondere sind die Elemente h, h′ eindeutig bestimmt.

(5) Statt (G, μ) schreibt man meist einfach G. Zur Bezeichnung der Gruppen-Operation μ werden manchmal statt des Multiplikationspunktes Symbole wie ∘, ∗ oder auch + verwandt. Wenn es zur Klarstellung sinnvoll erscheint, schreibt man statt (G, μ) oder G auch (G, ∘) usw. Insbesondere wird in abelschen Gruppen oft + statt · geschrieben, und dann wird das Einselement mit 0 bezeichnet!

Homomorphismen. Sind G = (G, ·) und H = (H, ∘) Gruppen, so nennt man eine Abbildung

ϕ: G → H

einen Gruppen-Homomorphismus, oder einfach einen Homomorphismus, falls

ϕ(g_{1} · g_{2}) = ϕ(g_{1}) ∘ ϕ(g_{2})

für alle g_{1}, g_{2} ∈ G gilt. Für jeden Gruppen-Homomorphismus ϕ: G → H gilt ϕ(1_{G}) = 1_{H} (denn ϕ(1_{G}) ist ein “idempotentes” Element von H und jede Gruppe besitzt nur ein derartiges Element).

Sei ϕ: G → H ein Gruppen-Homomorphismus. Ist ϕ bijektiv (also injektiv und surjektiv), so ist die Abbildung ϕ^{−1} definiert. Sie ist selbst wieder ein Gruppen-Homomorphismus, denn

ϕ^{−1}(ab) = ϕ^{−1}(ϕϕ^{−1}(a)ϕϕ^{−1}(b)) = ϕ^{−1}ϕ(ϕ^{−1}(a)ϕ^{−1}(b)) = ϕ^{−1}(a)ϕ^{−1}(b).

Bijektive Homomorphismen nennt man Isomorphismen. Gibt es einen Isomorphismus G → H, so nennt man die Gruppen G und H isomorph.

Untergruppen. Sei U eine Teilmenge der Gruppe G = (G, ·). Man nennt U eine Untergruppe, falls U zusammen mit · selbst eine Gruppe ist. Genau dann ist U eine Untergruppe, wenn gilt (U1) (Abgeschlossenheit unter der Multiplikation) Für u_{1}, u_{2} ∈ U ist auch u_{1} · u_{2} ∈

U. (U2) (Eins) Es ist 1_{G} ∈ U. (U3) (Inverses) Ist u ∈ U, so ist auch u^{−1} in U. Bemerkung: Ist G eine endliche Gruppe, so folgt die Bedingung (U3) aus der Bedingung (U1), denn ist u ∈ G, so gibt es eine natürliche Zahl n ≥ 1 mit u^{n} = 1, also gilt u^{n−1} = u^{−1} (wir sehen also, daß sich das zu u inverse Element u^{−1} als Potenz von u mit nicht-negativem Exponenten schreiben läßt).

Sind U_{1}, U_{2} Untergruppen der Gruppe G, so ist auch U_{1} ∩ U_{2} (also der mengentheoretische Durchschnitt) wieder eine Untergruppe von G; allgemeiner gilt: Ist U_{i} (i ∈ I) eine Menge von Untergruppen von G, so ist ⋂_{i∈I} U_{i} eine Untergruppe von G. Ist X eine Teilmenge einer Gruppe G, so kann man den Durchschnitt aller Untergruppen U von G bilden, für die X ⊆ U gilt; dies ist die kleinste Untergruppe von G, die X enthält, man nennt sie die von X erzeugte Untergruppe.

Warnung: Sind U_{1}, U_{2} Untergruppen einer Gruppe G, so ist die mengentheoretische Vereinigung U_{1} ∪ U_{2} im allgemeinen keine Untergruppe! Diese Menge U_{1} ∪ U_{2} ist im allgemeinen nicht unter der Produkt-Bildung abgeschlossen. Natürlich gibt es (wie für jede Teilmenge) eine kleinste Untergruppe, die U_{1} ∪ U_{2} enthält, die von U_{1} ∪U_{2} erzeugte Untergruppe. Zweite Warnung: Sind U_{1}, U_{2} Untergruppen, so bildet man manchmal U_{1}U_{2} = {u_{1}u_{2} | u_{1} ∈ U_{1}, u_{2} ∈ U_{2}}; auch diese Untermenge wird im allgemeinen keine Untergruppe sein — warum sollte auch jedes Produkt u_{2}u_{1} mit u_{2} ∈ U_{2}, u_{1} ∈ U_{1} zu U_{1}U_{2} gehören? Wir werden im Abschnitt 1 den Begriff des “Normalteilers” kennenlernen: Ist mindestens eine der beiden Untergruppen U_{1}, U_{2} ein “Normalteiler”, so ist U_{1}U_{2} eine Untergruppe von G.

Sei ϕ: G → H ein Gruppen-Homomorphismus. Das Bild Im ϕ von ϕ (also die Menge der Elemente ϕ(g) mit g ∈ G) ist eine Untergruppe von G. (Umgekehrt gilt natürlich auch: Ist U eine Untergruppe von G, so ist die Inklusionsabbildung ι: U → G mit ι(u) = u für u ∈ U ein Gruppen-Homomorphismus, und sein Bild ist gerade die Untergruppe U.) Die Menge der Elemente g ∈ G mit ϕ(g) = 1 nennt man den Kern von ϕ und man schreibt Ker ϕ für diese Menge. Der Kern von ϕ ist eine Untergruppe von G (sogar ein “Normalteiler”, wie wir im Abschnitt 2 sehen werden).

Beispiele:

(1) Die symmetrischen und die alternierenden Gruppen. Sei M eine Menge. Eine Permutation von M ist eine bijektive Abbildung M → M. Die Menge der Permutationen von M bildet bezüglich der Hintereinanderschaltung von Abbildungen eine Gruppe, die volle Permutationsgruppe S_{M} von M, man nennt sie auch die symmetrische Gruppe S_{M}.

Insbesondere setzt man S_{n} = S_{{1,2,...,n}}, dies ist also die Menge der Permutationen der Menge {1, 2, …, n}. Ist M eine beliebige Menge mit genau n Elementen, so ist die Gruppe S_{M} zu S_{n} isomorph.

Bekannt sollte sein: (1) Die Gruppe S_{n} hat genau n! Elemente. (2) Jedes Element von S_{n} läßt sich als Produkt von Transpositionen schreiben; dabei heißt eine Permutation τ ∈ S_{n} eine Transposition, wenn es Zahlen i, j mit 1 ≤ i < j ≤ n gibt mit τ(i) = j, τ(j) = i und τ(x) = x für alle übrigen Elemente x in {1, 2, …, n}.

(3) Ist σ ∈ S_{n} ein Produkt von m Transpositionen, wobei m gerade ist, so ist in jeder Darstellung von σ als Produkt von Transpositionen die Anzahl der Faktoren geradzahlig. Man nennt solche Permutationen gerade. Die Menge der geraden Permutationen von {1, 2, …, n} ist eine Untergruppe von S_{n}, man nennt diese Untergruppe die alternierende Gruppe A_{n} vom Grad n.

Wir werden uns später genauer mit den Gruppen S_{n} und A_{n} beschäftigen; wir werden für die Elemente der S_{n} eine recht praktische Schreibweise, die sogenannte “Zykel-Notation” einführen, siehe Abschnitt 1.

Hier ist der Untergruppen-Verband der Gruppe A_{4}

•_{{1}}• G • V ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{•}  ^{•}  ^{•}  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Dabei ist V die Untergruppe, die neben dem Einselement die drei Elemente (12)(34), (13)(24), (14)(23) enthält (wir verwenden hier schon die Zykel-Schreibweise, die im Abschnitt 1 vorgestellt wird). Man nennt V die Klein’sche Vierergruppe. Zwischen den Untergruppen {1} und V liegen die drei Untergruppen der Ordnung 2; sie enthalten neben dem Einselement jeweils eines der Elemente (12)(34), (13)(24), (14)(23). Die vier Untergruppen rechts haben Ordnung 3; sie enthalten jeweils zwei Elemente g, g^{2} der Ordnung 3, dabei können wir für g die vier Elemente (123), (124), (134),

(234) nehmen. Die Untergruppen {1}, V, G sind durch fette Punkte hervorgehoben, es sind dies die “Normalteiler” der Gruppe A_{4}.

Jede Gruppe ist isomorph zu einer Untergruppe einer symmetrischen Gruppe (nämlich G → S_{G}, mit g ↦ g·, dabei ist g· die Linksmultiplikation mit g, dies ist eine bijektive Abbildung G → G, also ein Element in S_{G}.) Man nennt dies den Satz von Cayley.

(2) Die zyklischen Gruppen. Eine Gruppe G heißt zyklisch, wenn sie von einem Element erzeugt wird.

Die Menge ℤ der ganzen Zahlen ist bezüglich der Addition eine Gruppe (ℤ, +), man nennt sie die unendliche zyklische Gruppe, da sie vom Element 1 erzeugt wird. (Warnung: Das Element 1 ist nicht das Einselement der Gruppe! Da wir die Gruppe additiv schreiben, ist das Einselement bezüglich der Gruppen-Operation die Zahl 0). Neben 1 ist auch −1 ein erzeugendes Element der Gruppe.

Für n ≥ 2 sei C_{n} die Drehgruppe des regelmäßigen n-Ecks (also die Menge der Drehungen in der Ebene mit festem Zentrum und mit Drehwinkel \frac{2πt}{n}, mit 0 ≤ t < n, mit der Hintereinanderschaltung der Drehungen als Gruppen-Operation). Die Gruppe hat die Ordnung n, es gibt ein Element g mit C_{n} = {g^{t} | 0 ≤ t < n}, nämlich die Drehung g = ρ_{n} mit dem Drehwinkel \frac{2π}{n}; die Gruppe C_{n} wird daher vom Element ρ_{n} erzeugt; für n ≥ 3 gibt es weitere Elemente, die die Gruppe C_{n} erzeugen: jedes Element der Form ρ_{n}^{t}, wobei n, t teilerfremd sind, erzeugt die Gruppe C_{n}. Man nennt C_{n} die zyklische Gruppe der Ordnung n. (Das regelmäßige n-Eck sei dabei die Menge der komplexen Zahlen e^{\frac{2πit}{n}} mit 0 ≤ t < n; bezüglich der Multiplikation der komplexen Zahlen ist dies selbst eine zu C_{n} isomorphe Gruppe! Wir haben bisher nur den Fall n ≥ 2 betrachten; es sei C_{1} “die” Gruppe der Ordnung 1.)

Es gibt einen surjektiven Gruppen-Homomorphismus (ℤ, +) → C_{n}, mit z ↦ ρ_{n}^{z}. Der Kern von diesem Homomorphismus ist die Menge nℤ der durch n teilbaren Zahlen.

Im Abschnitt 2 werden wir Faktorgruppen einführen, der sogenannte “Erste Isomorphie-Satz” liefert dann:

(ℤ, +)/nℤ ≃ C_{n}

Sei G eine beliebige Gruppe, die von einem Element g erzeugt wird. Hat g unendliche Ordnung, so ist der Gruppen-Homomorphismus (ℤ,+)→G, mit z↦g^{z} ein Isomorphismus, also ist G zu (ℤ,+) isomorph. Hat g endliche Ordnung, etwa m, so liefert der Gruppen-Homomorphismus (ℤ,+)→G, mit z↦g^{z}, einen Isomorphismus (ℤ,+)/mℤ ≃ G. Insgesamt sehen wir, daß es bis auf Isomorphie nur die folgenden zyklischen Gruppen gibt: (ℤ,+) und die Gruppen C_{n} mit n∈ℕ_{0}.

Ist G eine Gruppe, und g ∈ G, so kann man die von g erzeugte Untergruppe ⟨g⟩ betrachten. Die Ordnung von g ist die Ordnung der von g erzeugten Untergruppe ⟨g⟩; es ist die kleinste natürliche Zahl n ≥ 1 mit g^{n} = 1, falls es eine solche Zahl gibt, sonst sagt man, daß g unendliche Ordnung hat. Genau dann hat g die Ordnung n < ∞, wenn ⟨g⟩ ≃ C_{n} gilt. In einer endlichen Gruppe hat natürlich jedes Element endliche Ordnung; diese Ordnung ist ein Teiler der Gruppen-Ordnung, wie wir im Abschnitt 2 sehen werden.

(3) Diedergruppen. Für n ≥ 3 sei D_{n} die volle Symmetriegruppe des regelmäßigen n-Ecks, sie enthält C_{n} als Untergruppe, zusätzlich gibt es noch n Spiegelungen. Die Gruppe D_{n} hat also die Ordnung 2n.

(4) Die Symmetriegruppen und die Drehgruppen geometrischer Objekte. Zum Beispiel: des Tetraeders, des Würfels, des Ikosaeders.

(5) Das Produkt zweier Gruppen. Für zwei Mengen M_{1}, M_{2} ist das (mengentheoretische) Produkt M_{1}×M_{2} die Menge der Paare (m_{1}, m_{2}) mit m_{1} ∈ M_{1}, m_{2} ∈ M_{2}. Sind G, H Gruppen, so ist das Produkt G × H mit der komponentenweise Multiplikation wieder eine Gruppe (für g, g′ ∈ G und h, h′ ∈ H ist also (g, h)(g′, h′) = (gg′, hh′) gesetzt). Die Teilmenge {(g, 1) | g ∈ G} ist eine Untergruppe von G × H, die zu G isomorph ist; die Teilmenge {(1, h) | h ∈ H} ist eine Untergruppe von G × H, die zu H isomorph ist.

1. Die Gruppen S_{n} und A_{n}.

Konjugation. Sei G eine Gruppe. Zwei Elemente x, y ∈ G heißen konjugiert, falls es ein g ∈ G mit y = gxg^{−1} gibt. (Erinnerung: Sei k ein Körper. Zwei Matrizen A, B ∈ M(n×n, k) heißen ähnlich, wenn es eine invertierbare Matrix P ∈ M(n×n, k) gibt mit B = P AP^{−1}. In der Gruppe GL(n, k) sind also zwei Matrizen genau dann konjugiert, wenn sie ähnlich sind.)

Konjugiertheit ist eine Äquivalenzrelation. Die entsprechenden Äquivalenzklassen heißen Konjugationsklassen.

Normalteiler. Sei G eine Gruppe.Eine Untergruppe U von G heißt Normalteiler, wenn gUg^{−1} = U für alle g gilt. (Dabei genügt es zu verlangen, daß gUg^{−1} ⊆ U für alle g ∈ G gilt. Dann dann gilt dies auch für g^{−1}, also g^{−1}Ug ⊆ U; multiplizieren wir von links mit g und von rechts mit g^{−1}, so erhalten wir die Inklusion U ⊆ gUg^{−1}.) Umformulierung: Eine Untergruppe U ist genau dann ein Normalteiler, wenn gilt: Ist u ∈ U, so sind alle zu u konjugierten Elemente in U.

Beispiele.

(1) Trivial: Ist G eine Gruppe, so sind natürlich G selbst und die Einsuntergruppe {1} Normalteiler von G.

(2) Trivial: In einer abelschen Gruppe ist jede Untergruppe ein Normalteiler.

(3) Jede Diedergruppen D_{n} (n ≥ 3) besitzt genau n Untergruppen der Ordnung 2 und keine dieser Untergruppen ist ein Normalteiler.

(4) Die Untergruppe V von A_{4} ist ein Normalteiler.

(5) Die Untergruppe C_{n} von D_{n} ist ein Normalteiler.

Einfachheit. Eine Gruppe G der Ordnung |G| ≥ 2 heißt einfach, wenn es außer {1} und G keine Normalteiler in G gibt. Ist G eine Gruppe von Primzahlordnung, so gibt es außer G und {1} überhaupt keine weiteren Untergruppen: Gruppen von Primzahlordnung sind einfach. Wir werden sehen, daß jede endliche Gruppe G ≠ {1}, deren Ordnung keine Primzahl ist, neben G und {1} weitere Untergruppen besitzt (ist p eine Primzahl, die |G| teilt, so hat G eine Untergruppe der Ordnung p). Wir werden Gruppen kennenlernen, die zwar viele Untergruppen, aber außer G und {1} überhaupt keine weiteren Normalteiler besitzen, also einfach sind. Die Bezeichnung “einfache Gruppe” ist in mancher Hinsicht irreführend: die sogenannten “einfachen Gruppen” sind eher als sehr schwierig zu analysierende Gruppen anzusehen: da sie keine Normalteiler haben, gibt es wenig Möglichkeiten, Eigenschaften dieser Gruppen induktiv zu bestimmen. Die Bezeichnung “einfach” soll andeuten, daß man diese Gruppen als Bausteine zur Konstruktion von beliebigen Gruppen verwendet.

Satz 1 (Einfachheit der alternierenden Gruppen). Für n ≥ 5 ist A_{n} einfach.

Bemerkung: Die Gruppe A_{4} hat die Ordnung 12 und besitzt einen Normalteiler der Ordnung 4, ist also sicher nicht einfach. Die Gruppe A_{3} hat die Ordnung 3, ist also einfach.

Zykel-Schreibweise. Da wir mit den Elementen der symmetrischen Gruppe S_{n} intensiv arbeiten müssen, werden wir eine recht praktische Notation einführen, die sogenannte Zykelschreibweise: Unter einem t-Zykel verstehen wir eine Permutation α der Menge M, zu der es t paarweise verschiedene Elemente x_{i} ∈ M mit 1 ≤ i ≤ t gibt, so daß gilt: es ist einerseits α(x_{i}) = x_{i+1} für 1 ≤ i < t und α(x_{t}) = x_{1}, andererseits ist α(x) = x für x ∈ M \ {x_{1}, …, x_{t}}; ist t ≥ 2, so nennt man die Menge {x_{1}, …, x_{t}} den Träger von α und man schreibt^{1} α = (x_{1}, x_{2}, …, x_{t}) (oder auch α = (x_{2}, …, x_{t}, x_{1}) und so weiter). (Erinnerung: Einen 2-Zykel nennt man eine Transposition.) Jede Permutation σ kann als Produkt von Zyklen der Länge t ≥ 2 mit paarweise disjunkten Trägern geschrieben werden; man nennt dies die Zykel-Beschreibung von σ (im Fall der identischen Permutation σ handelt es sich um das leere Produkt, man schreibt dann als Zyklenschreibweise (1)).

Beispiel. Betrachte die folgende Permutation σ ∈ S_{8}:

σ = ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ 8 & 2 & 5 & 3 & 7 & 1 & 4 & 6 \end{matrix} )

Zykel-Beschreibungen von σ sind

σ = (186)(3574) = (4357)(861) = (3574)(861) = …

Wie erhält man die Zykelschreibweise zu einer gegebenen Permutation σ? Man wählt ein beliebiges Element x ∈ {1, …, n}, das unter σ bewegt wird, und bildet die sogenannte Bahn von x unter σ, also die Menge {x, σ(x), σ^{2}(x), … }. Es seien die Elemente x, σ(x), …, σ^{t−1}(x) paarweise verschieden, aber σ^{t}(x) gehöre zur Menge {x, σ(x), …, σ^{t−1}(x)}. Dann muß notwendigerweise gelten σ^{t}(x) = x (denn sonst wäre σ nicht injektiv). Die Menge {x, σ(x), …, σ^{t−1}(x)} ist also die Bahn von x unter σ. Die geklammerte Folge (x, σ(x), …, σ^{t−1}(x)) ist einer der Zyklen, die wir suchen. Wieder wegen der Injektivität gilt: Sind x, y beliebige Elemente, so sind deren Bahnen entweder gleich oder disjunkt. Wir schreiben nun einfach die Zyklen zu allen Bahnen der Länge mindestens 2 nebeneinander. Wichtig: Die Zykel-Beschreibung ist nicht eindeutig! Und zwar gilt erstens: Innerhalb einer Klammer kann man die Elemente zyklisch vertauschen. Und zweitens: Je zwei Zyklen in einer Zykel-Beschreibung von σ können vertauscht werden (denn die jeweiligen Bahnen sind diskunkt). Noch eine Konvention: Zykel der Länge 1 kann man zusätzlich hinzufügen, tut dies aber üblicherweise nicht, außer eben beim Einselement, dort notiert man wenigstens einen 1-Zykel. Noch einmal: Bei diesen Zykel-Beschreibung von σ ist wichtig, daß die jeweiligen Zykel paarweise disjunkte Träger haben, daß also kein Element in zwei

1 Warnung: Zykel lesen wir von links nach rechts, dagegen wird die Hintereinanderschaltung von Permutation (wie von allen Abbildungen) von rechts nach links gelesen. Wenn man sich dessen bewußt ist, sollte dies nicht zu Schwierigkeiten führen. Es ist also (123) ∘ (12) = (13), denn es handelt sich ja um die Anwendung zuerst der Abbildung f = (12) = ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end{matrix} ) und dann der Abbildung g = (123) = ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{matrix} ) und

gf(1) = g(2) = 3, usw.) dieser Klammern vorkommt; kommt ein Element nicht vor, so ist dies wegen unserer Konvention ein “Fixpunkt” (also ein Element x mit σ(x) = x). (Will man eine eindeutig bestimmte Beschreibung σ = (x_{1}, …, x_{t})(x_{t+1} …) … (…) so wähle man x_{1} = 1, dann für x_{t+1} die kleinste Zahl, die bisher nicht auftrat, und so weiter.) Die Längen λ_{i} der verschiedenen Zykel einer Permutation (einschließlich derer der Länge 1) faßt man als Folge (λ_{1}, …, λ_{t}) mit λ_{1} ≥ λ_{2} ≥ … zusammen, wir erhalten auf diese Weise eine Partition (die Partition der Zykellängen). In unserem Beispiel haben wir einen 4-Zykel, einen 3-Zykel und einen 1-Zykel, wir erhalten also die Partition (4, 3, 1). (Beispiel: Die Transpositionen sind gerade die Permutationen mit zugehöriger Partition (2, 1, …, 1).)

Wichtig ist folgendes: Wir werden häufig Elemente der S_{n} konjugieren. Seien also σ, τ ∈ S_{n}, und betrachte σ′ = τστ^{−1}. Ist σ(x) = y, so ist

σ′(τ(x)) = (τστ^{−1})τ(x) = τ(y).

Wir sehen also, daß wir aus der Zykelbeschreibung von σ sehr einfach diejenige von τστ^{−1} erhalten: wir ersetzen jedes x durch τ(x).

Beispiel: Sei σ = (186)(3574), sei τ = (123). Dann ist

τστ^{−1} = (τ(1)τ(8)τ(6))(τ(3)τ(5)τ(7)τ(4)) = (286)(1574).

Es folgt: Genau dann sind zwei Elemente von S_{n} konjugiert, wenn die Zykellängen die gleiche Partition liefern.

Zwei Hilfssätze, die auch sonst von Interesse sind, werden gebraucht:

(1) Für n ≥ 3 gilt: Jedes Element von A_{n} läßt sich als Produkt von 3-Zykeln schreiben. Und daraus folgt: Für n ≥ 3 gilt: Die 3-Zykeln erzeugen A_{n}. Denn wir wissen zusätzlich, daß jeder 3-Zykel gerade ist, also liegen alle 3-Zykeln in A_{n}.

Beweis: Seien i, j, k paarweise verschieden:

(i, j)(i, k) = (i, k, j),

Seien i, j, k, l paarweise verschieden:

(i, j)(k, l) = (i, j, k)(j, k, l).

Wir wissen, daß sich jede gerade Permutation σ als Produkt σ = τ_{1} ∘ ⋯ ∘ τ_{2m} einer geraden Anzahl von Transpositionen τ_{i} schreiben läßt. Wie wir gesehen haben, können wir jeweils τ_{2i−1} ∘ τ_{2i} zusammenfassen und als Produkt von höchstens zwei 3-Zykeln schreiben.

(2) Für n ≥ 5 sind alle 3-Zykeln in A_{n} konjugiert. (In A_{4} gilt dagegen: Die 3-Zykeln (1, 2, 3) und (1, 3, 2) sind in A_{4} nicht konjugiert.)

Es genügt zu zeigen, daß (i, j, k) zu (1, 2, 3) konjugiert ist. Sei

( \begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & ⋯ \\ i & j & k & l & m & ⋯ \end{matrix} )

in S_{n}. Ist diese Permutation nicht in A_{n}, so gehört die Permutation

( \begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & ⋯ \\ i & j & k & m & l & ⋯ \end{matrix} )

zu A_{n} (wobei nur m, l vertauscht sind). Das Konjugieren mit jedem der beiden Elemente führt (1, 2, 3) in (i, j, k) über.

Beweis des Satzes. Sei N ≠ {1} ein Normalteiler von A_{n}. Zu zeigen ist, daß N einen 3-Zykel enthält.

Sei a ≠ 1 ein Element von N. Wir werden mehrfach verwenden, daß für jedes Element c ∈ A_{n} das Element aca^{−1}c^{−1} zu N gehört (mit a gehört auch a^{−1} zu N, also liegt ca^{−1}c^{−1} in cNc^{−1} = N, und es ist aca^{−1}c^{−1} = a · ca^{−1}c^{−1}).

Wir betrachten die Zykel-Zerlegung von a und unterscheiden mehrere Fälle; dabei konstruieren wir jeweils einen Dreier-Zykel c und bilden g = aca^{−1}c^{−1}. Da Dreier-Zykeln zur A_{n} gehören, wissen wir, daß g zu N gehört.

Fall 1. In der Zykel-Zerlegung von a gibt es einen Zykel der Länge r mit r ≥ 4, etwa (i, j, k, l, …). Sei c = (i, j, k). Es ist

g = (aca^{−1})c^{−1} = (j, k, l)(i, k, j) = (i, l, j)

ein Dreier-Zykel: wir haben also in N einen Dreier-Zykel gefunden.

Wir können nun voraussetzen, daß alle Zykel in der Zykel-Zerlegung von a Länge höchstens 3 haben.

Fall 2: In der Zykel-Zerlegung von a gibt es mindestens zwei Dreier-Zykel, a = (i, j, k)(l, m, p) · · · . Sei c = (i, j, l), es ist

g = (aca^{−1})c^{−1} = (j, k, m)(i, l, j) = (i, l, k, m, j),

und wir können Fall 1 anwenden.

Fall 3. In der Zykel-Zerlegung von a gibt es genau einen Dreier-Zykel. Dann ist a^{2} ein Dreier-Zykel.

Fall 4: Es gibt keinen Dreier-Zykel, aber mindestens drei Zweier-Zykeln. Also a = (i, j)(k, l)(m, r) · · ·. Sei nun c = (i, k, m). Wir bilden

g = (aca^{−1})c^{−1} = (j, l, r)(i, m, k),

der rechte Ausdruck ist die Zykel-Beschreibung von g, also haben wir ein Element gefunden, das wie im Fall 2 behandelt werden kann.

Fall 5: Es gibt keinen Dreier-Zykel, und höchstens zwei Zweier-Zykeln. Da a eine gerade Permutation ist und a ≠ 1 gilt, gibt es genau zwei Zwei-Zykeln, also a = (i, j)(k, l). Wegen n ≥ 5 gibt es m, so daß i, j, k, l, m paarweise verschieden sind. Es ist a(m) = m. Sei nun c = (i, k, m). Wir bilden

g = (aca^{−1})c^{−1} = (j, l, m)(i, m, k) = (i, l, m, k),

Auf dieses Element g können wir wieder Fall 1 anwenden.

Wir haben gesehen, daß N einen Dreier-Zykel g enthält. Die übrigen Dreier-Zykel der A_{n} sind nach (2) von der Form hgh^{−1} mit h ∈ A_{n}, denn alle Dreier-Zykeln sind in der Gruppe A_{n} konjugiert. Da g zu N gehört, gehört hgh^{−1} zu hNh^{−1} = N, denn N ist ein Normalteiler. Also sehen wir: alle Dreier-Zykeln gehören zu N. Nach (1) erzeugen diese aber die Gruppe A_{n}. Dies zeigt: N = A_{n}.