Charakterisierung des direkten Produkts zweier Gruppen. Erinnerung: Sind A, B Gruppen, so bezeichnet A × B das direkte Produkt von A und B; also die Menge der Paare (a, b) mit a ∈ A und b ∈ B, mit komponentenweiser Multiplikation. Allgemeiner: Sind A_{1}, …, A_{t} Gruppen, so bezeichnet man mit A_{t} × ⋯ × A_{t} das direkte Produkt dieser Gruppen: also die Menge der Folgen (a_{1}, …, a_{t}) mit a_{i} ∈ A_{i}, und zwar mit komponentenweiser Multiplikation. Ist A = A_{1}, …, A_{t} eine Gruppe, so schreibt man A^{t} statt A_{1} × ⋯ × A_{t}.

Die Gruppen der Form C_{p}^{t} mit p Primzahl heißen elementar abelsche Gruppen. Ist G eine abelsche Gruppe und ist p eine Primzahl, so bilden die Elemente der Ordnung p zusammen mit dem 1-Element eine Untergruppe, und diese Untergruppe ist elementar abelsch.

Ist U eine Untergruppe der Gruppe A und V eine Untergruppe der Gruppe B, so ist U × V eine Untergruppe von A × B. Sind U, V beides Normalteiler, so ist auch U × V ein Normalteiler von A × B. Insbesondere sind A × {1} und {1} × B Normalteiler von A × B, die zusammen A × B erzeugen und deren Durchschnitt die triviale Untergruppe {1} × {1} = {1_{A×B}} ist. Durch diese Eigenschaften ist das direkte Produkt zweier Gruppen charakterisiert, denn es gilt:

Lemma. Sind U, V Normalteiler einer Gruppe G mit U ∩ V = {1}, so gilt uv = vu für alle u ∈ U, v ∈ V; daher ist UV isomorph zu U × V. Man schreibt in diesem Fall einfach UV = U × V.

Beweis: Es ist uvu^{−1}v^{−1} = (uvu^{−1}) · v^{−1} in V, aber auch uvu^{−1}v^{−1} = u · (vu^{−1}v^{−1}) in U, also uvu^{−1}v^{−1} = 1. Dies zeigt, daß uv = vu für alle u ∈ U, v ∈ V gilt. Definiere einen Gruppen-Homomorphismus ϕ: U ×V → G durch ϕ((u, v)) = uv (um zu sehen, daß dies wirklich ein Homomorphismus ist, braucht man gerade die Bedingung uv = vu für alle u ∈ U, v ∈ V.) Das Bild ist UV, und man verifiziert leicht, daß diese Abbildung injektiv ist.

Minimale Normalteiler. Sei G eine Gruppe. Ein Normalteiler N von G heißt minimal, wenn gilt: es ist N ≠ {1}, und ist N′ ein Normalteiler von G mit N′ ≠ {1} und N′ ⊆ N, so ist N′ = N.

Konjugierte Untergruppen. Sei U eine Untergruppe der Gruppe G. Ist g ∈ G, so ist gUg^{−1} wieder eine Untergruppe (sieht man unmittelbar), man nennt dies eine zu U konjugierte Untergruppe. Jede zu U konjugierte Untergruppe ist zu U isomorph, denn die Abbildung u ↦ gug^{−1} liefert einen Isomorphismus U → gUg^{−1}.

Satz (Struktur minimaler Normalteiler). Ist G endliche Gruppe, N ein minimaler Normalteiler von G, so ist N Produkt von Kopien einer einfachen Gruppe. Genauer gilt: Es gibt eine einfache Untergruppe E von G und Elemente g_{1} = 1, g_{2}, …, g_{t}, so daß die Abbildung

E^{t} ⟶ N mit (e_{1}, …, e_{t}) ↦ (g_{1}e_{1}g_{1}^{−1}, …, g_{t}e_{1}g_{t}^{−1})

ein Gruppen-Isomorphismus ist. Es läßt sich also N als Produkt von zu E konjugierten Untergruppen schreiben.

Beweis: Sei E ein Normalteiler von N (es ist also E ⊴ N, aber nicht notwendigerweise E ⊴ G; letzteres gilt nur falls N eine einfache Gruppe ist, in diesem Fall ist t = 1).

(1) Für jedes g ∈ G ist gEg^{−1} ein Normalteiler von N. Da N normal in G ist, ist gEg^{−1} in N enthalten. Sei nun x ∈ N. Da N normal in G ist, gibt es y ∈ N mit xg = gy (und daraus folgt g^{−1}x^{−1} = y^{−1}g^{−1}). Also ist x(gEg^{−1})x^{−1} = xgEg^{−1}x^{−1} = gyEy^{−1}g^{−1} = gEg^{−1}, denn da E normal in N ist, gilt yEy^{−1} = E.

Sei nun E ein minimaler Normalteiler von N.

(2) Für jedes g ∈ G ist gEg^{−1} ein minimaler Normalteiler von N. Denn ist H ein Normalteiler von N der in gEg^{−1} enthalten ist, so ist g^{−1}Hg ein Normalteiler von N, der in E enthalten ist.

(3) Ist V ein echter Normalteiler von N, so gibt es g ∈ G mit V ∩gEg^{−1} = {1}. Beweis: Die Untergruppen gEg^{−1} mit g ∈ G erzeugen einen Normalteiler N_{1} von G, der in N enthalten ist. Die Minimalität von N liefert N_{1} = N. Ist also V eine echte Untergruppe von N, so gibt es g ∈ G mit gEg^{−1} ⊈ V, also V ∩ gEg^{−1} ⊂ gEg^{−1}. Ist V Normalteiler von N, so ist V ∩ gEg^{−1} als Durchschnitt zweier Normalteiler von N selbst ein Normalteiler von N, also wegen der Minimalität von gEg^{−1} folgt V ∩ gEg^{−1} = {1}.

(4) Ist V ein echter Normalteiler von N, so gibt es g ∈ G mit V · gEg^{−1} = V × gEg^{−1}, und dies ist wieder ein Normalteiler von N.

(5) Wir verwenden nun Induktion. Wir beginnen mit V_{1} := E und können annehmen, daß dies ein echter Normalteiler von N ist, also finden wir g_{2} ∈ G mit V_{1} ∩ g_{2}Eg_{2}^{−1} = {1} und demnach V_{2} := V_{1} · g_{2}Eg_{2}^{−1} = V_{1} × g_{2}Eg_{2}^{−1} = E × g_{2}Eg_{2}^{−1}. Dies ist wieder ein Normalteiler von N. Ist dies ein echter Normalteiler, so erhalten wir g_{3} ∈ G mit V_{2} ∩ g_{3}Eg_{3}^{−1} = 1, also ist V_{3} := V_{2} · g_{3}Eg_{3}^{−1} = E × g_{2}Eg_{2}^{−1} × g_{3}Eg_{3}^{−1}, und so weiter.

(6) Es bleibt zu zeigen, daß E eine einfache Gruppe ist. Ist aber H ein Normalteiler von E, so ist H sogar ein Normalteiler von N, denn N = E × F mit F = g_{2}Eg_{2}^{−1} × ⋯ × g_{t}Eg_{t}^{−1} (jedes Element von E vertauscht mit allen Elementen von F).

Das einfachste derartige Beispiel ist die A_{4}, sie besitzt einen einzigen minimalen Normalteiler, nämlich V und V = C_{2} × C_{2}, oder, genauer, V = E × E′ mit E = ⟨(12)(34)⟩, und E′ = gEg^{−1}, wobei g = (123).

•_{{1}}•^{G} •^{V} ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{•}^{E}  ^{•}  ^{•}^{E′}_{.}_{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  _{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  _{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{•}  ^{•}  ^{•}  ^{•}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}

Normalreihen versus Ketten von Normalteilern. Ist G eine endliche Gruppe, so ist die Existenz einer Kompositionreihe offensichtlich: Man beginnt “von oben”, man wählt also einen maximalen Normalteiler G_{1} von G = G_{0}, dann einen maximalen Normalteiler G_{2} von G_{1} und so weiter; man erhält also eine Kette

G = G_{0} ▷ G_{1} ▷ ⋯ ▷ G_{t} = {1},

und die jeweiligen Faktoren G_{i−1}/G_{i} sind einfach (aus dem Bijektionssatz folgt nämlich: Ist H ein Normalteiler von G, so ist genau dann H maximal in G, wenn G/H einfach ist.) Zu betonen ist hier allerdings, daß die Untergruppen G_{i} in G zwar “subnormal”, aber meist nicht normal sind. Will man eine entsprechende Kette mit Normalteilern von G haben, so muß man auf die Bedingung dr Einfachheit der Faktoren verzichten. Was man verlangen kann, ist, daß jeder Faktor das Produkt von Kopien einer einfachen Gruppe ist:

Korollar. Ist G eine endliche Gruppe, so gibt es eine Kette von Normalteilern N_{i} von G

G = N_{0} ⊃ N_{1} ⊃ ⋯ ⊃ N_{t} = {1},

wobei jeder Faktor das Produkt von Kopien einer einfachen Gruppe ist.

Beweis: Hier beginnen wir “unten”: Wir wählen einen minimalen Normalteiler N von G. Nach Induktion können wir annehmen, daß G/N eine gewünschte Kette von Normalteilern besitzt; die entsprechenden Untergruppen können wir in der Form

G/N = N_{0}/N ⊃ N_{2}/N ⊃ ⋯ ⊃ N_{t−1}/N = {1},

schreiben, dabei ist N_{i} ein Normalteiler von G mit N ⊆ N_{i} ⊆ G und N_{i−1}/N_{i} ≃ (N_{i−1}/N)/(N_{i}/N) ist Produkt von Kopien einer einfachen Gruppe, für 1 ≤ i ≤ t − 1. Und, wie wir wissen, ist auch N = N_{t−1} Produkt von Kopien einer einfachen Gruppe.

3. Auflösbarkeit von Gruppen.

Die Kommutatorgruppe einer Gruppe. Ist G eine Gruppe, so bezeichnet man ein Element der Form aba^{−1}b^{−1} mit a, b ∈ G als einen Kommutator. Mit G′ wird die von den Kommutatoren erzeugte Untergruppe von G bezeichnet, man nennt sie die Kommutatorgruppe von G. Die Kommutatorgruppe G′ von G hat folgende Eigenschaften: G′ ist ein Normalteiler von G und G/G′ ist abelsch. Umgekehrt gilt: Ist N ein Normalteiler von G und ist G/N abelsch, so ist N ⊆ G′. Beweis: Seien a, b ∈ G. Sei π: G → G/N die kanonische Projektion. Es ist π(aba^{−1}b^{−1}) = π(a)π(b)π(a)^{−1}π(b)^{−1} = 1, also liegt aba^{−1}b^{−1} im Kern von π, also in N. Insgesamt sieht man also: Die Kommutatorgruppe G′ ist der kleinste Normalteiler in G mit abelscher Faktorgruppe.

Die folgende ganz offensichtliche Eigenschaft der Bildung der Kommutatorgruppe wird im Folgenden eine wichtige Rolle spielen: (∗) Ist H eine Untergruppe von G, so ist H′ ⊆ G′.

Wir können die Bildung der Kommutatorgruppe iterieren. Sei G^{(0)} = G und G^{(i+1)} = (G^{(i)})′ für i ≥ 0. Alle diese Untergruppen sind Normalteiler von G, denn man zeigt mühelos: Ist N ein Normalteiler von G, so ist auch N′ ein Normalteiler von G (denn N′ wird von den Elementen der Form aba^{−1}b^{−1} mit a, b ∈ N erzeugt; konjugieren wir dieses Element mit g ∈ G so erhalten wir ein Element, das wieder die Form cdc^{−1}d^{−1} mit c, d ∈ N hat, dabei ist c = gag^{−1} und d = gbg^{−1}).

Satz. Sei G eine endliche Gruppe. Die folgenden Eigenschaften sind äquivalent:

(i) Es gibt eine Kette von Untergruppen

{1} = G_{0} ⊂ G_{1} ⊂ ⋯ ⊂ G_{n} = G,

so daß G_{i−1} Normalteiler von G_{i} ist, und G_{i}/G_{i−1} Primzahlordnung besitzt. (ii) Es gibt Untergruppen G_{i} von G, die eine Kette

{1} = G_{0} ⊂ G_{1} ⊂ ⋯ ⊂ G_{n} = G

bilden, so daß G_{i−1} ein Normalteiler von G_{i} ist und alle Faktoren N_{i}/N_{i−1} abelsch sind (1 ≤ i ≤ n).

(iii) Es gibt eine natürliche Zahl n mit G^{(n)} = {1}. (iv) Für jede Untergruppe U ≠ {1} gilt: U′ ≠ U.

(v) Es gibt Normalteiler N_{i} von G, die eine Kette

{1} = N_{0} ⊂ N_{1} ⊂ ⋯ ⊂ N_{n} = G

bilden, so daß alle Faktoren N_{i}/N_{i−1} abelsch sind (1 ≤ i ≤ n). (vi) Es gibt Normalteiler N_{i} von G, die eine Kette

{1} = N_{0} ⊂ N_{1} ⊂ ⋯ ⊂ N_{n} = G

bilden, so daß alle Faktoren N_{i}/N_{i−1} elementar abelsch sind (1 ≤ i ≤ n).

Endliche Gruppen mit diesen Eigenschaften nennt man auflösbar. Die Aussage (i) läßt sich auch anders formulieren: Alle Kompositionsfaktoren sind abelsch (denn eine Kette mit den genannten Eigenschaften ist gerade eine Kompositionsreihe mit abelschen Faktoren).

Beispiele: (1) Jede endliche abelsche Gruppe ist auflösbar. Denn die Eigenschaft (v) ist offensichtlich erfüllt. (2) Jede Diedergruppe D_{n} ist auflösbar: Sie hat die C_{n} als Untergruppe, und der Index von C_{n} in D_{n} ist 2, also ist C_{n} ein Normalteiler von D_{n} (sieht man natürlich auch unmittelbar, wenn man D_{n} als Symmetriegruppe und C_{n} als Drehgruppe des regelmäßigen n-Ecks interpretiert). Die Gruppe C_{n} ist auflösbar und D_{n}/C_{n} ≃ C_{2}. (3) Die Gruppe A_{4} ist auflösbar. Dieses Beispiel zeigt, daß man nicht erwarten kann, in einer auflösbaren Gruppe eine Kompositionsreihe aus Normalteilern zu finden.

Beweis des Satzes: (i) ⟹ (ii): trivial

(ii) ⟹ (iii): Mit Induktion zeigen wir G^{(i)} ⊆ G_{n−i}. Für i = 0 ist nichts zu zeigen. Hat man diese Inklusion für ein i, so folgt aus (∗) daß gilt G^{(i+1)} ⊆ G′_{n−i}. Da G_{n−i−1} ein Normalteiler von G_{n−i} mit abelscher Faktorgruppe ist, ist G′_{n−i} ⊆ G_{n−i−1}.

(iii) ⟹ (iv): Sei U eine Untergruppe von G. Wegen (∗) ist U^{(i)} ⊆ G^{(i)} für alle i, insbesondere für i = n, also ist U^{(n)} = {1}. Ist nun U′ = U, so ist auch U^{(n)} = U, also U = {1}.

(iv) ⟹ (iii): Betrachte die Untergruppen der Form G^{(i)}. Ist G^{(i)} ≠ {1}, so ist G^{(i+1)} wegen (ii) eine echte Untergruppe von G^{(i)}, also erhalten wir eine echte absteigende Kette

G = G^{(0)} ⊇ G^{(1)} ⊇ ⋯ ⊇ G^{(t)}

die nach endlich vielen Schritten abbrechen muß: dies passiert aber nur, wenn es eine natürliche Zahl n mit G^{(n)} = 0 gibt.

(iii) ⟹ (v): Nimm die Kette

G = G^{(0)} ⊇ G^{(1)} ⊇ ⋯ ⊇ G^{(t)},

alle diese Untergruppen sind Normalteiler von G und alle Faktoren sind abelsch.

(v) ⟺ (vi): Zu zeigen ist nur, daß (v) aus (vi) folgt. Sei also eine Kette von Normalteilern N_{i} gegeben mit abelschen Faktoren N_{i}/N_{i−1}. Es ist N_{1} eine abelsche Gruppe, seo p ein Teiler von |N_{1}|. Die Menge U der Elemente mit Ordnung 1 oder p in N_{1} ist eine Untergruppe von N_{1} und sogar ein Normalteiler von G: denn für g ∈ G ist gUg^{−1} ⊆ N_{1} (da N_{1} ein Normalteiler von G ist) und besteht wieder aus Elementen der Ordnung 1 und p, also gUg^{−1} ⊆ U. Wir können also durch U die Kette verfeinern, das heißt: wie können annehmen, daß N_{1} schon elementar abelsch ist. Betrachte nun G/N_{1}. Mit Induktion sehen wir, daß G/N_{1} eine Normalteilerkette der gewünschten Form hat; verwende nun den Bijektionssatz.

(vi) ⟹ (i): trivial.

Bemerkung: Daß (vi) aus (i) folgt, sieht man auch mit Hilfe des Struktursatzes für minimale Normalteiler.

Vererbungs-Eigenschaften.

(a) Untergruppen und Faktorgruppen auflösbarer Gruppen sind auflösbar. Beweis: Sei G eine endliche Gruppe, die auflösbar ist. Sei U eine Untergruppe. Da G auflösbar ist, ist G^{(n)} = {1} für eine natürliche Zahl n. Wegen (∗) ist auch U^{(n)} = {1}, also ist auch U auflösbar.

Sei nun N ein Normalteiler von G. Die Eigenschaft (∗) läßt sich folgendermaßen verallgemeinern: Ist f: G → H ein Gruppenhomomorphismus, so ist f(G′) ⊆ H′, denn ein Kommutator wird unter f auf einen Kommutator abgebildet. Ist f surjektiv, so gilt sogar f(G′) = H′, denn jeder Kommutator in H ist Bild eines Kommutators in G. Allgemeiner gilt f(G^{(i)}) = H^{(i)} für jeden surjektiven Gruppenhomomorphismus f: G → H und jedes i. Ist also N ein Normalteiler und π: G → G/N der kanonische Gruppen-Homomorphismus, so ist π(G^{(i)}) = (G/N)^{(i)} für jedes i. Aus G^{(n)} = {1} folgt (G/N)^{(n)} = {1}. (Man kann natürlich auch (i) zusammen mit dem Satz von Jordan-Hölder verwenden: Die Kompositionsfaktoren von G/N sind Kompositionsfaktoren von G.)

(b) Sei G eine endliche Gruppen, N ein Normalteiler von G. Sind die Gruppen G/N und N auflösbar, so ist auch G auflösbar.

Zum Beweis verwendet man den Bijektionssatz (für Untergrupppen, die N enthalten) und den dritten Isomorphiesatz.

4. Gruppen-Operationen

Sei G eine Gruppe, M eine nicht-leere Menge. Einen Homomorphismus ϕ: G → S_{M} nennt man eine Operation der Gruppe G auf der Menge M. Man schreibt für g ∈ G und x ∈ M oft g · m oder gm statt ϕ(g)(m); man bildet also die Abbildung G × M → M mit (g, m) ↦ gm = ϕ(g)(m), sie erfüllt die folgende Bedingung: (O1) Für g_{1}, g_{2} ∈ G und x ∈ M gilt (g_{1}g_{2})x = g_{1}(g_{2}x). Ist umgekehrt eine Abbildung G × M → M mit der Bedingung (O1) gegeben, und definiert man ϕ: G → S_{M} durch ϕ(g)(x) = gx für g ∈ G und x ∈ M, so ist ϕ ein Gruppen-Homomorphismus. (Häufig wird neben (O1) noch die Bedingung (O2) 1 · x = x für alle x ∈ M notiert, diese Bedingung folgt aber aus (O1), denn jeder Gruppen-Homomorphismus bildet das Einselement auf das Einselement ab.)

Die Gruppe G operiere auf der Menge M und es sei x ein Element von M. Man nennt die Teilmenge Gx = {gx | g ∈ G} ⊆ M die Bahn von x unter G. Wir definieren eine Relation ∼ auf der Menge M auf folgende Weise: für x, y ∈ M sei x ∼ y genau dann, wenn g ∈ G mit gx = y existiert; diese Relation ∼ ist eine Äquivalenzrelation (nachrechnen!) und die Äquivalenzklassen sind gerade die Bahnen. Ist X ⊆ M eine Bahn, so nennt man |X| die Länge der Bahn X. Eine Gruppen-Operation heißt transitiv, wenn es nur eine Bahn gibt. Man nennt G_{x} = {g ∈ G | gx = x} den Stabilisator von x bezüglich der gegebenen Gruppen-Operation. Der Stabilisator von x ist eine Untergruppe von G (nachrechnen!).

Fundamental-Lemma. Sei G eine endliche Gruppe, G operiere auf der Menge M, sei x ∈ M. Dann gilt

|G| = |G_{x}| · |Gx|.

(Gruppen-Ordnung = Bahnenlänge mal Stabilisator-Ordnung).

Beweis: Definiere eine Abbildung β: G → Gx durch β(g) = gx. Diese Abbildung ist surjektiv. Wir werden zeigen, daß für jedes y ∈ Gx die Kardinalität von β^{−1}(y) gerade |G_{x}| ist.

Sei etwa y = hx mit h ∈ G. Wir behaupten, daß gilt:

β^{−1}(hx) = hG_{x}.

Einerseits: Ist g ∈ G_{x}, so ist β(hg) = (hg)x = h(gx) = hx, also hg ∈ β^{−1}(hx). Dies zeigt die Inklusion hG_{x} ⊆ β^{−1}(hx). Umgekehrt sei g ∈ β^{−1}(hx), also gx = β(g) = hx. Aus gx = hx folgt h^{−1}gx = x, daher ist h^{−1}g ∈ G_{x}, und demnach g ∈ hG_{x}.

Nun ist aber |hG_{x}| = |G_{x}|, für jedes h ∈ G. Wir sehen: Die Urbilder unter β der einzelnen Elemente y ∈ Gx haben die gleiche Kardinalität, nämlich |G_{x}|. Die Kardinalität von G ist demnach gegeben durch

|G| = ∑_{y∈Gx} β^{−1}(y) = ∑_{y∈Gx} |G_{x}| = |Gx| · |G_{x}|.

Beispiel. Sei G die Symmetriegruppe des Würfels, sei H ⊂ G die Drehgruppe des Würfels. Die Drehgruppe H des Würfels hat die Ordnung 24, die volle Symmetriegruppe G des Würfels hat die Ordnung 48.

._{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}_{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  _{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}_{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} 1  2 3 4 5  6 7 8

Denn G und H operieren transitiv auf den Ecken des Würfels, die Bahn einer Ecke besteht also aus 8 Elementen. Der Stabilisator in H einer Ecke x besteht aus genau drei Drehungen, also hat die Gruppe die Ordnung 8·3 = 24, der Stabilisator von x in H enthält zusätzlich noch drei Spiegelungen (etwa für die Ecke x = 1 die Spiegelungen mit den Spiegelungsebenen, die durch die drei Kanten \overline{12}, \overline{14}, \overline{15} gehen).

Schauen wir uns einen Würfel genauer an. Er hat 6 Flächen, 8 Ecken, 12 Kanten. Zu jeder Fläche, zu jeder Ecke, zu jeder Kante gibt es genau eine gegenüberliegende. Wir bezeichnen mit F die Menge der Flächen, mit E die der Ecken, mit K die der Kanten. Sei F′ die Menge der (ungeordneten) Paare gegenüberliegender Flächen, sei E′ bzw. K′ die der (ungeordneten) Paare gegenüberliegender Ecken bzw. Kanten. Es ist |F′| = 3, |E′| = 4, |K′| = 6. Man kann sich E′ auch als die Menge der vier Würfeldiagonalen vorstellen, denn je zwei gegenüberliegender Ecken liefern eine 23 Algebra I (SS 2001)

Würfeldiagonale. Schließlich betrachten wir die beiden Eckenquadrupel, die aus jeweils 4 paarweise nicht-benachbarter Ecken bestehen, und nennen die Menge dieser beiden Eckenquadrupel E′′. Bei unserer Nummerierung der Ecken besteht E′ aus den vier Mengen {1, 7}, {2, 8}, {3, 5} und {4, 6}, und E′′ aus den beiden Mengen {1, 3, 6, 8} und {2, 4, 5, 7}.

⟵ E′ ⟶  ⟵ E′′ ⟶_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}  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Offensichtlich operiert G auf allen diesen Mengen (in kanonischer Weise), wir erhalten demnach eine Fülle von Gruppen-Homomorphismen

G → S_{F} = S_{6}  G → S_{E} = S_{8}  G → S_{K}= S_{12} G → SF′ = S3  G → SE′ = S4  G → SK′ = S6  G → SE′′ = S2

Weitere Beispiele typischer Gruppen-Operationen:

(a) Linksmultiplikation auf der Menge der Linksnebenklassen. Sei U eine Untergruppe der Gruppe G. Die Gruppe G operiert auf der Menge U der Linksnebenklassen gU durch Linksmultiplikation (daß es sich hier um eine Gruppen-Operation handelt, ist einfach zu verifizieren). Der Stabilisator von U ist nichts anderes als die Untergruppe U selbst. Die Operation von G auf der Menge U der Linksnebenklassen ist offensichtlich transitiv, also ist U die Bahn von U und die Bahnenlänge ist der Index [G : U]. Insgesamt sehen wir, daß die Gleichung |G| = |U| · [G : U] ein Spezialfall des Fundamental-Lemmas ist.

(b) Konjugation: G operiert auf G vermöge g ∗ x = gxg^{−1} (für g, x ∈ G). Die Bahn von x ∈ G unter dieser Operation nennt man die Konjugiertenklasse von x, den Stabilisator von x nennt man den Zentralisator von x. Das Fundamentallemma besagt insbesondere: Die Anzahl der Elemente in einer Konjugiertenklasse von G ist ein Teiler von |G|.

5. p-Untergruppen: Die Sylow-Sätze

Sei G eine Gruppe. Man nennt ein Element g ∈ G ein p-Element, falls die Ordnung von g eine Potenz von p ist. Man nennt eine endliche Gruppe G eine p-Gruppe, falls die Ordnung von G eine Potenz von p ist.

Satz. Sei G eine endliche p-Gruppe.

(a) Ist G ≠ {1}, so besitzt G ein zentrales Element der Ordnung p.

(b) Es gibt Normalteiler N_{i} von G, die eine Kette

{1} = N_{0} ⊂ N_{1} ⊂ ⋯ ⊂ N_{n} = G

bilden, so daß alle Faktoren N_{i}/N_{i−1} die Ordnung p haben (1 ≤ i ≤ n). Insbesondere gibt es also zu jedem Teiler der Gruppenordnung eine Untergruppe mit dieser Ordnung.

Beweis: (a) Betrachte das Konjugieren von G auf G als Gruppen-Operation. Alle Bahnenlängen sind p-Potenzen. Es gibt eine Bahn der Länge 1, nämlich die des Einselements. Die Anzahl der Bahnen der Länge 1 muß durch p teilbar sein, es gibt also mindestens ein Element 1 ≠ h ∈ G, das zum Zentrum von G gehört. Die Ordnung von h ist eine p-Potenz, etwa p^{s}. Dann ist g = h^{p^{s−1}} ein Element der Ordnung p. Mit h ist auch g zentral.

(b): Beweis mit Induktion nach |G|. Sei G ≠ {1}. Wegen (b) gibt es ein zentrales Element g der Ordnung der Ordnung p, sei also N = ⟨g⟩, dies ist ein Normalteiler. Nach Induktion besitzt G/N eine Kette von Normalteilern, deren Faktoren Ordnung p haben. Nach dem Bijektionssatz können wir diese Normalteiler in der Form N_{i}/N_{1} schreiben, dabei ist N_{1} ⊆ N_{i} ⊴ G.

Folgerung. Endliche p-Gruppen sind auflösbar.

Nun wenden wir uns beliebigen endlichen Gruppen zu und suchen nach Untergruppen, die p-Gruppen sind (man nennt sie p-Untergruppen). Nicht-triviale p-Untergruppen kann eine Gruppe G natürlich nur besitzen, wenn g die Gruppenordnung |G| teilt (nach dem Satz von Lagrange). Ist G eine Gruppe der Ordnung p^{t}m mit (p, m) = 1, und U eine Untergruppe der Ordnung p^{t}, so nennt man U eine p-Sylow-Untergruppe.

Beispiel: Eine p-Sylow-Untergruppe von GL_{n}(k), wobei k ein Körper der Charakteristik p ist.

Ist |k| = q, so ist |G| = (q^{n} −1) ⋯ (q^{n} −q^{n−1}) = q^{\binom{n}{2}} ∏_{i=1}^{n}(q^{i} −1), dabei ist q^{\binom{n}{2}}

eine Potenz von q, während keiner der übrigen Faktoren durch p teilbar ist. Und es gilt: q^{\binom{n}{2}} ist gerade die Ordnung der “Borel-Untergruppe” B aller unipotenten oberen Dreiecksmatrizen. Da die Ordnung von B eine Potenz von p ist, ist B eine p-Gruppe.

Um genauer das Potenzieren mit p zu überblicken, bezeichnen wir mit B_{t} die Menge der Matrizen (b_{ij})_{ij} in B mit b_{ij} = 0 falls j − i < t. Im Fall n = 5 erhalten wir folgende Untergruppen B_{1}, B_{2}, B_{3}, B_{4}, B_{5}:

[ \begin{matrix}1 & ∗ & ∗ & ∗ & ∗ \\ & 1 & ∗ & ∗ & ∗ \\ & & 1 & ∗ & ∗ \\ & & & 1 & ∗ \\ & & & & 1 \end{matrix} ] ⊃ [ \begin{matrix}1 & 0 & ∗ & ∗ & ∗ \\ & 1 & 0 & ∗ & ∗ \\ & & 1 & 0 & ∗ \\ & & & 1 & 0 \\ & & & & 1 \end{matrix} ] ⊃ [ \begin{matrix}1 & 0 & 0 & ∗ & ∗ \\ & 1 & 0 & 0 & ∗ \\ & & 1 & 0 & 0 \\ & & & 1 & 0 \\ & & & & 1 \end{matrix} ] ⊃ [ \begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 & ∗ \\ & 1 & 0 & 0 & 0 \\ & & 1 & 0 & 0 \\ & & & 1 & 0 \\ & & & & 1 \end{matrix} ] ⊃ \{I_{5}\}

Wichtig nun ist, daß gilt: B_{t}^{p} ⊆ B_{t+1} (dies läßt sich mühelos nachrechnen und beruht darauf, daß p die Charakteristik von k ist). Insbesondere zeigt dies: Die Ordnung eines Elements in B_{t} ist ein Teiler von p^{n−t}, die Ordnung eines Elements in B ist also ein Teiler von p^{n−1}.

Satz (Sylow). Sei G endliche Gruppe, sei p eine Primzahl.

(a) Es gibt p-Sylow-Untergruppen. Die Anzahl dier p-Sylow-Untergruppen von G ist kongruent 1 modulo p, und ein Teiler von |G|.

(b) Alle p-Sylow-Untergruppen von G sind konjugiert.

(c) Jede p-Untergruppe von G ist in einer p-Sylow-Untergruppe enthalten.

Schreiben wir |G| = p^{t}m mit (p, m) = 1, so haben die p-Sylow-Untergruppen die Ordnung p^{t}. Da die Anzahl a_{p} der p-Sylow-Untergruppen von G ein Teiler von |G ist, ist a_{p} sogar ein Teiler von m (denn a_{p} ist auch kongruent 1 modulo p).

Eine typische Anwendung von Teil (b): Ist 1 der einzige Teiler von n, der kongruent 1 modulo p ist, so besitzt jede Gruppe der Ordnung n eine einzige p-Sylow-Untergruppe. Diese Untergruppe muß ein Normalteiler sein!

Betrachten wir zum Beispiel eine Gruppe G der Ordnung 15. Die Teiler von 15 sind 1,3,5,15. Außer 1 ist keine dieser Zahlen kongruent 1 modulo 3, also gibt es genau eine 3-Sylow-Untergruppe P_{3}; außer 1 ist keine dieser Zahlen kongruent 1 modulo 5, also gibt es genau eine 5-Sylow-Untergruppe P_{5}. Die Untergruppe P_{3} hat Ordnung 3, also ist sie zyklisch; die Untergruppe P_{5} hat Ordnung 5, also ist sie ebenfalls zyklisch. Andererseits ist die Gruppe G isomorph zum Produkt P_{3}×P_{5}≃C_{3}×C_{5}, und C_{3}×C_{5}≃C_{15}. Wir sehen also: Bis auf Isomorphie gibt es nur eine Gruppe der Ordnung 15.

Zum Beweis werden wir gewisse Gruppen-Operationen betrachten. Ist G eine Gruppe, so kann man mit Hilfe der Gundmenge von G einige Mengen definieren, auf denen G operiert: zum Beispiel werden wir alle Teilmengen von G mit Kardinalität p^{t} betrachten: G operiert auf der Menge M dieser Teilmengen durch Linksmultiplikation. Auch operiert G vermöge Konjugation auf der Menge Y aller Untergruppen der Ordnung p^{t}. Bevor wir mit dem eigentlichen Beweis beginnen, brauchen wir folgenden Hilfssatz.

Hilfssatz. Sei p eine Primzahl, sei m eine natürliche Zahl, mit (p, m) = 1. Sei t ∈ ℕ_{0}. Dann ist \binom{p^{t}m}{p^{t}} nicht durch p teilbar.

Beweis: Es ist

\binom{p^{t}m}{p^{t}} = \frac{p^{t}m · (p^{t}m − 1) · (p^{t}m − 2) ⋯ (p^{t}m − (p^{t} − 1))}{p^{t} ·  1  ·  2  ⋯  (p^{t} − 1)}

dabei haben wir im Nenner den üblicherweise ganz rechts stehenden Faktor p^{t} nach links verschoben. Auf diese Weise stehen übereinander zuerst die Zahlen p^{t}m und p^{t} und danach jeweils die Zahlen (p^{t}m − i) und i, mit 1 ≤ i ≤ p^{t} − 1. Auf diese Weise kürzen sich alle Faktoren der Form p: Dies ist richtig für das erste Paar p^{t}m und p^{t}, hier verwenden wir, daß (p, m) = 1 gilt. Für die weiteren Paare schreiben wir p^{i} = p^{s}n mit (p, n) = 1. Wegen 1 ≤ i < p^{t} gilt p^{s} < p^{t}, also s < t. Schreiben wir jetzt p^{t}m − i = p^{t}m − p^{s}n = p^{s}(p^{t−s}m − n), so sehen wir, daß diese Zahl durch p^{s} teilbar ist. Sie ist aber nicht durch p^{s+1} teilbar, denn sonst wäre p ein Teiler von p^{t−s}m − n, also, wegen t − s ≥ 1 auch von n, aber wir haben (p, n) = 1 vorausgesetzt.

Beweis von (a). Sei also |G| = p^{t}m mit (p, m) = 1. Sei M die Menge der Teilmengen von |G|, die genau p^{t} Elemente enthalten. G operiert auf M durch Linksmultiplikation. Für M ∈ M ist der Stabilisator G_{M} die Untergruppe G_{M} = {g ∈ G | gM = M}.

Wir zeigen: Es gibt ein M ∈ M mit p^{t} teilt die Ordnung |G_{M}|. Seien B_{i} (i ∈ I) die Bahnen der Gruppen-Operation von G auf M. Sei jeweils G_{i} der Stabilisator eines Elements M_{i} in B_{i}, also gilt

\binom{p^{t}m}{p^{t}} = |X | = ∑_{i∈I} |B_{i}| = ∑_{i∈I}[G : G_{i}].

Da die Zahl p die linke Seite nicht teilt, gibt es mindestens einen Summanden, so daß diese Zahl auch [G : G_{i}] nicht teilt. Nun teilt aber p^{t} die Gruppenordnung |G| = |G_{i}|[G : G_{i}], also gilt: p^{t} teilt |G_{i}|. Ist also B_{i} die Bahn von M = M_{i}, so ist G_{i} = G_{M}.

Wir haben einen Stabilisator gefunden, dessen Ordnung durch p^{t} teilbar ist, der also mindestens p^{t} Elemente enthält. Andererseits gilt für jede Teilmenge M mit p^{t} Elementen: der Stabilisator dieser Teilmenge kann höchstens p^{t} Elemente enthalten: denn fixieren wir ein Element x_{0} ∈ M, so ist gx ∈ M für jedes g ∈ G_{M}; wir erhalten also durch g ↦ gx_{0} eine Abbildung G_{M} → M und diese Abbildung ist injektiv. Dies zeigt: |G_{M}| = p^{t}. Damit haben wir eine Untergruppe mit Ordnung p^{t} gefunden.

Wir zeigen: Sei U eine p-Untergruppe, sei P eine p-Sylow-Untergruppe, dann gibt es g ∈ G mit U ⊆ gP g^{−1}. Daraus folgt sowohl (b) als auch (c). Wir können annehmen: p teilt |G|.

Sei Y die Menge der Untergruppen der Ordnung p^{t}. Es ist also P ∈ Y. Die Gruppe G operiert auf dieser Menge per Konjugation. Sei G ∗ P die Bahn von P, und G_{P} der Stabilisator. Es ist P ⊆ G_{P}, also ist p kein Teiler von |G ∗ P | (denn p ist kein Teiler von [G : P] und [G : P] = [G : G_{P}] · [G_{P} : P]). Sei nun U eine p-Untergruppe. Betrachte die Bahnen von U auf G ∗ P. Alle Bahnenlängen sind p-Potenzen p^{i} (denn Teiler von |U|). Da die Summe dieser Zahlen nicht durch p teilbar ist, gibt es eine Bahn der Länge 1, also ein P′ = g ∗ P mit u ∗ P′ = P′ für alle u ∈ U. Da P und P′ die gleiche Ordnung haben, ist auch P′ eine p-Sylowgruppe, und es ist uP′u^{−1} = u ∗ P′ = P′ für alle u ∈ U. Es genügt also, folgenden Hilfssatz zu zeigen:

Hilfsatz: Sei P eine p-Sylow-Untergruppe und sei U eine p-Untergruppe. Gilt uP u^{−1} = P für alle u ∈ U, so ist U ⊆ P.

Aus uP u^{−1} = P für alle u ∈ U folgt uP = P u für alle u ∈ U. Der zweite Isomorphiesatz besagt: Es ist UP eine Untergruppe von G; es ist P ein Normalteiler von UP und es gilt UP/P ≃ U/(U ∩ P). Also ist |UP/P | = |U/(U ∩ P)| und dies ist ein Teiler von |U| (denn U/(U ∩ P) ist eine Faktorgruppe von U), also eine Potenz der Primzahl p. Andererseits ist die Ordnung von UP/P gar nicht durch p teilbar (denn |UP/P | = [UP : P] und dies ist wegen P ⊆ UP ⊆ G ein Teiler von [G : P]). Wir sehen: es ist |UP/P | = 1, also gilt P = UP, also U ⊆ P.

Beweis von (a), zweiter Teil. Sei wieder Y die Menge der p-Sylow-Untergruppen und G operiere auf Y durch Konjugation. Nach (b) ist dies eine Bahn, und Bahnenlängen sind Teiler der Gruppenordnung. Also ist die Anzahl der p-Sylow-Untergruppen ein Teiler von |G|.

Nun lassen wir P auf Y durch Konjugation operieren. Alle Bahnen haben p-Potenz-Ordnung. Es ist {P } eine Bahn, die übrigen Bahnen sind nicht Fixpunkte. (Denn ist P′ eine p-Sylow-Untergruppe und wird P′ von P normalisiert, so gilt P ⊆ P′, siehe den letzten Hilfssatz, also P = P′). Es folgt, daß die Anzahl der p-Sylow-Untergruppen kongruent 1 modulo p ist.

Folgerung. Sei G eine endliche Gruppe und p eine Primzahl. Ist p^{s} ein Teiler von |G|, so gibt es eine Untergruppe von G der Ordnung p^{s}. (Diese Untergruppen sind üblicherweise nicht konjugiert).

Dies folgt aus den beiden vorangehenden Sätzen. Für den Nachsatz betrachte die Gruppe A_{4} und p = 2, s = 1: es gibt drei Untergruppen der Ordnung 2, und diese sind nicht konjugiert.

Insbesondere sehen wir (Satz von Cauchy): Ist G eine endliche Gruppe und ist p ein Teiler von |G|, so besitzt G ein Element der Ordnung p.