Überblick: Algebra I
Im Mittelpunkt der Voresung steht die sogenannte
Galois-Theorie, die entwickelt wurde, um das Verhalten der Nullstellen
einer algebraischen Gleichung
mit Koeffizienten in einem Körper k (wie dem der
komplexen Zahlen) zu studieren. Die dabei entwickelte Beziehung
zwischen Unterkörpern von k und Untergruppen einer (endlichen) Gruppe
G ist einerseits ein effektiv einsetzbares Hilfsmitteln zur
Konstruktion von Nullstellen, liefert aber andererseits
überraschende Einsichten. Das reizvolle Zusammenspiel von
Gruppen und Körpern wurde in vielen anderen mathematischen Gebieten
in analogen Situationen kopiert.
Zu thematisieren sind in der Vorlesung Gruppen und Körper; die
Struktur derartiger algebraischer Objekte soll analysiert werden.
In der Vorlesung soll herausgearbeitet werden, welche Hilfe die Betrachtung
abstrakter algebraischer Strukturen bieten kann.
Die Vorlesung schließt an die Vorlesungen Lineare Algebra I und II an,
vorausgesetzt werden gewisse Kenntnisse über Vektorräume und
lineare Abbildungen und das Rechnen im Körper C.
Zur Vorlesung gibt es wieder begleitende Tutorien.
Die Vorlesung setzt die Mitarbeit in den Übungen,
insbesondere das selbständige
Lösen der wöchentlichen Übungsaufgaben voraus.
Literatur: Es gibt viele Bücher, die den Stoff der Vorlesung
Algebra I darstellen, insbsondere gilt als
klassisches Buch das von Van der Waerden, das früher "Moderne
Algebra I, II" hieß, jetzt aber einfach den Titel "Algebra I, II"
trägt. Erwähnt werden sollen daneben die Algebra-Bücher vor allem
von F. Lorenz, aber auch von Lang, Jacobson und Meyberg.
Voraussetzungen
Vorausgesetzt werden nur die üblichen Kenntnisse in Linearer Algebra.
Woche für Woche
Gruppen
- 17. und 19.April: Die Einfachheit der alternierenden Gruppen.
- 24. und 26.April: Die Noetherschen Isomorphiesätze, die Einfachheit
der Gruppen PSLn(k).
- 3.Mai: Gruppen-Operationen. Das Fundamental-Lemma.
- 8. und 10.Mai: Sylow-Sätze.
- 15.Mai: Auflösbare Gruppen
Körper
- 17.Mai: Grundbegriffe Körper
- 22.Mai: Gradsatz, algebraische Elemente, Kronecker-Konstruktion
von Oberkörpern.
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Weiterführende Veranstaltungen
Die Vorlesung wird im WS 2001/2002 fortgesetzt, diese Veranstaltung
Algebra II dient dann
gleichzeitig als Beginn einer Spezialisierungssequenz,
die u.a. Fragen der Darstellungstheorie von Algebren gewidmet sein wird.
Fakultät für Mathematik, Universität Bielefeld
Verantwortlich: C.M.Ringel
E-Mail:
ringel@mathematik.uni-bielefeld.de