Bücher

• O. Forster: Einführung in die Zahlentheorie SS 2004.
  Partiell sind Ausarbeitungen als pdf-Files vorhanden.
  1. Die Fibonacci-Zahlen (pdf)
  2. Teilbarkeit. Der Euklidische Algorithmus (pdf)
  3. Primfaktor-Zerlegung
  4. Die Menge der Primzahlen. Bertrandsches Postulat (pdf. vorläufige Version)
  5. Idealtheoretische Interpretation der Teilbarkeit
  6. Rechnen mit Kongruenzen. Chinesischer Restsatz
  7. Arithmetische Funktionen. Möbiussche Umkehrformel (pdf)
  8. Die Sätze von Fermat, Euler und Wilson
  9. Primitivwurzeln (pdf, vorläufige Version)
  10. Periodische Dezimalbrüche
  11. (p-1)-Primzahltests
  12. Einfache Faktorisierungs-Methoden (pdf)
  13. Der diskrete Logarithmus (pdf)
  14. Public-Key-Kryptographie
  15. Quadratische Gleichungen modulo m (pdf, vorlufige Version)
  16. Das Quadratische Reziprozittsgesetz (pdf)
  17. Probabilistische Primzahltests
  18. Quadratische Erweiterungenen
  19. Der (p+1)-Primzahltest. Mersennsche Primzahlen
  20. Summen von Quadraten

• H. Scheid: Zahlentheorie. BI-Wissenschaftsverlag, 2.Aufl. 1994
  1. Teilbarkeit ganzer Zahlen
  2. Integritätbereiche
  3. Restklassen
  4. Kongruenzen und diophantische Gleichungen
  5. Zahlentheoretische Funktionen
  6. Der Primzahlsatz
  7. Elemente der Additiven Zahlentheorie
  8. Siebmethoden

• G. Frey: Elementare Zahlentheorie, Vieweg, 1983
  1. Teilbarkeitslehre
  2. Kongruenzen
  3. Komplettierungen von Q
  4. Quadrate in Q_p
  5. Quadratische Formen über Q und Q_p
  6. Quadratische Zahlkörper
  7. Anhang: Der Primzahlsatz von Dirichlet
     • Ist (a,m)=1, so gibt es unendliche viele Primzahlen, die kongruent a modulo m sind.

• I.Niven, H.S.Zuckermann: Einführung in die Zahlentheorie I, II. BI-Tachenbücher, Mannheim 1976.
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  Band I:
  1. Teilbarkeit
  2. Kongruenzen
  3. Quadratische Reziprozität
  4. Funktionen in der Zahlentheorie
  5. Diophantische Gleichungen
  6. Fareybrüche und irrationale Zahlen

     Band II:

  7. Kettenbrüche
  8. Elementare Bemerkungen über die Verteilung der Primzahlen
     • Insbesondere 8.3: Das Bertrandsche Postulat
  9. Algebraische Zahlen
  10. Die Partitionsfunktionen
  11. Die Dichte von Folgen ganzer Zahlen
  Ergänzende Bemerkungen:
  Insbesondere: Ein gruppentheoretischer Beweis für die Existenz einer Primitivwurzel modulo p.
  Und: Die Gruppe der rationalen Punkte auf dem Einheitskreis...

• R. Remmert, P Ullrich: Elementare Zahlentheorie. Birkhäuser 1986, 1995.
  1. Primzerlegungen in Z und Q
  2. Theorie des größten gemeinsamen Teilers in Z
  3. Zahlentheorie in allgemeinen Integritätsringen
  4. Der g-adische Algorithmus
  5. Kongruenzen und Restklassenringe
  6. Prime Restklassengruppen
     (d.h.: Die Einheitengruppen U(Z/Zm) des Rings Z/Zm;
     als Menge kann dies mit der Menge der zu m teilerfremden Zahlen zwischen 1 und m identifiziert werden.)
     • 6.1 Elementare Gruppentheorie
     • Zyklische prime Restklassengruppen.
  7. Theorie der quadratischen Reste.

• W.Sierpinski: Elementary Number Theory. Polska Academia Nauk, Warszawa 1964
  1. Divisibility and indeterminate equations of first degree
  2. Diophantine analysis of second and higher degrees
  3. Prime numbers
     Let 2 = p₁ < p₂ < p₃ < ... be the sequence of prime numbers.
     • 3.10, Theorem 9: For k > 3, we have p_k+2 < 2p_k.
  4. Number of divisors and their sum
  5. Congruences
  6. Euler's totiet function and the theorem of Euler
  7. Representation of numbers by decimals in a given scale
  8. Continued fractions
  9. Legendre's symbol and Jacobi's symbol
     • 9.2. Quadratic reciprocity law.
  10. Mersenne numbers and Fermat numbers
  11. Representations of natural numbers as sums of non-negative k-th powers
  12. Some problems of the additive theory of numbers.
  13. Complex integers

• B.A.Venkov: Elementary Number Theory. Wolters-Noordhoff, Groningen 1970.
  1. Basic concepts. (p.1-31)
     • Factorisation of a number into prime factors; Euclidean algorithm
     • Euler and Fermat; linear congruences
     • Lagrange and Wilson
     • Primitive roots, indices, binary congruences
     • Bernouilli numbers
     • Quadratic residues; Gauss's thord proof
  2. Continued fractions and diaophantine approximations
  3. Power residues
  4. Gauss' theory of quadratic forms
  5. Partitions. Liouville' method
  6. The class number of binary quadratic forms.

• G.H.Hardy, E.M.Wright: An introduction to the theory of numbers. Oxford 1938.
  1. The series of primes (1)
  2. The series of primes (2)
  3. Farey series and a theorem of Minkowski
  4. Irrational numbers
  5. Congurences and residues.
  6. Fermat's theorem and its consequences
     • 6.12. The law of reciprocity.
  7. General properties of congruences
  8. Congruences to composite moduli
  9. The representation of numbers by decimals
  10. Continued fractions
  11. Approximation of irrationals by rationals
  12. The fundamental theorem of arithmetic in k(1), k(i) and k(p)
  13. Some diophantine equations
  14. Quadratic fields (1)
  15. Quadratic fields (2)
  16. The arithmetical functions φ(n); μ(n); d(n); σ(n); r(n).
  17. Generating functions of arithmetical functions
  18. The order of magnitude of arithmatical functions.
  19. Partitions
  20. The representation of a number by two ir four squares
  21. Representations by cubes and higher powers
  22. The series of primes (3)
  23. Kronecker's theorem
  24. Geometry of numbers

• H. Hasse: Vorlesungen über Zahlentheorie.
  Erster Abschnitt: Grundlagen
  1. Primzerlegung
  2. Größter gemeinsamer Teiler
  3. Vollkommene Zahlen, Mersennesche und Fermatsche Primzahlen
  4. Kongruenz, Restklassen
  5. Die Struktur der primen Restklassengruppen.

     Zweiter Abschnitt: Quadratische Reste

  6. Definition, Reduktion, Kriterien
  7. Das quadratische Reziprozitätsgesetz: Elementarer Beweis.
  8. Das quadratische Reziprozitätsgesetz: Beweis mit Gaußschen Summen.
  9. Die Jacobische Verallgemeinerung
  10. Verteilungsfragen über quadratische Reste nach einer Primzahl.

      Dritter Abschnitt: Der Dirichletsche Primzahlsatz

  11. Elementare Sonderfälle
  12. Die Methode von Dirichlet
  13. Die Charaktere endlicher ablescher Gruppen, Restklassencharaktere
  14. Der Beweis von Dirichlet
  15. Das Nichtverschwinden von L-Reihen

      Viter Abschnitt: Quadratische Zahlkörper

  16. Elementare Teilbarkeitslehre
  17. Divisorentheorie
  18. Bestimmung der Klassenzahl
  19. Quadratische Zahlkörper und quadratisches Reziprozitätsgesetz
  20. Systematische Theorie der Gaußschen Summen.

• P. Bundschuh: Einführung in die Zahlentheorie. Springer
  1. Teilbarkeit.
     Fundamentalsatz; ggt und kgV; lineare diophantische Gleichungen; zahlentheoretische Funktionen; Teilbarkeit in Integritätsringen; algebraische Zahlkörper - insbesondere quadratische.
  2. Kongruenzen.
     Lineare Kongruenzen; simultane lineare Kongruenzen; die Sätze von Fermat, Euler, Wilson; polynomiale Kongruenzen; Primitivwurzeln.
  3. Potenzrestes, insbesondere quadratische Reste.
     Indexrechnung und Potenzreste; quadratische Reste; Verteilung quadratischer Reste.
  4. Additive Probleme und diophantische Gleichungen.
     Potenzsummen, insbesondere Quadratsummen; polynomiale diophantische Gleichungen; die Pellsche Gleichung und Vereandtes.
  5. Verschiedene Entwicklungen reeller Zahlen
     Die g-adische Entwicklung; die Cantorsche Entwicklung und weitere Irrationalitätskriterien; die regelmäße Kettenbruchentwicklung.
  6. Transzendenz.
     Entdeckung der Transzendenz; Schärfere Approximationssätze; die Sätze von Hermite, Lindemann, Weiersträszlig;; die Methode von Hermite-Mahler; der Satz von Gelfond-Scheider.
  7. Primzahlen
     Elementare Ergebnisse; Anzahlfunktion: Tchebychef's Sätze; der Primzahlsatz.

• K. Ireland, M.I. Rosen: Elements of number theory. Including an introduction to equations over finite fields. Bogden & Quigley, NY 1972.
  1. Unique factorization
  2. Applications of unique factorization
     • 2.3, Theorem 2: Σ 1/p diverges (summation over all prime numbers).
  3. Congruence
  4. The structure of U(Z/Zn)
  5. Quadratic reciprocity
  6. Quadratic Gauss sums
  7. Finite fields
  8. Gauss and Jacobi sums
  9. Cubic reciprocity
  10. Equations over finite fields
  11. The zeta function

• K.H. Rosen: Elementary number theory and its applications. Addison-Wesley. Reading 1984.
  1. The integers
  2. Greatest common divisors and prime factorization
  3. Congruences
  4. Applications of congruences
  5. Some special congruences
  6. Multiplicative functions
  7. Cryptology
  8. Primitive roots
  9. Quadratic residues and reciprocity.
  10. Decimal fractions and continued fractions
  11. Some nonlinear diophantine equations.
      • Pythagoren triples, Fermat's last theorem, Pell's equation.

• H. M. Stark: An introduction to number theory, Markham Publishing Co., Chicago, Ill.

Number Theory

• H.Scholz, B.Schöneberg: Einführung in die Zahlentheorie.
• Borevic, Schafarevic: Zahlentheorie
• H. Davenport: The higher arithmetic: an introduction to the theory of numbers
• O. Forster: Algorithmische Zahlentheorie, Vieweg 1997
• H. Opolka, W. Scharlau: Von Fermat bis Minkowski, Springer 1980
• D. Niven: Rational numbers (Carus Math. Monographs)
• K. Chandrasekharan: Introduction to analytic number theory. Springer
• Hua
• P. Ribenboim, The book of prime number records, Springer, New York, 1988.

• G.J.O. Jameson: The prime number theorem. London Math. Society. Student Texts 53. Cambridge University Press 2003.
  1. Foundations
  2. Some important Dirichlet series an arithmetic functions
  3. The basic theorems
     3.5 Some applications of the prime number theorem.
  4. Prime numbers in residue classes: Dirichlet's theorem
  5. Error estimates and the Riemann hypothesis
  6. An "elementary" proof of the prime number theorem