Mathematik für Biologen WS 2002/3

http://www.mathematik.uni-bielefeld.de/birep/biomath/

Übungsaufgaben 2

Abgabetermin: 29.10.02

1. Beispiel aus der Gerichtsmedizin (Reißland, p.4): Bei der Ermittlung des Kindesvaters benutzt man Daten des neugeborenen Kindes, aus denen man auf die Dauer der Schwangerschaft schließen kann. Hier ist eine entsprechende Tabelle von Meßwerten

\begin{matrix}x_{i}[cm] & 48 & 49 & 50 & 51 & 52 \\ y_{i}[Tage] & 277, 1 & 279, 3 & 281, 4 & 283, 2 & 284, 8 \end{matrix}

Bestimme die Regressionsgerade y = a + bx, dabei ist

b = \frac{∑_{i=1}^{n} x_{i}y_{i} − n · \overline{x} · \overline{y}}{∑_{i=1}^{n} x_{i}^{2} − n · \overline{x}^{2}} ,
a = \overline{y} − b\overline{x}

mit den Mittelwerten \overline{x} = \frac{1}{n} ∑ x_{i}, und \overline{y} = \frac{1}{n} ∑ y_{i}.

Hinweis zum Aufschreiben: Man verwende folgende Anordnung:

x_{i}  48  49  50  51  52  ∑ x_{i} = …  \overline{x} = …
y_{i}  277, 1 279, 3 281, 4 283, 2 284, 8  ∑ y_{i}  = …  \overline{y} = …
x_{i}y_{i}  …  …  …  …  …  ∑ x_{i}y_{i} = …
x_{i}^{2}  …  …  …  …  …  ∑ x_{i}^{2} = …

2. Seien folgende Datenpaare (x_{i}, y_{i}) gegeben

\begin{matrix}x_{i}  1 & 3 & 6 \\ y_{i}  2 & 5 & 6 \end{matrix}

Bestimme die Regressionsgerade y = a + bx (für die Abhängigkeit der y-Werte von den x-Werten).

3. Seien die gleichen Datenpaare wie in Aufgabe 2 gegeben, allerdings untersuche man nun, wie x von y abhängt, man bilde also die Regressionsgerade x = a′ + b′y für die Tabelle

\begin{matrix}y_{i}  2 & 5 & 6 \\ x_{i}  1 & 3 & 6 \end{matrix}

Man würde erwarten, daß b′ = \frac{1}{b} sein sollte — zeige, daß dies nicht zutrifft!

Man begründe den Unterschied der beiden Ergebnisse: welche Summenwerte werden in den beiden verschiedenen Aufgabenstellungen minimiert?

4. Betrachte die gleichen Datenpaare (x_{i}, y_{i}) wie in Aufgabe 1. Diesmal bestimmen wir aber die Regressionsgerade x = a′ + b′y, dabei ist

b′ = \frac{∑ x_{i}y_{i} − n · \overline{x} · \overline{y}}{∑ y_{i}^{2} − n · \overline{y}^{2}} ,
a′ = \overline{x} − b′\overline{y}.

Zusätzlich soll der Korrelations-Koeffizient

r_{xy} = \frac{∑ x_{i}y_{i} − n · \overline{x} · \overline{y}}{\sqrt{∑ x_{i}^{2} − n · \overline{x}^{2}} · \sqrt{∑ y_{i}^{2} − n · \overline{y}^{2}}} .

bestimmt werden.

Diese Aufgaben sollen ohne Verwendung spezieller statistischer Programme gelöst werden. Zum Rechnen darf natürlich ein Taschenrechner verwendet werden, aber keine spezielle statistische Funktionstaste. Denn die Aufgaben dienen dazu, ein Gefühl dafür zu entwickeln, welche Rechenschritte notwendig sind, um eine Regressionsgerade (und den Korrelations-Koeffizienten) zu berechnen.

Hier eine Internet-Adresse, die Materialien und interaktive Übungen zur linearen Regression und zur Bestimmung des Korrelations-Koeffizienten bereitstellt:

            http://medweb.uni-muenster.de/institute/imib/

lehre/skripte/biomathe/bio/bio.html

(JUMBO - Java-unterstützte Münsteraner Biometrie-Oberfläche, vom Institut fr Medizinische Informatik und Biomathematik der Universität Münster).

Von der Homepage der Vorlesung gibt es über “Links” einen direkten Link dorthin, und zwar auch auf spezielle Übungen.