Mathematik für Biologen WS 2002/3

http://www.mathematik.uni-bielefeld.de/birep/biomath/

Übungsaufgaben 3

Abgabetermin: 06.11.2002

Lineare Regression.

Alle Hilfsmittel wie Taschenrechner oder PC-Programme sind diesmal erlaubt; es soll jeweils das angewandte Verfahren kurz beschrieben und eine Zeichnung angefertigt (oder ausgedruckt) werden.

1. Bei der ersten Regressions-Aufgaben soll EXCEL (oder ein anderes Tabellenkalkulations-Programm) verwendet werden. Betrachte die gleichen Datenpaare (x_{i}, y_{i}) wie in Aufgabe 1 des zweiten Aufgabenzettels:

\begin{matrix}x_{i}[cm] & 48 & 49 & 50 & 51 & 52 \\ y_{i}[Tage] & 277, 1 & 279, 3 & 281, 4 & 283, 2 & 284, 8 \end{matrix}

Wie in Aufgabe 4 des zweiten Aufgabenzettels bestimmen wir die Regressionsgerade x = a′ + b′y, dabei ist

b′ = \frac{∑ x_{i}y_{i} − n · \overline{x} · \overline{y}}{∑ y_{i}^{2} − n · \overline{y}^{2}} ,
a′ = \overline{x} − b′\overline{y}.

Zusätzlich soll der Korrelations-Koeffizient

r_{xy} = \frac{∑ x_{i}y_{i} − n · \overline{x} · \overline{y}}{\sqrt{∑ x_{i}^{2} − n · \overline{x}^{2}} · \sqrt{∑ y_{i}^{2} − n · \overline{y}^{2}}} .

bestimmt werden.

2. Bestimme die Regressionsgeraden y = a+bx und x = a′+b′y und den Korrelations-Koeffizienten zu folgender Stichprobe (Winter, p.138): gemessen wurde die Körpergröße x (in cm) und das Körpergewicht y (in kg) von zwölf 18-jährigen Männern

\begin{matrix}x_{i}[cm] & 170 & 163 & 172 & 160 & 166 & 170 & 174 & 165 & 162 & 167 & 165 & 168 \\ y_{i}[kg] & 67, 5 & 65 & 80 & 57, 5 & 68 & 74 & 79 & 70 & 56 & 62, 5 & 59, 5 & 66 \end{matrix}

3. Gegeben seien folgende Datenpaare

\begin{matrix}x_{i} & 3 & 5 & 6 & 4 & 7 \\ y_{i} & 4 & 5 & 3 & 2 & 6 \end{matrix}

Durch Hinzufügen zweier Zahlenpaare (x_{6}, y_{6}), (x_{7}, y_{7}) soll erreicht werden, daß sich jeweils die Mittelwerte \overline{x} und \overline{y} nicht ändern, und daß die Steigung der Regressionsgeraden

(a) größer wird,

(b) gleich bleibt,

(c) kleiner wird.

4. Bestimmung der Beschleunigung einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung; zum Beispiel Anfahren eines Schnellzugs (Lambacher-Schweizer 11, p.67). Beim Anfahren eines IC in Köln Hbf wurden von Schülern die Zeiten x_{i} gestoppt, zu denen die 12 Wagen (Wagenlänge 26,4 m) die Meßstelle (in Höhe des hinteren Puffers der stehenden Lok) passierten. Gegeben sind also für die Zeitpunkte x_{0}, x_{1}, … in [sek] der zurückgelegte Weg y_{0}, y_{1}, … in [m], siehe folgende Tabelle und Graphik.

i  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10 11 12 x_{i}  0 20,39 28,38 34,14 38,93 43,22 46,94 50,31 53,43 56,35 59,07 61,54 64,01 y_{i}  0 26,4 52,8 79,2 105,6 132 158,4 184,8 211,2 237,6 264 290,4 316,8_{_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.} _{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}  _{•} _{•} _{•} _{•} _{•}_{•}_{•}_{•}_{•}_{•}_{•}_{•} 50 100  _{x}_{y}  _{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}}

Der vom Zug zurückgelegte Weg scheint quadratisch von der verstrichenen Zeit abzuhängen, also arbeiten wir mit dem Ansatz y = cx^{2}. Um c mit linearer Regression zu bestimmen, betrachten wir statt der Funktion cx^{2} die Quadratwurzel z = \sqrt{c}x. Wir wollen demnach \sqrt{c} (und damit c) durch lineare Regression bestimmen.

(1) Bilden Sie also eine neue Tabelle mit den Datenpaaren (x_{i}, z_{i}), wobei z_{i} = \sqrt{y_{i}} gilt, für i = 0, 1, …, 12 und berechnen Sie die zugehörige Regressionsgerade z = a + bx.

(2) Welchen Wert erhalten wir demnach für c? Zeichnen Sie die x-y-Punktwolke zusammen mit der Parabel y = cx^{2} in ein Koordinatensystem.

(3) Wann hätte die Lok den Bahnhof Köln-Deutz (Entfernung von Köln Hbf 2 200 m) erreicht, wenn der Zeug mit gleicher Beschleunigung weiterfahren könnte?

5. Zusatzaufgabe (freiwillig): Gib jeweils vier Zahlenpaare (x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2}), (x_{3}, y_{3}), (x_{4}, y_{4}) an, so daß gilt:

(a) r_{xy} = 1.

(b) r_{xy} = −1.

(c) r_{xy} = 0.

(d) r_{xy} = \frac{1}{2}.