Prozentrechnung

Das Mischungskreuz

Aufgabenstellung: zwei Lösungen, zum Beispiel von Salzsäure, seien gegeben, die eine sei 10 %-ig, die andere 35 %-ig. Man braucht aber eine 15 %-ige Lösung. Frage: in welchem Verhältnis sind die beiden gegebenen Lösungen zu mischen?
Die Antwort ergibt sich durch Subtraktion: Man nehme 35-15 (also 20) Anteile der ersten Lösung, und 15-10 (also 5) Anteile der zweiten Lösung.

Als Merkschema verwenden man oft das folgende "Mischungskreuz":

Gegeben: 10 % 20 Anteile

Gesucht 15 %

Gegeben: 35 % 5 Anteile

Statt 20 Anteile der ersten Lösung, und 5 Anteile der zweiten Lösung zu nehmen, nimmt man natürlich 4 Anteile der ersten Lösung, und 1 Anteil der zweiten (denn das Verhätnis 20:5 lässt sich kürzen (zu 4:1).

Allgemein: mit Prozentsätzen a < b < c (die Lösungen mit a % und c % seien gegeben, durch Mischung soll eine Lösung mit b % hergestellt werden:

Gegeben: a % c-b Anteile

Gesucht b %

Gegeben: c % b-a Anteile

Die Antwort lautet: Man nehme c-b Anteile der ersten Lösung und b-a Anteile der zweiten Lösung.

Beweis:

(c-b) + (b-a) = c-a	(Summe der Anteile)
(c-b)a + (b-a)c = ca-ba+bc-ac = bc-ba = (c-a)b	(in der Mischung enthaltene Substanz)

nimmt man (c-b) Anteile der ersten Lösung, also 100(c-b) Gramm, und
nimmt man (b-a) Anteile der zweiten Lösung, also 100(b-a) Gramm,
so hat man insgesamt 100(c-b) Gramm + 100(b-a) Gramm = 100 (c-a) Gramm.

Nun zur zweiten Gleichung:

In 100(c-b) Gramm der ersten Lösung sind a(c-b) Gramm des gelösten Stoffs enthalten
In 100(b-a) Gramm der zweiten Lösung sind c(b-a) Gramm des gelösten Stoffs enthalten
Also sind in der Mischung (entsprechend der zweiten Rechnung) (c-a)b Gramm des gelösten Stoffs enthalten.

Da es sich bei der Mischung um 100(c-a) Gramm handelt, sind also in 100 Gramm der Mischung b Gramm des gelösten Stoffs enthalten.
Genau, was wir wollten.

(Wir haben mit Massenprozenten argumentiert - nicht mit Volumenprozenten, da es beim Mischen von Substanzen nicht klar ist, wie sich das Volumen verändert! Will man mit Volumina arbeiten, so muss man die jeweiligen Dichten kennen.)