Schur Polynome

1 Grundlegende Eigenschaften Polynomialer Invarianten

Literatur: J. Humphreys, Reflection groups and Coxeter groups, S. 49-52

D. Benson, Polynomial Invariants of Finite Groups, S. 1-5

1.1 Der Ring S(V)^{G}

Gruppenoperation von G auf S(V^{∗}), R := S(V)^{G} ist k-Algebra, Beispiele: S_{n} operiert auf k[X_{1}, …, X_{n}], n=2,3.

1.2 Satz von Noether (char(k)=0)

Direkt nach Humphreys. Illustration am Beispiel der S_{n}, elementar symmetrische Funktionen, deute diese als Koeffizienten in k[X_{1}, …, X_{n}] von ∏_{i=1}^{n}(Y − X_{i}). Bemerkung: Man kann die Vorträge weiter unterteilen, indem man mehr Beispiele rechnet, etwa die lineare Unabhängigkeit der erzeugenden Polynome für kleines n.

2 Young Tableaux

Literatur: W. Fulton, Young Tableaux, S. 1-16

2.1 Tableaux und Schur Polynome

Fulton, S. 1-4. Im Vortrag sollten zusätzliche Beispiele angegeben werden.

2.2 Row Bumping Lemma

Fulton, S. 7-10.

2.3 Produkte von Tableaux

Fulton, S. 11 oben - S. 12. Claim 1 sollte an einigen Beispielen nachgerechnet werden. Der Beweis folgt im nächsten Abschnitt.

2.4 Jeu de Taquin 1

Fulton S. 12-14

2.5 Jeu de Taquin 2

Fulton S. 14 Mitte - S. 16. Die Claims werden erst später bewiesen, sollten aber an Beispielen erläutert werden. Exercise 2 sollte im Vortrag vorgeführt werden.

3 Worte

Literatur: W. Fulton, Young Tableaux, S. 17-24

3.1 Elementare Transformationen 1

Fulton, S. 17 - 20. Ziel ist der Beweis von Proposition 1.

3.2 Elementare Transformationen 2

Fulton, S. 20 - 22. Hier soll Proposition 2 bewiesen werden.

3.3 Der Tableau Ring

Fulton, S. 22 - 24, beginnend mit dem Theorem. Das Theorem wird nur teiweise bewiesen. Im Vortrag sollte der unbewiesene Teil an einem Beispiel gerechnet werden.

4 Schur Polynome

Literatur: W. Fulton, Young Tableaux, S. 25-26, 72-73, 75-76

4.1 Die Pieri Formeln

Fulton, S. 24-25. Im Vortrag sollten Beispiele gerechnet und Exercise 1 gelöst werden.

4.2 Kostka Zahlen und Symmetrie der Schur Polynome

Fulton, S. 25-26.

5 Spaltenworte

Fulton, S. 27-29.

6 Beweis des Hauptsatzes

6.1 Wachsende Folgen eines Wortes, I

Fulton, S. 30-32. Beweis von Lemma 1.

6.2 Wachsende Folgen eines Wortes, II

Fulton, S. 32-33. Beweis von Lemma 2.

6.3 Der Beweis

Fulton, S. 33-35. Beweis von Lemma 3 und dem Hauptsatz.

7 Symmetrische Polynome

7.1 Basen von Z[X_{1}, …, X_{n}]^{S_{n}}

Fulton, S. 72-73.

7.2 Die Jacobi-Trudi Formel

Fulton, S. 75-76. Im Vortrag sollte Exercise 2 gelöst werden. Die Formel liefert einen neuen Beweis für die Symmetrie der Schur Polynome.