Überblick
  1. Die Verteilung der Primzahlen: das Bertrandsche Postulat (ein Satz von Tchebycheff):
    Ist n eine natürliche Zahl, so gibt es eine Primzahl p mit n < p ≤ 2n.
    Hinführung zum Primzahlsatz: π(x) ~ x/ln(x).
    Das Wachstum der Primzahlen.

  2. Kongruenzen: Der Restklassenring Z/n und seine Einheitengruppe U(Z/n). Es gilt: |U(Z/n)| = φ(n).
    Satz: Ist p Primzahl, so ist die Einheitengruppen (Z/p)* zyklisch,
    ein erzeugendes Element nennt man eine Primitivwurzel modulo p.
    Der chinesische Restsatz. Multiplikativität von φ
    RSA.
    Kongruenzen modulo einer Primzahl, Wilson und Leibniz, das Legendre-Symbol (Euler-Kriterium), Primzahltests und Pseudoprimzahlen, Mersenne'sche und Fermat'sche Primzahlen.

  3. Multiplikative Funktionen: Faltung, Moebius-Inversion. Insbesonder auch wieder die Eulersche φ-Funktion.
    Und: Charaktere einer endlichen abelschen Gruppe.

  4. Einiges zum Satz von Dirichlet über Primzahlen in arithmetischen Progressionen.

  5. Noch einmal: Zahlentheoretische Funktionen.

  6. Summen von Quadratzahlen.
    Die Gaußschen ganzen Zahlen.
    Lagrange: Summen von vier Quadratzahlen.

    Pythagoräische Zahlentripel (19.01.2010):
    Tripel (x,y,z) mit x2 + y2 = z2

  1. Das quadratische Reziprozitätsgesetz. (19.01., 21.01.2010)

  2. Farey-Brüche: Der Satz von Hurwitz zur Approximation reeller Zahlen durch rationale Zahlen.

Wenn möglich auch:

Die Wikipedia schreibt: Die elementare Zahlentheorie ist ein Teilgebiet der Zahlentheorie, sie kommt weitgehend ohne Hilfsmittel anderer mathematischer Teilgebiete aus. In diesen Bereich fallen Fragen der Teilbarkeit, der Euklidische Algorithmus zur Berechnung des größten gemeinsamen Teilers, die Faktorisierung von Zahlen in ihre Primfaktorzerlegung, sowie Untersuchungen zu vollkommenen Zahlen und Kongruenzen.

Typische Sätze sind der kleine Satz von Fermat und dessen Verallgemeinerung, der Satz von Euler, sowie der Chinesische Restsatz und das Quadratische Reziprozitätsgesetz.

Des weiteren werden zahlentheoretische Funktionen, wie etwa die Möbiusfunktion und die Eulersche Phi-Funktion sowie Zahlenfolgen, wie beispielsweise Fakultät und Fibonacci-Zahlen untersucht.

Inhalt einer entsprechenden Vorlesung

Thurnheer, ETH Zürich, SS 2006
  1. Vorbereitungen (Summationsformeln, Kettenbrüche)
  2. Primzahlen (Einleitung, fundamentale - und kuriose - Sätze und Bemerkungen).
  3. Arithmetische Funktionen (Allgemeine Sätze, Teilerfunktion, Sigmafunktion, vollkommene Zahlen).
  4. Kongruenzen (Sätze von Euler, Fermat, Wilson, Anwendung: Vier- Quadrate-Satz von Lagrange).
  5. Der Primzahlsatz (Chebyshev-Funktionen, die Riemannsche Zetafunktion, Primzahlsatz, Anwendungen).
  6. Geometrie der Zahlen (Lemma von Birkhoff, Minkowskis 1.Satz, Linearformensatz, Anwendungen).
  7. Diophantische Approximation (der allgemeine Satz von Dirichlet, Naeherungsbrüche, Datz von Hurwitz, Satz von Liouville, die Thue-Gleichung).
  8. Transzendente Zahlen (Liouvilles Konstruktion, Satz von Lindemann-Weierstrass, Folgerungen).

Lernziel:
Präsentation eines möglichst breiten Querschnitts durch die klassische Zahlentheorie. Behandlung von