Hier einige Kommentare zu den Aufgaben (Antworten zu Fragen): Ist die Aufgabe I - 7 zu schwer? Eigentlich nicht - der Zusatz "Neu" verweist aber darauf, dass mir auffiel, dass dies bisher nicht so formuliert wurde. Loesung: Neben 0 und M gibt es mindestes drei weitere Untermoduln etwa N_1, N_2, N_3. Diese Untermoduln sind ein-dimensional, also einfach, und es gilt M = N_i \oplus N_j fuer i \neq j. M ist also direkte Summe zweier einfacher Untermoduln, sagen wir N_1, N_2. Die Existenz von N_3 besagt, dass N_1 und N_2 isomorph sind. Jeder ein-dimensionale Unterraum von M, der von N_1, N_2 verschieden ist, ist Graph eines Isomorphismus N_1 \to N_2, also ein Untermodul. Demnach ist jeder Unterraum ein Untermodul. (Dabei wird allerdings die Loesung der Aufgabe 11 in diesem Spezialfall vorausgesetzt). Ist die Aufgabe I- 9 schwer? NEIN! Neben 0 und M gibt es hoechstens zwei weitere Untermoduln, die dann beide 1-dimensional sind. Es gibt also eine Basis x, y von M, so dass ausser und keine weiteren eindimensionalen Untermoduln gibt (und selbst und muessen keine Untermoduln sein. Betrachten den von x+y erzeugten Untermodul - es bleibt ihm nichts anderes uebrig, als gleich M zu sein. Ist die Aufgabe I-10 zu lang? Eigentlich nicht - haben wir doch schin in LA II gemacht. Betrachte die Abbildung H \to H+K/K, die h in H auf die Restklasse h+K abbildet. Dies ist (natuerlich) ein Modul-Homomorphismus. Zu zeigen ist: der Kern ist H\cap K (klar), das Bild ist (H+K)/K, auch ziemlich klar. (Mehr muss man auch nicht hinschreiben...) Ist I-11 lang: JA (denn bei dieser Aufgabenstellung wird eben doch erwartet, dass Einzelheiten hingeschrieben werden)- Hier ein Zusatz: Je nach der Aufgabenstellung sollte man unterscheiden, was man hinschreibt, durchrechnet, beweist - und was man als "bekannt" voraussetzt. Dreht es sich um wirkliche Kleinigkeiten, ist jeder Einzelschritt hinzuschreiben, dreht es sich um eine Einsicht, so eher nur die wirklich wichtigen Schritte. Das ist natuerlich fuer Anfaenger schwierig - aber mitlerweile sind Sie ja keine Anfaenger mehr. Zur Aufgabe II.5 - Siehe Leitfaden, p.11 und 12 (insbesondere der vorletzte Abschnitt von (3). Die Antwort ist also EINE Zeile! Zur Aufgabe II-6 - Das war eine Uebungsaufgabe. Aber ich gebe zu, damals war dies vielleicht nicht ganz verstaendlich. Und das Prinzip, das hier verwandt wird, muss man schon verstanden haben. Zur Aufgabe III-3: Die ist zu lang? JA Eine derartige Aufgabe sollte zerlegt werden! NATUERLICH (Uebrigens ein Druckfehler: Im Teil (b) muss es 1 \le i \le 3 heissen. Zur Aufgabe IV 2: Die ist zu lang? JA