Lineare Algebra WS 2004/5

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Übungsaufgaben 3.

Sei R ein Ring. Sei n ∈ ℕ_{1}. Man nennt A = (a_{ij})_{ij} ∈ M(n × n, R) eine obere Dreiecksmatrix, falls gilt: a_{ij} = 0 für i > j.

1. Zeige: Die oberen Dreiecksmatrizen bilden einen Unterring des Rings M(n×n, R).

2. Man zeige: Die Matrizen der Form [ \begin{matrix}a & −b \\ b & a \end{matrix} ] in M(2 × 2, ℚ) bilden einen Un-

terring von M(2 × 2, ℚ), und dieser Unterring ist ein Körper.

Hinweis zu Aufgabe 1 und 2: Man überlege sich genau, was zu zeigen ist — nur das soll auch gezeigt werden!

3. In Verallgemeinerung von Aufgabe 3 des Übungszettels 2 zeige man: Sei A ∈ M(n × n, R). Genau dann gilt AB = BA für alle B ∈ M(n × n, R), wenn A eine Skalarmatrix ist.

Wie in der Bedingung (ii) der alten Aufgabe suche man auch hier nach einer kleinen Teilmenge T von M(n × n, R), so dass gilt: Ist A mit allen Matrizen T ∈ T vertauschbar, so ist A mit allen Matrizen in M(n × n, R) vertauschbar.

4. Sei K ein Körper. Man nennt A ∈ M(n × n, K) eine Monomialmatrix, falls es in jeder Zeile und in jeder Spalte jeweils genau einen von Null verschiedenen Koeffizienten gibt. Man zeige:

(a) Jede Monomial-Matrix ist invertierbar (wie sieht die inverse Matrix aus?)

(b) Die Monomialmatrizen bilden eine Untergruppe der Gruppe GL(n, K) aller invertierbaren (n × n)-Matrizen.

Hier soll vorausgesetzt werden (was implizit in der Vorlesung schon gezeigt wurde): Die Menge der invertierbaren (n × n)-Matrizen bildet bezüglich der Multiplikation eine Gruppe, man nennt sie die GL(n, K).