Lineare Algebra WS 2004/5

http://www.math.uni-bielefeld.de/birep/linalg/

Übungsaufgaben 4.

Weiteres zur Matrizen-Multiplikation

1. Zur Gauss-Elimination. Sei K ein Körper und A ∈ M(m×; n, R). Sei l das Minimum von m und n. Zeige: Man braucht höchstens m·l Einzelschritte, um A in Schubert-Normalform zu bringen. Dabei soll unter einem Einzelschritt eine der drei Operationen verstanden werden:

• Vertauschen zweier Zeilen,

• Addition eines Vielfachen einer Zeile zu einer anderen Zeile,

• Multiplikation einer Zeile mit einem von Null verschiedenen Skalar Zum Knobeln. Kann man die Schranke m · l verbessern?

2. Seien λ, μ ∈ K. Man bestimme alle (2 × 2)-Matrizen A mit Koeffizienten in K, für die gilt:

A [ \begin{matrix}λ & 0 \\ 0 & μ \end{matrix} ] = [ \begin{matrix}λ & 0 \\ 0 & μ \end{matrix} ] A.

Hinweis: Es gibt zwei wesentlich verschiedene Fälle. Welche?

3. Betrachte die (n × n)-Matrix J = (c_{ij})_{ij} mit c_{i,i+1} = 1 für 1 ≤ i < n und c_{ij} = 0 sonst. Zeige: Ist A = (a_{ij})_{ij} ∈ M(n × n, K) so sind die folgenden Aussagen äquivalent:

(i) AJ = JA (ii) Es ist a_{ij} = 0 für i > j und es ist a_{i,j} = a_{s,t} falls gilt j − i = t − s ≥ 0. (iii) A ist eine Linearkombination der Matrizen I, J, J^{2}, … J^{n−1} .

4. Sei R ein kommutativer Ring. Ist A = (a_{ij})_{ij} eine (n × n)-Matrix mit Koeffizienten in R, so nennt man ∑_{i=1}^{n} a_{ii} die Spur von A. Zeige: Sind A, B ∈ M(n × n, R), so haben die Matrizen AB und BA die gleiche Spur.