Lineare Algebra WS 2004/5

http://www.math.uni-bielefeld.de/birep/linalg/

Übungsaufgaben 5.

Ähnlichkeit.

1. Sei R ein Ring, seien S, S′ Unterringe von R. Zeige

(a) Auch S ∩ S′ ist ein Unterring von R.

(b) Ist r ∈ R invertierbar, so ist r^{−1}Sr ebenfalls ein Unterring von R.

(c) Sei n = 3. Es gibt 6 verschiedene Permutationsmatrizen P in M(n × n, R). Sei N^{+} die Menge der oberen Dreiecksmatrizen in M(n × n, R), deren Diagonalkoeffizienten alle gleich 1 sind. Man bestimme jeweils N^{+} ∩ P^{−1}N^{+}P.

Zusatz (freiwillig): Für n = 4 gibt es 24 verschiedene Permutationsmatrizen P in M(4 × 4, R). Man bestimme entsprechend alle N^{+} ∩ P^{−1}N^{+}P, zum Beispiel mit MAPLE. (Hinweis: Um einen Koeffizienten in einer Matrix A durch 0 zu ersetzen, kann man folgendermaßen vorgehen: Sei N die (1 × 1)-Matrix mit Koeffizient 0. Der Befehl copyinto(N,A,i,j) ersetzt den (i, j)-Koeffizienten von A durch Null.)

2. Sei R ein Ring, seien A, B, C ∈ M(n × n, R). Man nennt A, B ähnlich (oder konjugiert), falls es ein P ∈ GL(n, R) gibt mit B = P AP^{−1}. Zeige:

(a) Die Matrizen A, A sind ähnlich (“Reflexivität”).

(b) Sind die Matrizen A, B ähnlich, so sind die Matrizen B, A ähnlich (“Symmetrie”)

(c) Sind die Matrizen A, B ähnlich, und sind die Matrizen B, C ähnlich, so sind die Matrizen A, C ähnlich (“Transitivität”).

(d) Ist R kommutativ, und sind die Matrizen A, B ähnlich, so haben A, B die gleiche Spur.

3. Sei K ein Körper, seien λ, μ ∈ K. Zeige: die Matrix [ \begin{matrix}λ & 1 \\ 0 & μ \end{matrix} ] ist genau dann zu

einer Diagonalmatrix ähnlich, wenn λ ≠ μ gilt.

Permutationen

4. Man nennt eine Permutation σ ∈ S_{n} eine Transposition, falls es Zahlen 1 ≤ s < t ≤ n mit σ(s) = t, σ(t) = s, σ(i) = i für alle i ∉ {s, t}.

Zeige: Jede Permutation ist Hintereinanderschaltung von Transpositionen.