Lineare Algebra WS 2004/5

http://www.math.uni-bielefeld.de/birep/linalg/

Übungsaufgaben 6.

Determinanten.

Sei R ein kommutativer Ring.

1. Sei A ∈ M(n × n, R); B ∈ M(n × m, R), C ∈ M(m × m, R). Betrachte [ \begin{matrix}A & B \\ 0 & C \end{matrix} ],

dies sei die (m + n) × (m + n)-Matrix D = (d_{ij})_{ij}, mit

d_{ij} = \{ \begin{matrix}a_{ij} & & i ≤ n, j ≤ n, \\ b_{i,j−n} & falls & i ≤ n, j > n, \\ 0 & & i > n, j ≤ n, \\ c_{i−n,j−n} & & i > n, j > n. \end{matrix}

Zeige:

det [ \begin{matrix}A & B \\ 0 & C \end{matrix} ] = det A · det C

2. Sei A = (a_{ij})_{ij} eine (n × n)-Matrix mit Koeffizienten in R. Setze B = (b_{ij})_{ij} mit b_{ij} = (−1)^{i+j}a_{ij}. Zeige det A = det B auf zwei verschiedenen Weisen:

• Mit Hilfe der Leibniz-Formel.

• Mit Hilfe des Determinanten-Produkt-Satzes: Schreibe B = SAT mit geeigneten

Diagonalmatrizen S, T. Dabei darf der Determinanten-Produkt-Satzes vorausgesetzt werden: sind C, D in M(n × n, R), so ist det(CD) = (det C)(det D).

3. Seien a_{1}, …, a_{t} ∈ R. Zeige mit Induktion nach n:

det [ \begin{matrix}1 & a_{1} & a_{1}^{2} & ⋯ & a_{1}^{n−1} \\ 1 & a_{2} & a_{2}^{2} & ⋯ & a_{2}^{n−1} \\ ⋮ & & & & ⋮ \\ 1 & a_{n} & a_{n}^{2} & ⋯ & a_{n}^{n−1} \end{matrix} ] = ∏_{1≤i<j≤n}(a_{j} − a_{i})

LR-Zerlegung.

4. Sei K ein Körper, sei A = (a_{ij})_{ij} ∈ M(n × n, K). Für jedes 1 ≤ i ≤ t setze A_{t} = (a_{ij})_{1≤i≤t,1≤j≤t}, dies ist also eine (t × t)-Matrix. Zeige, dass die folgenden beiden Aussagen äquivalent sind:

(i) Es gibt eine invertierbare untere Dreiecksmatrix L und eine invertierbare obere Dreiecksmatrix R mit A = LR.

(ii) Alle Matrizen A_{t} mit 1 ≤ t ≤ n sind invertierbar.