Numerische Probleme

Numerische Probleme beim Lösen von linearen Gleichungssystemen

Betrachte das Gleichungssystem

-εx	+	y	=	1
x	+	y	=	2

mit 0 < ε "sehr klein", also zum Beispiel ε = 10^-10, falls mit 10 Stellen Genauigkeit gerechnet wird (dann wird zwar ε selbst angezeigt, aber der Rechner unterscheidet nicht zwischen 1 und 1+ε).

Zur Veranschaulichung dieses Gleichungssystems zeichnen wir die beiden Geraden

Die Lösung [x,y] des Gleichungssystems ist gerade der Schnittpunkt der beiden Geraden; offensichtlich gilt für eine Lösung [x,y], dass x und y beide ungefähr den Wert 1 haben müssen:

Nehmen wir die Position (1,1) als Pivot-Position, so erhalten wir als neues Gleichungssystem:

-εx +            y = 1
   (1+1/ε)y = 2+1/ε
Die zweite Gleichung beschreibt die horizontale Gerade

   y = c
mit c = (1+2ε)/(1+ε).
- für ε = 10^-9 ergibt sich als exakte Lösung:
- für ε = 10^-10 ergibt sich als exakte Lösung:
Erläuterung: Gesucht wird nach den Schnittpunkten der Geraden

y = εx + 1
y = c
mit c = (1+2ε)/(1+ε). Wenn wir ε = 1/n setzen, so ist c = (n+2)/(n+1).
Ist ε sehr klein (also gegenüber 1 "vernachlässigbar"), so wird mit c = 1 gerechnet.
Setzen wir aber c = 1, so ergibt sich x = 0.
Dass die Berechnung des Schnittpunkts zweier Geraden, die fast die gleiche Steigung haben, zu Problemen führen kann, ist klar! Und in unserem Fall handelt es sich um eine solche Situation:

Nehmen wir (2,1) als Pivotposition, so wird das Ausgangsgleichungssystem durch folgendes System ersetzt:

(1+ε)y = 1+2ε
x +         y = 2
Auch hier beschreibt die neu auftretende Gleichung die Gerade

   y = c
mit c = (1+2ε)/(1+ε)    (also c = (n+2)/(n+1), falls ε = 1/n).

Beim numerischen Rechnen gibt es hier keine Probleme.

(Nach Stroppel-Griese: Übungsbuch zur linearen Algebra.)

Fakultät für Mathematik, Universität Bielefeld
Verantwortlich: C.M.Ringel
E-Mail: ringel@mathematik.uni-bielefeld.de

Last modified: Tue Oct 26 08:35:27 CEST 2004

-εx	+	y	=	1
		(1+1/ε)y	=	2+1/ε

y =	εx + 1
y =	c

		(1+ε)y	=	1+2ε
x	+	y	=	2