Endomorphismen der reellen Ebene

Drehungen.

• d(v+v') = d(v)+d(v'), für v,v' in R², da das Parallelogramm, das die Summenbildung beschreibt, einfach gedreht wird.
• d(λv) = λd(v) - auch dies "sieht" man problemlos.

Zur Bestimmung der Matrizendarstellung bezüglich der Standardbasis: Der erste Standardbasis-Vektor e1 geht auf den Vektor (cos(α),sin(α)), Der zweite Standardbasis-Vektor e2 geht auf den Vektor (-sin(α),cos(α)),

Die Tatsache, dass Drehungen um den Urspung lineare Abbildungen sind, dass solche lineare Algebren durch Matrizen beschrieben werden, und dass die Hineinanderschaltung linearer Abbildungen dem Matrizen-Produkt entspricht, liefert nun:

(dabei haben wir in der Produkt-Matrix nur die erste Spalte notiert, die Koeffizienten der zweiten Spalte sind ja durch die der ersten eindeutig bestimmt.)
Wir sehen:

Wir erhalten auf diese Weise also Additionsformeln für Sinus und Cosinus!

Entsprechend erhalten wir durch d_α-β = d_αd_-β:


Die auf den ersten Blick so kompliziert aussehenden Additionsformeln entsprechen also gerade der Formel, wie Matrizen zu multiplizieren sind. Die Formeln drücken also nicht anderes aus, als dass es sich bei Drehungen um lineare Abbildungen handelt und dass die Hintereinanderschaltung zweier Drehungen wieder eine Drehung ist. Andere Beweise findet man zum Beispiel hier:

Die Drehmatrizen sind nur für α = kπ mit einer ganzen Zahl k diagonalisierbar (als Matrizen mit Koeffizienten in R). Fasst man diese Drehmatrizen allerdings als Matrizen mit Koeffizienten im Körper C der komplexen Zahlen auf, so sind sie immer diagonalisierbar: Die Drehmatrix M(dα) hat die Eigenwerte cos(α) + i sin(α) und cos(α)- i sin(α) (zugehörige Eigenvektoren sind die Vektoren (1,-i) bzw (1,i)).

Spiegelungen.

• s(v+v') = s(v)+s(v'), für v,v' in R², da das Parallelogramm, das die Summenbildung beschreibt, einfach gespiegelt wird.
• s(λv) = λs(v) - auch dies "sieht" man problemlos.

Zur Bestimmung der Matrizendarstellung bezüglich der Standardbasis: Der erste Standardbasis-Vektor e1 geht auf den Vektor (cos(2α),sin(2α)), Der zweite Standardbasis-Vektor e2 geht auf den Vektor (sin(2α),-cos(2α)), (denn die beiden roten Winkel sind gleich, und zwar gleich 90o-2α)

• Die Hintereinanderschaltung zweier Drehungen um den Ursprung ist wieder eine solche Drehung. Es gilt:

  dαdβ = dα+β

• Die Hintereinanderschaltung einer Drehungen um den Ursprung und einer Spiegelung an einer Ursprungsgeraden (wie auch die in umgekehrter Reihenfolge) ist wieder eine Spiegelung an einer Ursprungsgeraden. Es gilt:

  sβdα = sβ-α/2

  dαsβ = sβ+α/2

  Insbesondere gilt d_αs₀ = s_α/2:
  
  Also ist s_α/2 (beschrieben durch die rechte Matrix) die Hintereinanderschaltung der Spiegelung s₀ an der x-Achse und der Drehung d_α.

• Die Hinteranderanderschaltung zweier Spiegelungen an Ursprungsgeraden ist eine Drehung um den Ursprung.
  Genauer gilt:

  sαsβ = dα+β

Lineare Abbildungen mit zwei linear unabhängigen Eigenvektoren.

Betrachte die Abbildung f mit

Nach Konstruktion sind die Vektoren b₁ und b₁ Eigenvektoren, und zwar gilt

• b₁ ist Eigenvektor mit Eigenwert γ₁
• b₂ ist Eigenvektor mit Eigenwert γ₂.

Was ist der Vorteil einer linearen Abbildung f, die eine Basis B aus Eigenvektoren besitzt? Es ist ja MBB(f) eine Diagonalmatrix, und das Rechnen mit Diagonalmatrizen ist so einfach wie das Rechnen mit Zahlen: Insbesondere ist es ganz einfach, eine derartige Matrix zu potenzieren: sind die Diagonalkoeffizienten zu potenzieren, das ist alles. Zum Beispiel: Sei K = R. Ist γ ein Eigenwert und gilt |γ| < 1, so sind hohe Potenzen von γ oft einfach vernachlässigbar!

Spiegelungen: Dies ist der Spezialfall, dass b₁ und b₂ "orthogonal" sind, und γ₁ = 1, γ₂ = -1 ist.

Wie oben schon notiert, hat die Spiegelung an der Ursprungsgeraden mit Winkel α zur x-Achse die Matrizen-Darstellung

Es gilt:

(Man verwende die Additionsformeln für sin und cos mit α = 2α - α.)

Dies zeigt, dass gilt:

• (cos(α),sin(α)) ist ein Eigenvektor mit Eigenwert 1,
• (-sin(α),cos(α)) ist ein Eigenvektor mit Eigenwert -1.
(Daraus folgt umgekehrt, dass die zugehörige lineare Abbildung die Spiegelung an der Ursprungsgeraden durch den Punkt (cos(α),sin(α)) ist).