Weiterführende Bemerkung: Eines der wichtigsten Themen der Lineare Algebra ist die Untersuchung von derartigen "Unterräumen", dies wird bald geschehen.

Beweis: Ist x in Lös(A,0), so ist x+x' in Lös(A,b), denn A(x+x') = Ax + Ax' = b+0 = b.
Umgekehrt gilt: ist x" in Lös(A,b), so ist x"-x' in Lös(A,0), denn A(x"-x') = Ax" - Ax = b - b = 0. Und x" = x' + (x"-x').
(Verwendet wird hier das Distributivgesetz und die Rechenregeln für die Addition von Matrizen.)

Für eine beliebige (m×m)-Matrix P ist Lös(A,b) eine Teilmenge von Lös(PA,Pb), denn aus Ax = b folgt PAx = Pb.
(Verwendet wird hier die Assoziativität der Matrizenmultiplikation.)

Ist nun P invertierbar, so gilt Lös(A,b) = Lös(P^-1PA,b), und dies ist eine Teilmenge von Lös(PA,b).

Weiterführende Bemerkung: Wir werden bald zeigen: Die Pivot-Positionen jeder zu A gehörenden Zeilenstufenform hängen nur von der Matrix A ab. Insbesondere nennt man die Anzahl der Pivot-Positionen den "(Zeilen-)Rang" rang(A) der Matrix A. Offensichtlich ist der Rang der Matrix [A|b] entweder gleich rang(A) oder gleich rang(A)+1. Genau dann ist m+1 Pivot-Spalten-Index der Matrix [A|b], wenn gilt: rang([A|b]) = rang(A)+1.

Beweis: Es sei n+1 Pivot-Spalten-Index. Bezeichnen wir mit (1,t(1)),...,(r,t(r)) die Pivot-Positionen von A, so ist (r+1,n+1) die Pivot-Position in der (n+1)-ten Spalte. Die (r+1)-te Gleichung lautet dann: Σ_j 0.X_j = b_r+1 und es ist b_r+1 ≠ 0. Eine deartige Gleichung besitzt natürlich keine Lösung.

Ist dagegen n+1 kein Pivot-Spalten-Index, so liefern die folgenden Überlegungen Lösungen!

Um effektiv Lösungen zu berechnen, können wir voraussetzen,

• dass [A|b] in Schubert-Normalform ist und n+1 kein Pivot-Spalten-Index ist (siehe (2) und (3)),
  zusätzlich auch:
• dass [A|b] keine Null-Zeile besitzt
  (denn die Null-Zeilen liefern keine Information über die Lösungsmenge).
• dass die Pivot-Spalten die ersten Spalten sind
  (das Vertauschen von Spalten der Matrix A bedeutet ein Umbenennen [= Umnummerieren] der Unbekannten.)

Beweis: Es ist klar, dass eine Lösung des inhomogenen Gleichungssystems ist (nachrechnen!).

Der Zusatz ("Insgesamt gilt also...") basiert auf der Aussage 1: Man erhät alle Lösungen eines inhomogenen Systems, indem man zu einer speziellen Lösung des inhomogenen Systems alle des homogenen Systems addiert.

Es genügt also, das homogene Gleichungssystem zu betrachten.
Setze

C =


Man sieht sofort: [I_r|A']C = 0, demnach sind die Spalten von C Lösungen des homogenen Gleichungssystems [I_r|A']X = 0.

Sei umgekehrt x eine Lösung des homogenen Gleichungssystems [I_r|A']X = 0. Wir zeigen:

x = Σ_j=1^n-r x_r+j-1f(j).

Um dies zu zeigen, betrachten wir den Vektor

y   =    x   -   Σ_j=1^n-r x_r+jf(j). Offensichtlich sind die letzten n-r Koeffizienten von y gleich 0. Und natürlich ist y als Linearkombination der Vektoren y, f(1),...,f(n-r) ein Lösungsvektor.

Es genügt zu zeigen: Der einzige Lösungsvektor des Gleichungssystems [I_r|A']X = 0, dessen letzte n-r Koeffizienten gleich 0 sind, ist der Nullvektor. (Denn dann gilt y = 0, also die behauptete Gleichheit).

Aber multiplizieren wir für 1 ≤ i ≤ r die i-te Zeile von A mit y, so erhalten wir gerade den Koeffizienten y_i. Dies zeigt: y_i = 0. Also y = 0.

Weiterführende Bemerkungen:
• Die Spalten f(1),...,f(n-r) sind "linear unabhängig" , sie bilden also eine "Basis" von Lös([I_r|A'],0). Dies wird später gezeigt.
• Wir werden später das Lösen von linearen Gleichungssystemen in der Sprache der "linearen Abbildungen" formulieren: gesucht ist das Urbild eines Vektors unter einer linearen Abbildung g : Kⁿ → K^m.
  Und wir werden all dies auch in der Sprache der "affinen Geometrie" umformulieren.
• Und wir werden zumindest die Lösungsformel für homogene lineare Gleichungssysteme als Aussagen einer "Dualitätstheorie" interpretieren.

Beispiel

Hier als Beispiel das Gleichungssystem AX = b mit

(dabei haben wir als Koeffizienten neben rationalen Zahlen auch einige Variable, nämlich a,b,c,d,x,y,z,ν, verwendet).

Maple liefert die Lösungen in folgender Form:


Im Rahmen der Vorlesung schreiben wir derartige Elemente in der Form:

Links sieht man eine spezielle Lösung des gegebenen (inhomogenen) Gleichungssystems. Die Linearkombinationen der vier Vektoren mit den Faktoren t₁, t₂, t₃, t₄ stellen die Lösungen des zugehörigen homogenen Gleichungssystems AX = 0 dar.

Diese Beschreibung der Lösungsmenge entspricht gerade derjenigen im ersten Kasten (1).