Materialien: Lineare Algebra

Warum beschäftigen sich Mathematiker mit hoch-dimensionalen Vektorräumen, und nicht nur mit R2, R3, R4 ?

Es scheint naheliegend, sich mit den Vektorräumen R2, R3, R4 zu beschäftigen: Warum aber betrachten Mathematiker ganz allgemein n-dimensionale Vektorräume, wobei n eine beliebige natürliche Zahl ist (und sogar unendlich-dimensionale Vektorräume) ?

Ein Beispiel: Datenanalyse

Gegeben seien Datensätze xi, yi, 1 ≤ i ≤ n, also n Punkte in der Ebene R2. In der Regressionsanalyse fragt man sich, ob es eine Gesetzmäßigkeit gibt, wie die Werte yi von den Werten xi abhängen - die einfachste Abhängigkeit wäre eine lineare Abhängigkeit:
yi = axi + b
(d.h. also, dass die Punkte (yi,yi) auf der Geraden y = axi + b liegen). Handelt es sich um Messwerte, die mit Fehlern behaftet sind, so kann man nur erwarten, dass gilt:
yi ≈ axi + b,
mit Hilfe der linearen Regression bestimmt man derartige Konstanten a und b.

Ein Indiz für die Güte der Approximation durch die lineare Funktion ist der sogenannte Korrelations-Koeffizient rxy: Man betrachten die Vektoren x = (x1,...,xn) und x = (x1,...,xn) in Rn, und berechnet den Winkel zwischen diesen Vektoren!

Die n Vektoren in der Ebene R2 liefern also zwei Vektoren im Rn.

BIREP
Last modified: Mon Jun 6 20:45:56 CEST 2005