Lineare Algebra II SS 2000

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Aufgabe 32. Lösungsansatz.

Zu zeigen ist zweierlei: (1) Es sind Drehachsen und Drehwinkel anzugeben, die die Menge P = {A, B, C, D} in sich abbilden. (2) Es ist zu zeigen, daß es keine weiteren Drehungen mit dieser Eigenschaft gibt.

(2) Sei ϕ eine Drehung, die die Menge P = {A, B, C, D} in sich abbilden. Ist ϕ(a) = a für alle a ∈ P, so ist ϕ = 1. Seien also a ≠ b ∈ P mit ϕ(a) = b.

Fall 1. Sei ϕ(b) = a. Dann wird die Gerade, die durch a und b geht, auf sich abgebildet und p = \frac{1}{2}(a + b) bleibt unter ϕ invariant (er ist der einzige Punkt auf dieser Gerade, der von a und b den gleichen Abstand hat). Sei P \ {a, b} = {c, d}. Diese Menge wird ebenfalls auf sich abgebildet, insbesondere auch der Mittelpunkt q = \frac{1}{2}(c + d) zwischen c und d. Dies ist ein zweiter Fixpunkt, und die Gerade g durch p und q ist Fixgerade, also die Drehachse. Es handelt sich also um eine Drehung um den Winkel π um diese Achse. Insgesamt kann es drei derartige Drehungen geben, mit den Geraden durch \frac{1}{2}(A + B) und \frac{1}{2}(C + D), durch \frac{1}{2}(A + C) und \frac{1}{2}(B + D), und durch \frac{1}{2}(A + D) und \frac{1}{2}(B + C) als Drehachsen.

Fall 2: Sei ϕ(b) = c mit c ≠ a (und natürlich c ≠ b). Wir nehmen zuerst an, daß ϕ(c) = d ≠ a gilt. Dann ist ϕ(d) = a. Die Abbildung ϕ^{2} ist (wegen ϕ^{2}(a) = c, ϕ^{2}(c) = a, ϕ^{2}(b) = d und ϕ^{2}(d) = b) eine Drehung um den Winkel π, wie im Fall 1 beschrieben, insbesondere ist die Drehachse von ϕ^{2} die Gerade durch \frac{1}{2}(a + c) und \frac{1}{2}(b + d). Da wir voraussetzen, dass ϕ selbst eine Drehung ist, muß ϕ die gleiche Drehachse haben, aber \frac{1}{2}(a + c) wird unter ϕ auf \frac{1}{2}(b + d) ≠ \frac{1}{2}(a + c) abgebildet, ein Widerspruch. Wir sehen also: ϕ(c) = a, und demnach wird die Ebene durch a, b, c in sich abgebildet, und der Mittelpunkt \frac{1}{3}(a + b + c) der Punkte a, b, c bleibt unter ϕ invariant. Sei P \ {a, b, c} = {d}, natürlich gilt ϕ(d) = d. Als Fixgerade und demnach Achse der Drehung erhalten wir die Gerade h durch \frac{1}{3}(a + b + c) und d. Insgesamt kann es vier derartige Achsen geben (durch jeden der Punkte A, B, C, D eine). Die zyklische Vertauschung von a, b, c zeigt, daß es sich hier um eine Drehung um den Winkel \frac{2π}{3} oder \frac{4π}{3} handelt.

Wir haben hiermit die möglichen Drehachsen und Drehwinkel bestimmt.

(1) Ganz einfach hinzuschreiben ist die Achse durch die Punkte \frac{1}{2}(A+B) und \frac{1}{2}(C+D), dies ist die dritte Koordinatenachse, die entsprechende Drehung ist durch

[ \begin{matrix}−1 & 0 & 0 \\ 0 & −1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ]

gegeben. Natürlich vertauscht diese Drehung A und B, und auch C und D. Die Achse durch die Punkte A und \frac{1}{3}(B + C + D) ist die Ursprungsgerade durch A, also ℝA, eine entsprechende Drehmatrix ist

[ \begin{matrix}\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & −\frac{1}{2}a \\ −\frac{1}{2} & −\frac{1}{2} & −\frac{1}{2}a \\ −\frac{1}{a} & \frac{1}{a} & 0 \end{matrix} ]

(Wie erhält man diese Matrix? Zum Beispiel kann man [ C | D | B] · [ B | C | D]^{−1} ausrechnen.)