Lineare Algebra: Übungszettel (Anwesenheitsübungen) WS 1999/2000

Beschreibung von Mengen von Matrizen

Die Zeilenstufenform

._{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  _{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} b_{1,j_{1}} b_{2,j_{2}}  b_{r,j_{r}} . . . . . .  …^{...} 0

wurde folgendermaßen definiert: Dies ist eine (m×n)-Matrix B = (b_{ij})_{ij}, so daß gilt: Gegeben sind 1 ≤ j_{1} < j_{2} < ⋯ < j_{r} ≤ n mit

b_{i,j_{i}} ≠ 0 für 1 ≤ i ≤ r
b_{ij} = 0 falls j < j_{i} und 1 ≤ i ≤ r
b_{ij} = 0 falls i > r.

Gesucht sind nun analoge Beschreibungen der folgenden Mengen von (n×n)-Matrizen (es handelt sich also jeweils um quadratische Matrizen):

(1) Im schraffierten Bereich dürfen die Koeffizienten beliebig sein, außerhalb sind nur Nullen erlaubt:

._{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  _{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} 0  0^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} _{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  _{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  _{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} 0  0_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.} ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}

dabei sei die obere linke Ecke eine (r × r)-Matrix.

(2) Die Menge der Diagonal-Matrizen (d.h: außerhalb der “Hauptdiagonale” stehen Nullen).

(3) Die Monomial-Matrizen (d.h.: In jeder Zeile und in jeder Spalte gibt es genau ein von Null verschiedenes Element).

(4) Die oberen Dreiecksmatrizen

._{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  _{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} 0^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}

(5) Die unteren Dreiecksmatrizen

._{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  _{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} 0^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}

(6) Die (n × n)-Matrix

._{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  _{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} 1 1 1 1 0 0^{.}^{.}^{.}^{.}

(Links oben und rechts unten stehen nur Nullen.)

Antworten.

(1) Es ist b_{ij} = 0 für alle Paare (i, j) mit folgender Eigenschaft: Links:

falls 1 ≤ i ≤ r und r < j ≤ n

und auch

falls r < i ≤ n und 1 ≤ j ≤ r

Rechts:

falls 1 ≤ i ≤ r und 1 ≤ j ≤ r

und auch

falls r < i ≤ n und r < j ≤ n

(2) b_{ij} = 0 falls i ≠ j.

(3) Zu jedem 1 ≤ i ≤ n gibt es ein j_{i} (mit 1 ≤ j_{i} ≤ n) mit folgenden Eigenschaften:

(a) Ist i ≠ i′, so ist j_{i} ≠ j_{i′}.

(b) Es ist b_{i,j_{i}} ≠ 0 für jedes i.

(c) Ist b_{ij} ≠ 0, so ist j = j_{i}.

(4) b_{ij} = 0 für i > j.

(5) b_{ij} = 0 für i < j.

(6) b_{i,n−i+1} = 1 für 1 ≤ i ≤ n und b_{ij} = 0 falls j ≠ n − i + 1.

Lineare Algebra: Zum Üben WS 1999/2000 Zum Üben. Hier drei Matrizen, die durch elementare Zeilenumformungen in Zeilenstufenform gebracht werden sollen:

[ \begin{matrix}0 & 0 & 0 & 2 & −1 \\ 0 & 1 & −2 & 1 & 0 \\ 0 & −1 & 2 & 1 & −1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2 \end{matrix} ]
[ \begin{matrix}1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & −1 & 1 & −1 & 1 & −1 \\ 1 & 2 & 1 & 2 & 1 & 2 \\ −1 & −1 & −1 & −1 & −1 & −1 \end{matrix} ]
[ \begin{matrix}0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} ]

Lineare Algebra: Aufgaben 1 WS 1999/2000

Zeilenstufenform Abgabetermin: Donnerstag, 28.10.99, 10:15

1. Zeige: Jede Matrix läßt sich durch elementare Zeilenumformungen in eine Matrix C = (c_{ij})_{ij} mit folgenden Eigenschaften überführen: Gegeben sind 1 ≤ j_{1} < j_{2} < ⋯ < j_{r} ≤ n mit

c_{i,j_{i}} ≠ 0 für 1 ≤ i ≤ r,
c_{ij} = 0 falls j < j_{i} und 1 ≤ i ≤ r,
c_{ij} = 0 falls i > r,
c_{t,j_{i}} = 0 falls t ≠ i.

2. Zeige: Jede Matrix in Zeilenstufenform läßt sich durch elementare Spaltenumformungen in folgende Form bringen:

._{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  _{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} 1 1  1 0 0 0  0 0^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}

3. Geben Sie eine Matrix A an, die durch elementare Zeilenumformungen in zwei verschiedene Matrizen B, B′ in Zeilenstufenform mit Pivot-Koeffizienten 1 überführt werden kann.

Hinweis: Bei einer derartigen Fragestellung vesucht man, ein Beispiel anzugeben, das so einfach wie möglich ist! Zu notieren sind natürlich auch die beiden Folgen von Zeilenumformungen und die Matrizen B, B′, die man erhält.

4. Bringen Sie die auf der nächsten Seite notierte Matrix in Zeilenstufenform. (Sie dürfen Maple verwenden).

Hinweis: Jeder erhält seine eigene Matrix!

Hier das Kleingedruckte: Die Lösungen sind auf Blättern im DIN A4-Format (Name und Übungsgruppe nicht vergessen) in deutlich lesbarer Form abzugeben. Pro Aufgabe gibt es 4 Punkte, für die Bescheinigung über die erfolgreiche Teilnahme an den Übungen sind 50 % der Punkte aller Übungszettel erforderlich. Zur Arbeitstechnik: Auch wenn Sie mit anderen Studenten zusammen arbeiten (was auf jeden Fall erwünscht ist), müssen Sie die erarbeiteten Ergebnisse eigenständig formulieren. (Bei identischen Formulierungen wird davon ausgegangen, daß einfach abgeschrieben wurde und er werden keine Punkte vergeben; notwendig ist also, zumindest Wortwahl und Satzstellungen zu verändern!) Es wird erwartet, daß Sie die vorgelegten Lösungen der Aufgaben im Rahmen der Übungsstunden auch vortragen.

Nr. 113

[ \begin{matrix}4 & 3 & 1 & 4 & 3 & 1 & 4 & 1 & 1 & 1 \\ 4 & 3 & 2 & 1 & 3 & −3 & 4 & 2 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ −4 & −3 & −1 & −4 & −3 & 3 & −4 & 0 & −1 & −2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 4 & 1 \\ 8 & 6 & 2 & 8 & 6 & 2 & 8 & 2 & −2 & 1 \\ 4 & 3 & 0 & 7 & 3 & 5 & 4 & 0 & 5 & 1 \end{matrix} ]

Determinanten und Permutationen Abgabetermin: 4.11.99

5. Seien q_{1}, …, q_{n} rationale Zahlen. Zeige:

det [ \begin{matrix}1 & q_{1} & q_{1}^{2} & ⋯ & q_{1}^{n−1} \\ 1 & q_{2} & q_{2}^{2} & ⋯ & q_{2}^{n−1} \\ ⋯ & & & & ⋯ \\ 1 & q_{n} & q_{n}^{2} & ⋯ & q_{n}^{n−1} \end{matrix} ] = (−1)^{n} ∏_{i<j}(q_{i} − q_{j}).

6. Sei M eine Matrix der Form

M = [ \begin{matrix}A & B \\ 0 & C \end{matrix} ] ,

wobei A und C quadratische Matrizen sind. Zeige det M = det A · det C.

7. Sei A eine m × n Matrix. Es gebe eine r × r Matrix, die durch Streichen von Zeilen und Spalten aus A hervorgeht und deren Determinante von Null verschieden ist, aber keine (r +1)×(r +1) Matrix mit diesen Eigenschaften. Zeige: Dann besitzt die Zeilenstufenform genau r Pivot-Positionen.

8. Zeige: Jede Permutation läßt sich als Hintereinanderschaltung von Transpositionen schreiben.

Lineare Algebra: Zur Aufgabe 7 WS 1999/2000

Sei A eine (m × n)-Matrix. Es gebe eine r × r Matrix, die durch Streichen von Zeilen und Spalten aus A hervorgeht und deren Determinante von Null verschieden ist, aber keine (r +1)×(r +1) Matrix mit diesen Eigenschaften. Zeige: Dann besitzt die Zeilenstufenform genau r Pivot-Positionen.

Ist A eine (m × n)-Matrix und sind r paarweise verschiedene Zeilenindizes i_{s} und r paarweise Spaltenindizes j_{s} (dabei sei jeweils 1 ≤ s ≤ r) gegeben, so sei A(i_{1}, …, i_{r}; j_{1}, …, j_{r}) diejenige Matrix, die aus A durch Streichen aller Zeilen i mit i ∉ {i_{1}, …, i_{r}} und aller Spalten j mit j ∉ {j_{1}, …, j_{r}} entsteht. Beweis im Fall m = r. Es sei A′ = A(1, 2, …, m; j_{1}, …, j_{m}) mit det A′ ≠ 0. Durch elementare Zeilenumformungen erhalten wir aus A eine Matrix B in Zeilenstufenform. Diese Matrix habe s Pivot-Positionen. Die verwendeten Zeilenumformungen bringen die Matrix A′ in die Form B′ = B(1, 2, …, m; j_{1}, …, j_{m}), dabei ändert sich die Determinante nur um einen von Null verschiedenen Faktor, also ist det B′ ≠ 0. Wäre nun s < m, so hätte B (also auch B′) eine Null-Zeile, dann wäre aber det B′ = 0, dies geht nicht. Also muß s = m gelten. Bemerkung. Für den allgemeinen Fall empfiehlt es sich, Zeilen-Vertauschungen beim Bilden einer Zeilenstufenform erst als letztes vorzunehmen, also zuerst nur mit Zeilenumformungen der Form (III) zu arbeiten. Was man auf diese Weise erhalten kann, sollte man eine “Zeilen-Pivot-Form” nennen: Die Zeilen-Pivot-Form einer Matrix. Eine Matrix A = (a_{ij})_{ij} ist in Zeilen-Pivot-Form, falls es r paarweise verschiedene Zeilenindizes i_{s} und r paarweise verschiedene Spaltenindizes j_{s} (dabei sei jeweils 1 ≤ s ≤ r) gibt mit:

(1) Es ist a_{i_{s},j_{s}} ≠ 0, für 1 ≤ s ≤ r.

(2) Ist j < j_{s}, so gilt a_{i_{s},j} = 0, für 1 ≤ s ≤ r.

(3) Ist i ≠ i_{s}, so ist a_{i,j_{s}} = 0, für 1 ≤ s ≤ r.

(4) Es ist a_{ij} = 0 falls i ∉ {i_{1}, …, i_{r}}. Durch elementare Zeilenumformungen der Form (III) kann man jede Matrix in Zeilen-Pivot-Form bringen: Wähle eine beliebige Zeile, die ein von Null verschiedenes Element besitzt, etwa die Zeile mit Index i_{1}. Sei j_{1} minimal mit a_{i_{1},j_{1}} ≠ 0. Für s = 1 gilt also (1), (2); durch Umformungen der Form (III) erhält man (3). Und so weiter …. Eine Matrix in Zeilen-Pivot-Form kann man durch Zeilenvertauschungen in Zeilenstufenform bringen. Beweis im allgemeinen Fall. Es sei det A(i_{1}, …, i_{r}; j_{1}, …, j_{r}) ≠ 0. Bringe A in Zeilen-Pivot-Form, beginne dabei mit den Zeilen mit Index i_{1}, …, i_{r}. Wegen des Spezialfalls r = m wissen wir, daß diese Zeilen r Pivot-Positionen besitzen. Wir erhalten also aus A eine Zeilen-Pivot-Form mit mindestens r Pivot-Positionen, also nach Umordnen eine Zeilenstufenform mit mindestens r Pivot-Positionen. Umkehrung: Durch elementare Zeilenumformungen sei aus A eine Matrix B in Zeilenstufen-Form entstanden und B habe mindestens r Pivot-Positionen. Dann erhält man aus A durch Verwendung von Zeilenumformungen der Form (III) auch eine Matrix C in Zeilen-Pivot-Form mit mindestens r Pivot-Positionen. Wähle r Pivot-Positionen von C aus, etwa (i_{1}, j_{1}), …, (i_{r}, j_{r}). Sei

A′ = A(i_{1}, …, i_{r}; j_{1}, …, j_{r}) und C′ = C(i_{1}, …, i_{r}; j_{1}, …, j_{r}).

Dann ist det C′ ≠ 0, also auch det A′ ≠ 0, denn C′ entsteht aus A′ durch elementare Zeilenumformungen der Form (III).

Matrizen-Multiplikation Abgabetermin: 11.11.99

9. A, B seien (n × n)-Matrizen. Zeigen Sie: Sind A, B obere Dreiecksmatrizen, so ist auch AB eine obere Dreiecksmatrix.

10. Sei A = (a_{ij})_{ij} eine (n × n)-Matrix. Die Spur von A ist durch spur(A) = ∑_{i=1}^{n} a_{ii} definiert. Seien A, B (n × n)-Matrizen. Zeigen Sie spur(AB) = spur(BA).

11. Man nennt A eine monomiale Matrix, falls es in jeder Zeile und in jeder Spalte genau einen von Null verschiedenen Koeffizienten gibt. Zeigen Sie:

(a) Das Produkt zweier monomialer (n × n)-Matrizen ist wieder monomial.

(b) Zu jeder monomialen Matrix A gibt es eine monomiale Matrix B mit AB = BA = I.

(c) Jede monomiale Matrix ist Produkt einiger Transpositionsmatrizen und einer Diagonalmatrix.

12. Seien A, A′ (m × n)-Matrizen, seien B, B′ (n × r)-Matrizen. Zeige:

(a) ^{t}(AB) = ^{t}B ·^{t}A.

(b) A(B + B′) = AB + AB′.

(c) (A + A′)B = AB + A′B.

Zum Üben! Lösungen sollen aber nicht abgegeben werden! Und: Nicht alles macht Sinn!

[ \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 0 & −1 & 0 \end{matrix} ] · [ \begin{matrix}0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & −2 & 0 \end{matrix} ] , [ 1 1 ] · [ \begin{matrix}0 & 2 & 1 \\ 1 & 7 & 2 \end{matrix} ] , [ \begin{matrix}0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \end{matrix} ] · [ \begin{matrix}1 & 3 \\ 5 & 1 \end{matrix} ]

[ \begin{matrix}0 & 2 & 0 \\ 0 & −1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \end{matrix} ] · [ \begin{matrix}1 & 3 \\ 0 & 0 \\ 5 & 1 \end{matrix} ] · [ \begin{matrix}1 \\ 2 \end{matrix} ] , [ \begin{matrix}−1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix} ] · [ \begin{matrix}0 & −2 & 1 \\ 1 & 7 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix} ] , [ \begin{matrix}0 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \end{matrix} ] · [ \begin{matrix}0 & 1 \\ 0 & 0 \\ −1 & 1 \end{matrix} ]

[ \begin{matrix}0 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 0 & 1 \end{matrix} ] · [ \begin{matrix}1 & 3 \\ 0 & −1 \\ 0 & 0 \\ 1 & 1 \\ 5 & 1 \end{matrix} ] , [ \begin{matrix}−1 & 0 & 3 \\ 0 & −1 & 0 \end{matrix} ] · [ \begin{matrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{matrix} ] .

Matrizen-Multiplikation II.

13. (a) Seien λ, μ ∈ ℚ. Bestimmen Sie alle (2 × 2)-Matrizen A mit Koeffizienten in ℚ, für die

A [ \begin{matrix}λ & 0 \\ 0 & μ \end{matrix} ] = [ \begin{matrix}λ & 0 \\ 0 & μ \end{matrix} ] A

gilt.

Hinweis: Es gibt zwei wesentlich verschiedene Fälle. Welche?

(b) Seien λ_{1}, λ_{2}, λ_{3} ∈ ℚ. Bestimmen Sie alle (3 × 3)-Matrizen A mit Koeffizienten in ℚ, für die

A [ \begin{matrix}λ_{1} & 0 & 0 \\ 0 & λ_{2} & 0 \\ 0 & 0 & λ_{3} \end{matrix} ] = [ \begin{matrix}λ_{1} & 0 & 0 \\ 0 & λ_{2} & 0 \\ 0 & 0 & λ_{3} \end{matrix} ] A

gilt.

Hier gibt es fünf verschiedene Fälle, drei davon sind aber durchaus ähnlich, jedenfalls auf den zweiten Blick.

14. (a) Zeigen Sie: Ist A eine (2 × 2)-Matrix mit Koeffizienten in ℚ, so gilt A^{2} = 0 genau dann, wenn sowohl det A = 0 als auch spur A = 0 gilt.

(b) Geben Sie (2×2)-Matrizen B, C an mit det B = 0 und spur C = 0, aber B^{2} ≠ 0 und C^{2} ≠ 0..

(c) Geben Sie eine (3×3)-Matrix mit Koeffizienten in ℚ an, mit det A = 0, spur A = 0, aber A^{3} ≠ 0.

15. Zeigen Sie: Jede (n × n)-Matrix läßt sich als Produkt von n^{2} + n Elementarmatrizen der Form S_{i}(λ), Q_{ij}(μ), P_{ij} schreiben.

Zum Knobeln. Kann man n^{2} + n durch n^{2} + n − 1 oder eine noch kleinere Zahl ersetzen?

Und Determinanten.

16. Seien A = (a_{ij})_{ij}, B = (b_{ij})_{ij}, C = (c_{ij})_{ij} (n × n)-Matrizen. Es gebe einen Zeilenindex r mit folgenden Eigenschaften: a_{ij} = b_{ij} = c_{ij} falls i ≠ r und c_{rj} = a_{rj} + b_{rj} (für alle j). Dann ist

det C = det A + det B.

Zum Üben (aber nicht zum Abgeben): Schreiben Sie folgende Matrizen als Produkte von Elementarmatrizen:

[ \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{matrix} ] ,  [ \begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix} ] ,  [ \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 10 & 20 & 5 \\ 2 & 0 & 3 \end{matrix} ] ,  [ \begin{matrix}1 & −1 & 1 \\ −1 & 2 & −5 \\ 2 & 1 & −3 \end{matrix} ] .

Ähnlichkeit

Seien A, B (n × n)-Matrizen. Definition: Die Matrix A ist ähnlich zu B, falls es eine invertierbare Matrix P mit B = P^{−1}AP gibt.

17. Zeige:

(1) Ist A ähnlich zu B, so ist B ähnlich zu A.

(2) Ist A ähnlich zu B und B ähnlich zu C, so ist A ähnlich zu C.

(3) Ist A ähnlich zu B, so ist spur A = spur B und det A = det B.

(4) Ist A ähnlich zu B und ist B eine Skalarmatrix, so ist A = B.

18. Sei P = (p_{ij})_{ij} die (n × n)-Matrix mit p_{i,n−i+1} = 1 und p_{ij} = 0 falls j ≠ n − i + 1. Zeige:

(a) P^{−1} = P.

(b) Ist A eine obere Dreiecksmatrix, so ist P AP eine untere Dreiecksmatrix.

(c) Ist A eine untere Dreiecksmatrix, so ist P AP eine obere Dreiecksmatrix.

19. Sei A = [ \begin{matrix}λ & 1 \\ 0 & μ \end{matrix} ]. Zeige: Genau dann ist A zu einer Diagonalmatrix ähnlich,

wenn λ ≠ μ gilt.

Nilpotenz.

20. Sei A^{n} = 0. Dann ist I + A invertierbar.

(Es gilt sogar: Ist λ ≠ 0, so ist λI + A invertierbar.)

Das Kleingedruckte, Teil II:

(1) Die Übungsgruppenleiter haben herbe Kritik am Aufschreiben der Aufgaben geäußert. Es ist unabdingbar notwendig, daß vor dem Aufschreiben der Lösungen eine Lösungsskizze auf einem (Schmier-)Zettel notiert wird und daß erst dann, wenn der Lösungsweg vollständig klar ist und auch vorformuliert wurde, die endgültige Lösung aufgeschrieben wird.

(2) Da ein derartiges Aufschreiben von Lösungen durchaus zeitintensiv ist, darf ab sofort in Zweiergruppen abgegeben werden: Jeder einzelne muß also nur die Hälfte der Lösungen

aufschreiben, dies aber präzise, sauber und wohl überlegt.

(3) Bei vier abzugebenden Aufgaben muß jede(r) der beiden jeweils zwei Aufgaben aufschreiben, aber mit den beiden anderen Aufgaben ebenfalls völlig vertraut sein. Üblicherweise sollte in den Übungsstunden vorrechnen, wer die Aufgabe nicht aufgeschrieben hat.

Gruppen

21. Sei B eine (n × n)-Matrix. Setze G(B) = {A ∈ GL(n, ℚ) | ^{t}ABA = B}.

Zeige:

(a) G(B) ist eine Untergruppe von GL(n, ℚ).

(b) Ist det B ≠ 0 und A ∈ G(B), so ist det A ∈ {1, −1}.

(c) Berechne in einem Spezialfall G(B). Dabei darf B (also auch n) beliebig gewählt werden, einzige Bedingung: B soll keine Skalarmatrix sein (warum??).

22. Gegeben sind die folgenden beiden (2 × 2)-Matrizen A, B:

A = [ \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix} ] , B = [ \begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ] .

Sei G die von A und B erzeugte Untergruppe der GL(2, ℚ). Bestimme alle Elemente von G und die Multiplikations-Tafel.

23. Sei U eine Untergruppe der Gruppe G, sei g ∈ G. Sei gUg^{−1} = {ghg^{−1} | h ∈ G}

(a) Zeige: gUg^{−1} ist eine Untergruppe von G.

(b) Sei G = S_{4} , sei U die von ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \end{matrix} ) erzeugte Untergruppe. Wieviele Untergruppen der Form gUg^{−1} gibt es?

24. Sei G die Menge aller (2 × 2)-Matrizen der Form

[ \begin{matrix}a & −b \\ b & a \end{matrix} ]

mit a, b ∈ ℚ und (a, b) ≠ (0, 0). Zeige: Dies ist eine Untergruppe der GL(2, ℚ). (Gesucht ist dabei insbesondere eine Formel für g^{−1} , falls g ∈ G.)

GL(n, ℚ)

25. Sei A = (a_{ij})_{ij} eine (n×n)-Matrix. Setze A_{t} = (a_{ij})_{1≤i≤t,1≤j≤t}. Zeige, daß die folgenden beiden Bedingungen äquivalent sind:

(i) A = BC, wobei B eine invertierbare untere Dreiecksmatrix und C eine invertierbare obere Dreiecksmatrix ist.

(ii) det A_{t} ≠ 0 für 1 ≤ t ≤ n.

26. Seien B_{1}, B_{2} unipotente untere Dreiecksmatrizen, C_{1}, C_{2} unipotente obere Dreiecksmatrizen, D_{1}, D_{2} invertierbare Diagonalmatrizen. Ist B_{1}D_{1}C_{1} = B_{2}D_{2}C_{2} , so ist B_{1} = B_{2}, C_{1} = C_{2} , D_{1} = D_{2}..

27. Sei B(n, ℚ) die Menge der invertierbaren oberen Dreiecksmatrizen in GL(n, ℚ). Seien d_{1}, …, d_{n} ganze Zahlen. Ist A = (a_{ij})_{ij} in B(n, ℚ), so setze

χ_{d}(A) = a_{11}^{d_{1}} ⋯ a_{nn}^{d_{n}}.

Zeige: χ_{d}: B(n, ℚ) → ℚ^{∗} ist ein Gruppen-Homomorphismus.

28. Sei S(n, ℚ) die Menge der Matrizen A = (a_{ij})_{ij} in B(n, ℚ) mit a_{i,j} = a_{i+1,j+1} falls 1 ≤ i < n und 1 ≤ j < n. Bilde die (n × n)-Matrix J = (c_{ij})_{ij} mit c_{i,i+1} = 1 für 1 ≤ i < n, und c_{ij} = 0 falls j ≠ i + 1. Zeige:

(a) Die Matrizen in S(n, ℚ) sind gerade diejenigen Matrizen, die sich in der Form ∑_{i=0}^{n−1} c_{i}J^{i} mit c_{0} ∈ ℚ^{∗} und c_{1}, …, c_{n−1} ∈ ℚ schreiben lassen.

(b) S(n, ℚ) ist eine Untergruppe von B(n, ℚ).

(Insbesondere ist eine Formel für das Inverse von ∑_{i=0}^{n−1} c_{i}J^{i} gesucht.)

Vor allem: ℤ/nℤ

29. Sei R ein Ring. Die Abbildung e: R[T] → Abb(R, R) sei durch e(f)(r) = f(r) für f = f(T) definiert.

(a) Zeige: e ist ein Ring-Homomorphismus.

(b) Ist R ein endlicher Ring, so kann e natürlich nicht injektiv sein. Geben Sie im Fall R = ℤ/3ℤ vier verschiedene Polynome f_{1}, f_{2}, f_{3}, f_{4} mit e(f_{1}) = e(f_{2}) = e(f_{3}) = e(f_{4}) an.

30. Gesucht ist eine (2 × 2)-Matrix A = (a_{ij})_{ij} mit ganzzahligen Koeffizienten a_{ij} ≠ 0 für alle i, j, die modulo 3 und modulo 5 invertierbar ist, aber modulo der Zahlen 2, 7, 11 nicht invertierbar ist.

31. Zeigen Sie: Sei K ein Körper. Eine (2 × 2)-Matrix [ \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ] ist genau dann

invertierbar, wenn die folgenden beiden Bedingungen erfüllt sind (1) Es ist [a, b] ≠ [0, 0].

(2) Es gibt kein λ ∈ K mit [c, d] = λ[a, b].

32. Sei p eine Primzahl. Bestimmen Sie die Ordnung der Gruppe GL(2, ℤ/pℤ).

(Hinweis: Zum Abzählen der Elemente kann man das Ergebnis aus 31 verwenden!)

Grundbegriffe der Algebra

33. Sei n ≥ 1 eine natürliche Zahl. Zeigen Sie: Genau dann besitzt ℤ/nℤ mindestens ein von Null verschiedenes nilpotentes Element, wenn es eine Primzahl p gibt, so daß p^{2} ein Teiler von n ist.

34. Sei K die Menge der reellen Zahlen der Form a + b\sqrt{2} mit a, b ∈ ℚ. Zeige: Dies ist ein Körper.

35. Sei K′ die Menge der Matrizen [ \begin{matrix}a & 2 b \\ b & a \end{matrix} ] mit a, b ∈ ℚ.

(a) Zeige: Dies ist ein Unterkörper von M(2 × 2, ℚ).

(b) Zeige: Die Abbildung γ: K′ → K mit

γ([ \begin{matrix}a & 2 b \\ b & a \end{matrix} ]) = a + b\sqrt{2}

ist ein Körper-Isomorphismus.

36. Einige sollten folgendes Schiebe-Spiel kennen: in einem Rahmen sind 15 Plättchen mit den Zahlen 1, 2, …, 15, die horizontal und vertikal verschoben werden können; zusätzlich gibt es ein Leerfeld; ein Zug besteht darin, eine der Nachbarzahlen des Leerfelds auf das Leerfeld zu ziehen. Hier links die Ausgangsstellung und vier mögliche Züge:

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Zeige: Es ist unmöglich, ausgehend von der Anfangsstellung die folgende Stellung zu erhalten:

.^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.} 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Hinweis: Es empfiehlt sich, dem Leerfeld den Namen 16 zu gehen und die Bewegung v_{i} als Transposition τ_{i,16} zu interpretieren. Nach unseren vier Zügen haben wir also die Permutation

τ_{8,16}τ_{12,16}τ_{11,16}τ_{15,16}

erhalten.Die Menge der möglichen Positionen des Spiels entspricht auf diese Weise einer Untermenge M ⊆ S_{16} (diese Untermenge M ist keine Untergruppe). Zeigen Sie, daß die Menge der ϕ ∈ M mit ϕ(16) = 16 nur gerade Permutationen enthält. Und natürlich, daß daraus die Behauptung folgt.

Lineare Unabhängigkeit

Sei K ein Körper, sei V ein K -Vektorraum.

37. Die Vektoren v_{1}, …, v_{n} in V seien linear unabhängig. Sei v ∈ V . Zeige: Genau dann sind die Vektoren v_{1}, …, v_{n}, v linear unabhängig, wenn v ∉ span(v_{1}, …, v_{n}).

38. Sei K ein endlicher Körper, sei dim V = n. Bestimmen Sie die Anzahl der Basen von V .

(Hinweis: Zu bestimmen ist also die Anzahl a(n) der linear unabhängigen Folgen (v_{1}, …, v_{n}). Wieviele Möglichkeiten gibt es für v_{1} ? Wenn v_{1} gewählt ist, wieviele Möglichkeiten gibt es für v_{2},? Usw.)

39. (a) Zeigen Sie, daß folgende beiden Bedingungen äquivalent sind:

(i) dim V ≥ n. (ii) Es gibt Unterräume 0 ⊂ U_{1} ⊂ U_{2} ⊂ ⋯ ⊂ U_{n} ⊆ V.

(b) Zeigen Sie, daß folgende beiden Bedingungen äquivalent sind:

(i) dim V ≤ n. (ii) Gibt es Unterräume 0 ⊂ U_{1} ⊂ U_{2} ⊂ ⋯ ⊂ U_{m} ⊆ V, so ist m ≤ n.

40. Sei M eine Menge. Für jedes t ∈ ℕ_{0} sei eine Abbildung f_{t}: M → K gegeben. Ist f_{t}^{−1}(0) ⊂ f_{t+1}^{−1}(0), für alle t ∈ ℕ_{0} , so sind die Abbildungen f_{0}, f_{1}, … linear unabhängig (d.h.: Die Folge (f_{0}, f_{1}, …, f_{n}) ist für jedes n linear unabhängig).

(Man sieht auf diese Weise, daß die Funktionen f_{t}(x) = cos(tx): [0, 2π] → ℝ mit t ∈ ℕ_{0} linear unabhängig sind.)

Lineare Abbildungen

Sei K ein Körper, seien V, W K -Vektorräume. Sei f: V → W eine lineare Abbildung.

41. Zeige:

(a) Ist V′ ein Unterraum von V , so ist f^{−1}f(V′) = V′ + Ker(f) (insbesondere ist also f^{−1}f(V′) ⊇ V′).

(b) Ist W′ ein Unterraum von W, so ist ff^{−1}(W′) = W′ ∩ Im(f) (insbesondere ist also ff^{−1}(W′) ⊆ W′).

(c) Konstruiere eine von Null verschiedene lineare Abbildung g: ℚ^{2} → ℚ^{2} und Unterräume V′, W′ ⊆ ℚ^{2} mit

g^{−1}g(V′) ≠ V′ und gg^{−1}(W′) ≠ W′.

42. Seien U, U′ Unterräume von V .

(a) Zeige: f(U ∩ U′) ⊆ f(U) ∩ f(U′).

(b) Sei V = W = ℚ^{4} und U = ℚ^{2} × 0^{2} , U′ = 0^{2} × ℚ^{2} . Konstruiere drei lineare Abbildungen f_{0}, f_{1}, f_{2} : V → V mit dim f_{i}(U) ∩ f_{i}(U′) = i.

43. Sei W = V . Seien λ ≠ λ′ ∈ K. Zeige:

(a) Die Menge

U(λ) = {v ∈ V | f(v) = λ · v}

ist ein Unterraum von V .

(b) Es ist

U(λ) ∩ U(λ′) = 0.

44. (a) Sei V = W. Sei v ∈ V mit f^{t−1}(v) ≠ 0 und f^{t}(v) = 0 für ein t ∈ ℕ_{1} . Zeige: die Vektoren (v, f(v), …, f^{t−1}(v)) sind linear unabhängig.

(Hinweis: Führen Sie einen Widerspruchsbeweis! Wären die Vektoren (v, f(v), …, f^{t−1}(v)) linear abhängig, so zeige man, daß es 0 ≤ s < t gibt, so daß sich f^{s}(v) als Linearkombination der Vektoren f^{i} mit i > s schreiben läßt. Wende nun auf f^{s}(v) eine geeignete Potenz von f an (welche?), um einen Widerspruch zu erhalten.)

(b) Folgerung: Ist A eine nilpotente (n × n)-Matrix, so ist A^{n} = 0.

Basen, lineare Abbildungen

45. In ℚ^{3} mit der kanonischen Basis e_{1}, e_{2}, e_{3} sei die Menge S der folgenden 18 Vektoren gegeben:

(*)  e_{i}, −e_{i}, e_{i} + e_{j}, e_{i} − e_{j}, −e_{i} + e_{j}, −e_{i} − e_{j}, mit i ≠ j

und i, j ∈ {1, 2, 3}. Gesucht ist eine Basis b_{1}, b_{2}, b_{3} des ℚ^{3} , so daß sich alle Vektoren v ∈ S als Linearkombinationen v = ∑_{i} λ_{i}b_{i} schreiben lassen, wobei alle λ_{i} ganzzahlig sind und entweder gleichzeitig positiv oder gleichzeitig nicht-positiv sind.

(Es sollte auch eine Skizze zur Veranschaulichung angefertigt werden! Für Mutige: Man betrachte die entsprechende Menge (∗) in ℚ^{n}.)

46. Betrachte die Matrix N(n) = (a_{ij})_{ij} ∈ M(n × n, ℚ) mit a_{i,i+1} = 1 für alle i und a_{ij} = 0 für j ≠ i + 1.

(a) Berechne Ker f_{N(n)}^{t} und Im f_{N(n)}^{t} für alle t ∈ ℕ_{0}.

(b) Bestimme alle Unterräume U ⊆ ℚ^{n} mit f_{N(n)}(U) ⊆ U.

47. Betrachte folgende Unterräume von ℚ^{4}

U = {(x_{1}, …, x_{4}) | x_{i} ∈ ℚ, ∑ x_{i} = 0}
U_{1} = {(0, x, y, 0) | x, y ∈ ℚ}
U_{2} = {(x, x, y, y) | x, y ∈ ℚ}

(a) Gesucht sind (4 × 4)-Matrizen A, B mit Ker f_{A} = U = Im f_{B}.

(b) Gesucht sind (4 × 4)-Matrizen A(i, j) mit Ker f_{A(i,j)} = U_{i} und Im f_{A(i,j)} = U_{j}, für alle i, j ∈ {1, 2}.

48. Betrachte im Polynomring ℚ[T] den Unterraum P_{n} aller Polynome vom Grad höchstens n. Für 0 ≤ k ≤ n setze

\binom{T}{k} = \frac{1}{k!}T · (T − 1) · · · · · (T − k + 1).

Zeige:

(a) Die Folge A(n) = (\binom{T}{0}, \binom{T}{1}, …, \binom{T}{n}) ist eine Basis von P_{n}.

(b) Für 0 ≤ i ≤ 4, schreibe T^{i} als Linearkombination von Elementen der Basis A(4).

(c) Es gilt \binom{T}{k} + \binom{T}{k−1} = \binom{T +1}{k}.

Lineare Algebra: Zur Aufgabe Nr.45 WS 1999/2000 Kuboktaeder (= Wurzelsystem A_{3} )

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• Kantenmittelpunkt ∘ Flächenmittelpunkt

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Lineare Algebra: Aufgaben 13 (Diagonalisierbarkeit) WS 1999/2000

Sei K ein Körper.

49. Im Fischer, p.216 steht folgende Warnung: Sei F ein Endomorphismus von K^{n}. Selbst wenn F diagonalisierbar ist, braucht nicht jeder Vektor ungleich Null ein Eigenvektor zu sein. Dies sollte Ihnen völlig klar sein! Zeigen Sie dazu, daß für jede (n × n)-Matrix A gilt:

(a) Sind v_{1}, v_{2} Eigenvektoren zu A mit Eigenwerten λ_{1}, beziehungsweise λ_{2} , und ist λ_{1} ≠ λ_{2} , so ist v_{1} + v_{2} von Null verschieden und kein Eigenvektor.

(b) Die folgenden Aussagen sind äquivalent:

(i) Jeder von Null verschiedene Vektor des K^{n} ist Eigenvektor für A. (ii) Die Matrix A ist ähnlich zu einer Skalarmatrix. (iii) Die Matrix A ist eine Skalarmatrix.

50. Zeige: Sei A eine diagonalisierbare (n × n)-Matrix, sei f = f_{A}. Ist U ein Unterraum von K^{n} mit f(U) ⊆ U, so hat U eine Basis aus Eigenvektoren von f.

Anleitung für einen Beweis: Ist 0 ≠ u ∈ U, so schreibe u = ∑_{i=1}^{t} v_{i}, wobei die v_{i} Eigenvektoren mit paarweise verschiedenen Eigenwerten sind. Zeige: Die Eigenvektoren v_{i} lassen sich als Linearkombinationen der Vektoren u, f(u), …, f^{t−1}(u) schreiben (gehören also zu U). (Zum Beweis zeige, daß es eine (t × t)-Matrix C mit

[ u ; f(u) ; ⋮ ; f^{t−1}(u) ] = C · [ v_{1} ; v_{2} ; ⋮ ; v_{t} ]

gibt. Wie sieht diese Matrix C aus? Was wissen wir über eine derartige Matrix?) Warum folgt daraus die Behauptung?

51. Seien A, B zwei diagonalisierbare (n × n)-Matrizen mit AB = BA. Zeige:

(a) Es gibt eine invertierbare Matrix P, so daß die beiden Matrizen P^{−1}AP und P^{−1}BP Diagonalmatrizen sind.

(b) Die Matrix A + B ist diagonalisierbar.

Hinweis zu (a): Sei λ ∈ K und U = Eig(A, λ) der zugehörige Eigenraum zur Abbildung f_{A}. Zeige: (1) Es ist f_{B}(U) ⊆ U. (2) Wegen Aufgabe 50 wissen wir, daß f_{B}(U) eine Basis besitzt, die aus Eigenvektoren für f_{B} besteht. (3) Warum folgt daraus die Behauptung? Verwende (a), um (b) zu zeigen.

52. Sei V ein K -Vektorraum und f: V → V ein Endomorphismus. Sei v ∈ V . Es gebe λ ∈ K mit folgender Eigenschaft: f(v) − λv = ∑_{i=1}^{t} v_{i}, wobei jedes v_{i} ein Eigenvektor von f (mit Eigenwert λ_{i}) ist. Zeige:

(a) Ist λ ≠ λ_{i} für alle 1 ≤ i ≤ t, so gibt es Skalare μ_{i} (1 ≤ i ≤ t) (welche?), so daß v′ = v + ∑_{i=1}^{t} μ_{i}v_{i} ein Eigenvektor von f ist.

(b) Im allgemeinen gibt es keinen Eigenvektor zu f, der die Form v′ = v +∑_{i=1}^{t} μ_{i}v_{i} mit μ_{i} ∈ K hat. (Hier wird also ein Beispiel gesucht.)

Eigenwerte, Eigenvektoren, nilpotente Matrizen.

53. Einmal eine Rechenaufgabe: Bestimmen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren der folgenden Matrizen A, B ∈ M(3 × 3, ℝ). Können die Matrizen diagonalisiert werden?

A = [ \begin{matrix}1 & −3 & 3 \\ 3 & −5 & 3 \\ 6 & −6 & 4 \end{matrix} ] , B = [ \begin{matrix}−3 & 1 & −1 \\ −7 & 5 & −1 \\ −6 & 6 & −2 \end{matrix} ] .

54. Sei K ein Körper, sei A ∈ M(n × n, K) ähnlich zu einer Diagonalmatrix mit Diagonalkoeffizienten a_{1}, …, d_{n}. Sei f = f_{A}: K^{n} → K^{n}. Zeige: Genau dann gibt es einen Vektor v ∈ K^{n}, so daß v, f(v), …, f^{n−1}(v) eine Basis von K^{n} ist, wenn die Elemente d_{1}, …, d_{n} paarweise verschieden sind.

55. Sei K ein Körper, sei A ∈ M(n × n, K) eine Matrix, sei f = f_{A}. Zeige:

(a) Ist A^{2} = A, so gilt Ker(f) ∩ Im(f) = 0 und Ker(f) + Im(f) = K^{n}.

(b) Folgere daraus, daß genau dann A^{2} = A gilt, wenn A zu einer Diagonalmatrix, deren Diagonalkoeffizienten nur 0 und 1 sind, ähnlich ist.

56. Sei K ein Körper.

(a) Sind A, B ∈ M(n × n, K) nilpotente Matrizen mit AB = BA, so ist auch A + B nilpotent.

(b) Konstruiere nilpotente Matrizen A, B ∈ M(3×3, K) mit AB ≠ BA, so daß auch A + B nilpotent ist.

(c) Konstruiere nilpotente Matrizen A, B ∈ M(2 × 2, K) mit A + B invertierbar.

Zu den Übungsaufgaben. Ohne die intensive Beschäftigung mit den wöchentlich gestellten Übungsaufgaben ist ein Verständnis der in der Vorlesung dargestellten Ergebnisse kaum möglich; deshalb wird dringend geraten, daß auch dieser Übungszettel bearbeitet wird und daß Lösungsansätze untereinander diskutiert werden. Die Lösungen für diese vier hier vorgelegten Aufgaben brauchen nicht abgegeben zu werden, sie werden auch nicht korrigiert. Für Rückfragen stehen die Veranstalter und die Tutorinnen natürlich zur Verfügung.

Die Festlegung einer Mindestpunktzahl für den Erhalt eines Scheins hat offensichtlich bei einigen zur irrigen Annahme geführt, daß sie nach dem Erreichen dieser Punktzahl keine weiteren Aufgaben zu bearbeiten brauchen. Dies ist äußerst leichtsinnig. In der Vorlesung “Lineare Algebra II” im kommenden Semester (wie in allen anderen Vorlesungen auch) wird erwartet, daß Sie die jeweils notwendigen Vorkenntnisse besitzen, also den gesamten Stoff der Vorlesung “Lineare Algebra I”.

Scheinvergabe. Die Bescheinigungen über die erfolgreiche Teilnahme an den Übungen gibt es ab Freitag, 11.02.2000 im Sekretariat V5-210 bei Frau Scharsche. Leider liegt bisher nicht von allen Übungsgruppen-Teilnehmern eine detaillierte Punkt-Aufstellung für die einzelnen Übungsaufgaben vor. Ich bitte daher alle, die Punktaufteilung auf der Grundlage der zurückgegebenen Lösungen selbst in die verteilten Listen einzutragen und diese Liste so bald wie möglich bei den Tutorinnen (oder im Sekretariat V5-210) abzugeben. Das Durchsehen Ihrer Lösungen sollte für Sie eine gute Gelegenheit sein, sich noch einmal alle Aufgabenstellungen vor Augen zu führen. Ich hoffe, daß Sie nun im nachhinein feststellen, daß keine dieser Aufgaben wirklich schwer war.

57. In den folgenden Pyramiden gelte die Regel: Der Eintrag in einer Wabe ist gleich der Summe der beiden darunterliegenden Waben (falls solche existieren). Bestimmen Sie alle Möglichkeiten, die drei Pyramiden mit rationalen Zahlen zu vervollständigen:

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3  13  −2 40  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3  13  −1 38  _{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.} 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4  −2 7 50

58. (Aus der Topologie) Ein Komplex endlich-dimensionaler Vektorräume ist eine Folge

0 ⟶^{d_{n+1}} V_{n} ⟶^{d_{n}} V_{n−1} ⟶^{d_{n−1}} V_{n−2} ⟶ ⋯ ⟶^{d_{1}} V_{0} ⟶^{d_{0}} 0

mit d_{i} ∘ d_{i+1} = 0 für 1 ≤ i ≤ n. Durch β_{i} = dim Ker d_{i} − dim Im d_{i+1} werden die Bettizahlen β_{i} definiert. Zeige:

∑(−1)^{i}β_{i} = ∑(−1)^{i} dim V_{i}.

59. (Aus der Graphentheorie). Sei A = (a_{ij})_{ij} ∈ M(n × n, ℚ) eine symmetrische Matrix, deren Koeffizienten nur 0 und 1 sind (symmetrisch bedeutet: a_{ij} = a_{ji} für alle i, j). Zeichne einen Graphen Γ(A) mit n Ecken und bezeichne diese Ecken mit 1, 2, …, n. Verbinde die Ecke i mit der Ecke j durch eine Kante, falls a_{ij} = 1 gilt. Zum Beispiel liefert die Matrix links den Graphen rechts:

[ \begin{matrix}0 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \end{matrix} ]  • •  • • •_{1}_{2}  _{3}_{4}^{5}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}

(a) Zeigen Sie: Der (i, j)-Koeffizient von A^{n} ist die Anzahl der “Wege” der Länge n von der Ecke i zur Ecke j (definieren Sie, was man unter einem “Weg” verstehen soll). (b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, daß ein Weg der Länge 100, der bei 1 startet, beim Punkt 5 endet.

60. Sei M ⊂ ℤ^{2} eine nicht-leere endliche Teilmenge von ℤ^{2}. Ein Punkt (a, b) ∈ M heißt innerer Punkt von M, falls die benachbarten Punkte (a + 1, b), (a − 1, b), (a, b + 1), (a, b − 1) in ℤ^{2} auch zu M gehören; alle anderen Punkte heißen Randpunkte. Eine Funktion f: M → ℝ heißt harmonisch, falls für jeden inneren Punkt (a, b) die Gleichung

f(a, b) = \frac{1}{4}(f(a + 1, b) + f(a − 1, b) + f(a, b + 1) + f(a, b − 1))

gilt. Zeigen Sie:

(a) Es gilt das Maximumsprinzip: Eine harmonische Funktion nimmt ihr Maximum in einem Randpunkt an. Es gilt ebenfalls ein entsprechendes Minimumprinzip.

(b) Eine harmonische Funktion ist durch ihre Werte auf den Randpunkten bestimmt; diese Randwerte können beliebig vorgegeben werden.