Lineare Algebra II SS 2000

http://www.mathematik.uni-bielefeld.de/birep/linalg/

Unter dem charakteristischen Polynom einer (n × n)-Matrix soll in Zukunft das Polynom χ_{A}(T) = det(T · I_{n} − A) verstanden werden (und nicht, wie im Leitfaden, χ_{A}(−T)).

Aufgabenblatt 1: Polynome

1. Sei K ein Körper. Sei A ∈ M(n × n, K) diagonalisierbar mit den (paarweise verschiedenen) Eigenwerten a_{1}, …, a_{m}. Sei μ_{A} das Minimalpolynom von A. Zeige:

(a) μ_{A} = ∏_{i=1}^{m} (T − a_{i}).

(b) Genau dann ist μ_{A} = χ_{A}, wenn m = n gilt.

2. Sei K ein Körper und A ∈ M(n × n, K) nilpotent, und zwar ähnlich zu J(λ), wobei λ = (λ_{1}, λ_{2}, …, λ_{m}) eine Partition von n ist. Sei μ_{A} das Minimalpolynom von A. Zeige:

(a) μ_{A} = T^{λ_{1}}.

(b) Genau dann ist μ_{A} = χ_{A}, wenn m = 1 gilt.

Hinweis zu den Aufgaben 1 und 2: Zuerst zeige man, daß für das Polynom f = ∏_{i=1}^{m} (T − a_{i}) bzw. f = T^{λ_{1}} gilt: f(A) = 0. Also ist μ_{A} ein Teiler von f. Man nimmt nun einen echten Teiler g von f und zeigt: g(A) ≠ 0.

3. Sei f ∈ ℝ[T] ein normiertes Polynom vom Grad 2. Man zeige, daß f genau dann irreduzibel ist, wenn es reelle Zahlen a, b mit b ≠ 0 gibt, so daß f = (T − a)^{2} + b^{2} gilt.

4. Sei K = ℤ/2ℤ. Man bestimme alle irreduziblen Polynome f ∈ K[T] mit deg f ≤ 4.

Abgabetermin: 20.04.2000

Das Kleingedruckte. Ohne die intensive Beschäftigung mit den wöchentlich gestellten Übungsaufgaben ist ein Verständnis der in der Vorlesung dargestellten Ergebnisse kaum möglich; deshalb wird dringend geraten, dass alle Übungszettel bearbeitet und dass Lösungsansätze untereinander diskutiert werden. Jede Woche wird (meist in der Donnerstags-Vorlesung) ein solcher Aufgabenzettel verteilt, er ist jeweils ab Donnerstag 12:00 auch im Internet abrufbar. Die Lösungen sind auf Blättern im DIN A4-Format (nicht vergessen: Name und Übungsgruppe) in deutlich lesbarer Form abzugeben. Die Lösungen werden von den Tutorinnen und Tutoren korrigiert, pro Aufgabe gibt es 4 Punkte. Die Aufgaben können in Zweiergruppen bearbeitet werden. Die Lösungen werden in den Übungsstunden besprochen, dabei tragen jeweils Studenten ihre Lösungen oder Lösungsansätze vor. Wenn in Zweiergruppen abgegeben wird, so wird erwartet, dass jeder der beiden bereit ist, die vorgelegte Lösung vorzutragen. Für die Bescheinigung über die erfolgreiche Teilnahme an den Übungen wird erwartet, dass jeder Aufgabenzettel bearbeitet wird und dass dabei jeweils mindestens 50 % der Punkte erzielt werden: erforderlich sind jeweils 32 Punkte für die Aufgabenzettel 1-4, 5-8 und 9-12. Das Bearbeiten und Lösen der Übungsaufgaben ist auf jeden Fall auch dann notwendig, wenn Sie keinen Übungsschein mehr brauchen.

Lineare Algebra II SS 2000

Hinweise http://www.mathematik.uni-bielefeld.de/birep/linalg/

Zum Aufgabenblatt 1

Zur Aufgabe 3. Es sollte kurz thematisiert werden, daß der “Fundamentalsatz der Algebra” gerade besagt, daß die irreduziblen Polynome mit Koeffizienten in ℝ Grad 1 oder 2 haben. Also kennt man mit Aufgabe 3 alle irreduziblen Polynome in ℝ[T]. Und es gilt: Jedes normierte Polynom läßt sich als Produkt von normierten linearen Polynomen und normierten quadratischen Polynomen darstellen. Verweis auf Analysis, insbesondere auch die des Schul-Unterrichts: Hier sind entsprechende Graphen:

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 _{x}^{y} T^{2} + \frac{1}{2}  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 _{x}^{y} (T − 2)^{2} + 1

Das Multiplizieren von Funktionen sollte auch anhand der Graphen geübt werden (nicht unbedingt in der Übungsstunde, sondern von den Studenten parallel zu den Vorlesungen). Zum Beispiel erhält man die nicht-irreduziblen quadratischen Polynome als Produkt zweier linearer Polynome ….

Aufgabenblatt 2: Verschiedenes

5. Sei K ein Körper. Sei A ∈ M(n × n, K) mit n ≥ 1.

(a) Sei 0 ≠ v ∈ K^{n}. Sei g ein Polynom in K[T] mit g(A)v = 0. Zeige: g und χ_{A} sind nicht teilerfremd.

(b) Folgere daraus: Ist χ_{A} irreduzibel, und ist 0 ≠ v ∈ K^{n}, so sind die Vektoren v, Av, …, A^{n−1}v linear unabhängig (bilden also eine Basis).

6. Sei K ein Körper. (a) Seien c_{0}, …, c_{n−1} ∈ K. Zeige: Die Matrix

B(c_{0}, …, c_{n−1}) = [ \begin{matrix}0 & ⋯ & ⋯ & 0 & c_{0} \\ 1 & ... & & ⋮ & c_{1} \\ 0 & 1 & ... & ⋮ & c_{2} \\ ⋮ & ... & ... & 0 & ⋮ \\ 0 & ⋯ & 0 & 1 & c_{n−1} \end{matrix} ]

hat das charakteristische Polynom T^{n} − ∑_{i=0}^{n−1} c_{i}T^{i}. Folgere daraus, daß jedes normierte Polynom in K[T] das charakteristische Polynom einer Matrix ist.

(b) Sei A ∈ M(n × n, K) eine Matrix, deren charakteristisches Polynom χ_{A} = ∑_{i=0}^{n} a_{i}T^{i} (mit a_{n} = 1) irreduzibel ist. Zeige: Die Matrix A ist zur Matrix B(−a_{0}, …, −a_{n−1}) ähnlich.

Hinweis: Wähle einen beliebigen Vektor v ≠ 0 in K^{n}. Zeige A^{n}v = − ∑_{i=0}^{n−1} a_{i}A^{i}v. Warum folgt daraus die Behauptung?

7. Seien U_{1}, …, U_{t} Unterräume eines Vektorraums V . Zeige, daß die folgenden Bedingungen äquivalent sind:

(i) Jedes Element v ∈ V läßt sich eindeutig in der Form v = ∑_{i=1}^{t} u_{i} mit u_{i} ∈ U_{i} schreiben.

(ii) (a) Jedes Element v ∈ V läßt sich in der Form v = ∑_{i=1}^{t} u_{i} mit u_{i} ∈ U_{i} schreiben.

(b) Ist ∑_{i=1}^{t} u_{i} = 0 mit u_{i} ∈ U_{i}, so ist u_{i} = 0 für alle i. (iii) Einerseits ist V = ∑_{i=1}^{t} U_{i} und andererseits gilt U_{j} ∩ ∑_{i≠j} U_{i} = 0 für alle

1 ≤ j ≤ t.

8. (a) Folgere aus dem Satz von Bézout den “Chinesischer Restsatz”: Sei R ein euklid’scher Ring. Seien paarweise teilerfremde Elemente g_{1}, …, g_{s} gegeben. Zeige: Zu jedem s-Tupel von Elementen r_{1}, …, r_{s} ∈ R gibt es ein r ∈ R, so daß r − r_{i} durch g_{i} teilbar ist.

(b) Gesucht ist eine ganze Zahl r mit r ≡ 3 mod 5, r ≡ 5 mod 8 und r ≡ 2 mod 7.

Abgabe: Donnerstag, 27.04.2000

Abgabe: Donnerstag, 04.05.2000

Aufgabenblatt 3: Die Jordan’sche Normalform

9. Sei K ein Körper. Sei A ∈ M(n × n, K). Das charakteristische Polynom χ_{A} zerfalle in Linearfaktoren. Zeige: Genau dann ist A diagonalisierbar, wenn das Minimalpolynom μ_{A} keine mehrfachen Nullstellen hat.

10. Sei K ein Körper, sei A ∈ M(n × n, K). Sei γ ∈ K ein Eigenwert von A mit eindimensionalem Eigenraum Eig(A, γ). Hat T − γ im charakteristischen Polynom χ_{A} die Multiplizität d, so ist A ähnlich zu einer Matrix der Form (γI_{d}+J((d)))⊕B, dabei ist B eine (n − d) × (n − d) Matrix.

11. Bestimme (ohne Computer) die Jordan’sche Normalform für folgende Matrix in M(4 × 4, ℂ)

[ \begin{matrix}0 & −1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & −1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix} ] .

12. Bestimme für die reelle Matrix

A = [ \begin{matrix}3 & 4 & 3 \\ −1 & 0 & −1 \\ 1 & 2 & 3 \end{matrix} ]

(auch hier ohne Computer) die Potenz A^{50} auf folgende Weise:

(a) Suche eine invertierbare Matrix S, eine Diagonalmatrix D und eine nilpotente Matrix N mit A = S^{−1}(D + N)S und DN = ND.

(b) Zeige: Es ist A^{50} = S^{−1}(D + N)^{50}S, also berechnet man als erstes (D + N)^{50} .

(c) Wegen DN = ND gilt (D + N)^{50} = ∑_{k=0}^{50} \binom{m}{k}D^{k}N^{m−k} (und glücklicherweise sind in dieser Summe nur ganz wenige Summanden von Null verschieden – warum?).

Abgabe: Donnerstag, 11.05.2000

Aufgabenblatt 4: Euklid’sche Vektorräume (ein Rechenzettel)

13. Zuordnung einer Matrix zu einer Bilinearform. Sei V der von den Polynomen 1, T, T^{2}, T^{3} aufgespannte Unterraum von ℝ[T]. Definiere eine Bilinearform φ(−, −) auf V durch

φ(f, g) = ∫_{−1}^{1} f(T)g(T) d T.

Berechne die Matrix A ∈ M(4 × 4, ℝ), so daß φ bezüglich der Basis 1, T, T^{2}, T^{3} durch die Matrix A beschrieben wird:

φ(∑ c_{i}T^{i}, ∑ d_{i}T^{i}) = [c_{0} c_{1} c_{2} c_{3}] · A · [ \begin{matrix}d_{0} \\ d_{1} \\ d_{2} \\ d_{3} \end{matrix} ] ,

für alle c_{0}, …, c_{3}, d_{0}, …, d_{3} ∈ ℝ.

14. Nachweis, daß eine Bilinearform positiv definit ist. Betrachte die Matrix A = (a_{ij})_{ij} ∈ M(n×n, ℝ) mit Koeffizienten a_{ii} = 2 für 1 ≤ i ≤ n, a_{i,i+1} = a_{i+1,i} = −1 für 1 ≤ i < n und a_{ij} = 0 sonst. Zeige: Die Bilinearform φ_{A} auf dem ℝ^{n} ist positiv definit.

15. Orthonormalisieren. Betrachten den ℝ^{n} mit dem kanonischen inneren Pro-

dukt ⟨−, −⟩; es ist also ⟨[ x_{1} ; ⋮ ; x_{n} ] , [ y_{1} ; ⋮ ; y_{n} ]⟩ = ∑ x_{i}y_{i}.

Orthonormalisiere die folgende Folge von Vektoren

[ \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ] , [ \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 2 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ] , [ \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ] , [ \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1 \\ −1 \\ 0 \end{matrix} ] , [ \begin{matrix}0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} ] .

16. Bestimmung des orthogonalen Komplements. Betrachten Sie noch einmal den euklid’schen Vektorraum V , der in Aufgabe 13 gegeben wurde. Sei U der von 1, T erzeugte Unterraum. Bestimmen Sie eine Basis von U^{⊥}, dies ist der Unterraum aller v ∈ V mit φ(u, v) = 0 für alle u ∈ U.

Abgabe: Donnerstag, 18.05.2000

Aufgabenblatt 5: Unitäre Räume (Beweise, analog zum Fall der euklid’schen Räume)

Sei V = (V, ⟨−, −⟩) ein unitärer Vektorraum. Sei f: V → V ein unitärer Endomorphismus.

17. Orthonormalisierung. (a) Sei U ein Unterraum von V . Sei u_{1}, …, u_{m} eine Orthonormalbasis von U. Ist v ∈ V, so setze

v′ = v − ∑_{i=1}^{m}⟨v, u_{i}⟩u_{i}.

Zeige erstens: v′ ∈ U^{⊥}. Zweitens: Ist v ∈ U, so ist v′ = 0. Drittens: Ist v ∉ U, so sind die Vektoren u_{1}, …, u_{m}, v linear unabhängig.

(b) Folgere daraus: Jeder endlich-dimensionale unitäre Vektorraum besitzt eine Orthonormalbasis.

18. Eigenwerte. (a) Ist γ ein Eigenwert von f, so ist |γ| = 1.

(b) Die Abbildung f ist injektiv. Ist V endlich-dimensional, so ist f bijektiv.

(c) Ist V endlich-dimensional, so ist das charakteristische Polynom von f von der Form (T − γ_{1}) ⋯ (T − γ_{n}) mit |γ_{i}| = 1 für 1 ≤ i ≤ n.

19. Orthogonales Komplement. Zeige: Ist U ein endlich-dimensionaler Unterraum von V , der f -invariant ist, so ist auch U^{⊥} f -invariant.

20. Diagonalisierbarkeit. Zeige: Es gibt eine Orthonormalbasis von V , so daß die zugehörige Matrizendarstellung von f eine Diagonalmatrix ist.

Abgabe: Donnerstag, 25.05.2000

Aufgabenblatt 6: Isometrien. Diesmal nur Geometrie.

Es gibt hierzu drei Beilagen I, II, III.

21. Es gibt ein Spiel- und Zeichengerät (Spirograph), mit dem man interessante geschlossene Kurven zeichnen kann (siehe Beilage I): Entlang des Inneren eines Kreises A mit einem Zahnkranz wird ein Zahnrad B abgerollt, in dem ein Zeichenstift steckt. Zeige:

(a) Die Anzahl der Zähne von A sei r, die von B sei s (natürlich ist s < r und meist ist s ≥ 5). Bestimme die Symmetriegruppe der Kurve, die entsteht, wenn sich der Zeichenstift in einer Öffnung C befindet, die nicht im Mittelpunkt von B liegt.

(b) Die zweite Abbildung der Beilage I entstand mit einem Kreis A mit 105 Zähnen. Wie viele Zähne hatte das Zahnrad B?

22. In der Beilage II findet man einige Friese: Als erstes einige Beispiel aus der Kunstgeschichte. Dann Keramik-Friese (zum Teil mexikanisch). Als letztes die Fährten des Rothirsches: a ziehend, b flüchtend. Gib jeweils die zugehörigen Symmetriegruppen an.

23. Geben Sie zu jeder der 17 ebenen Kristallgruppen G die Punktgruppe \overline{G} an:

(a) Ist \overline{G} eine Drehgruppe, so soll ein erzeugendes Element von \overline{G} angegeben werden. Ist \overline{G} keine Drehgruppe, so gebe man ein erzeugendes Element der Untergruppe aller Drehungen und zusätzlich Spiegelachsen und Gleitspiegelachsen an, so dass für die zugehörigen Bewegungen h_{1}, …, h_{n} gilt: Die Restklassen \overline{h}_{1}, …, \overline{h}_{n} in \overline{G} sind paarweise verschieden und liefern alle Spiegelungen in \overline{G}.

(b) Es gibt genau einen Fall mit Punktgruppe C_{3} . In diesem Fall, und in einem der Fälle mit Punktgruppe D_{2} zeige man explizit, daß die Punktgruppe keine weiteren Elemente besitzt.

24. Die Beilage III enthält einige Muster. Geben Sie zu jedem Muster den zugehörigen Typ an.

Abgabe: Mittwoch, 31.05.2000, 12:00

7. Ebene diskrete Gruppen. Schraubungen in ℝ^{3}

Eine Untergruppe L von (ℝ^{n}, +) heißt diskrete Untergruppe, wenn es ein ϵ > 0 mit folgender Eigenschaft gibt: Ist 0 ≠ v ∈ L, so ist ||v|| ≥ ϵ.

25. Zeigen Sie, daß es (zu vorgebenem ϵ > 0 und d) eine explizite Schranke b mit folgender Eigenschaft gibt: Sind v_{1}, …, v_{t} Vektoren in der Ebene ℝ^{2} mit d(x_{i}, x_{j}) ≥ ϵ für i ≠ j und ||v_{i}|| ≤ d für alle i, so ist t ≤ b. Für Tapfere: Man zeige das Gleiche für Vektoren im ℝ^{n}.

Kommentar: In der Vorlesung (wie auch im Leitfaden) wird mit Hilfe des Satzes von Bolzano-Weierstraß gezeigt: Ist L eine diskrete Untergruppe von (ℝ^{2}, +), und ist d ∈ ℝ, so gibt es nur endlich viele Vektoren v ∈ L mit ||v|| ≤ d. Wie wir hier sehen, braucht man dafür aber den Satz von Bolzano-Weierstraß gar nicht.

26. (a) Zeigen Sie: Ist L eine diskrete Untergruppe von (ℝ^{2}, +), so ist die Anzahl der kürzesten von Null verschiedenen Vektoren 2, 4 oder 6.

(b) Die kürzesten von Null verschiedenen Vektoren in L können L erzeugen, müssen dies aber nicht. Geben Sie zu jeder der Zahlen k = 2, 4, 6 jeweils eine diskrete Untergruppe L an, die genau k Vektoren der Länge 1 besitzt und von diesen erzeugt wird, und auch eine diskrete Untergruppe L′, die genau k Vektoren der Länge 1 besitzt, von diesen nicht erzeugt wird, während aber alle von Null verschiedenen Vektoren Länge mindestens 1 haben.

27. Zeige: Sind v_{1}, v_{2} linear unabhängige Vektoren in ℝ^{2}, so ist die Menge L = {z_{1}v_{1} + z_{2}v_{2} | z_{1}, z_{2} ∈ ℤ} eine diskrete Untergruppe von (ℤ^{2}, +) (man nennt eine derartige Untergruppe L ein Gitter und v_{1}, v_{2} eine Gitterbasis von L).

(a) Zeige: Sei v_{1}, v_{2} eine Gitterbasis des Gitters L ⊂ ℝ^{2}. Genau dann ist w = z_{1}v_{1} + z_{2}v_{2} Element einer Gitterbasis w, w′ von L, wenn die ganzen Zahlen z_{1}, z_{2} teilerfremd sind.

(b) Zeige: Die Menge der Vektoren [a, b] ∈ ℤ^{2} , für die a + b eine gerade Zahl ist, ist ein Gitter. Man gebe 10 verschiedene Gitterbasen für dieses Gitter an (mit 10 Zeichnungen).

(c) Zeige: Die Menge K der Vektoren \frac{1}{2}[a, b\sqrt{3}] mit a, b ∈ ℤ und 2|a + b bildet eine diskrete Untergruppe von (ℝ^{2}, +). Bestimme eine Gitterbasis.

Kommentar. K ist ein typischer Zahlbereich, der im Rahmen der algebraischen Zahlentheorie untersucht wird: die Menge der “ganzen” Zahlen in einem Zahlkörper. Wer Lust hat, sollte zeigen, daß K ein Unterring von ℂ ist.)

28. Eine Gerade ℓ im ℝ^{3} ist durch einen Vektor a (Ortsvektor) und einen von Null verschiedenen Vektor b (Richtungsvektor) gegeben: ℓ = {a + rb | r ∈ ℝ}. Sei ϕ eine eigentliche Bewegung des ℝ^{3} . Zeige als erstes: Es gibt eine Fixgerade ℓ. Zweitens: Entweder ist ϕ eine Drehung um diese Gerade, oder es gibt einen Richtungsvektor b zu dieser Geraden, so daß ϕ die Hintereinanderschaltung einer Drehung um die Achse ℓ und der Verschiebung um den Vektor b ist (in diesem Fall spricht man von einer Schraubung).

8. Noch einmal: Bewegungen. Und reguläre Polyeder.

29. (a) Zeige: Die Zuordnung η: B(n) → GL(n + 1, ℝ)

η(t_{a} ∘ f_{A}) = [ \begin{matrix}1 & 0 \\ a & A \end{matrix} ] für a ∈ ℝ^{n} und A ∈ O(n)

ist ein injektiver Gruppen-Homomorphismus; ist ϕ ∈ B(n) und x ∈ ℝ^{n}, so gilt:

η(ϕ) [ \begin{matrix}1 \\ x \end{matrix} ] = [ \begin{matrix}1 \\ ϕ(x) \end{matrix} ] .

(b) Sei nun n = 2. Wie sieht η(ϕ) aus, wenn ϕ eine Translation, eine Drehung mit Drehwinkel 0 < α < 2π, eine Spiegelung, bzw. eine Gleitspiegelung ist?

30. Sei n_{1}, …, n_{t} eine Folge natürlicher Zahlen n_{i} ≥ 3 mit ∑_{i} \frac{n_{i}−2}{n_{i}} = 2, zum Beispiel also (3, 3, 3, 3, 3, 3), (3, 3, 4, 3, 4), (3, 3, 3, 4, 4), (3, 3, 3, 3, 6), ….

(a) Wieviele derartige Folgen gibt es (bis auf zyklische Vertauschungen und Umkehr der Reihenfolge)?

(b) Zu jeder solchen Folge versuche man, eine “Pflasterung” der Ebene aus regulären n_{i} -Ecken mit Kantenlänge 1 zu konstruieren, dabei sollen in jedem Eckpunkt ein n_{1} -Eck, ein n_{2} -Eck, usw. aneinanderstoßen, entsprechend der Folge (n_{1}, n_{2}, …, n_{t}) (oder ihrer Umkehrung). Zeige: In genau 11 Fällen ist dies möglich. (In diesen Fällen skizziere man die Pflasterungen; in den übrigen Fälle beweise man die Unmöglichkeit.) Hier als Beispiel ein Ausschnitt der Pflasterung zur Folge (3, 3, 3, 3, 6):

.................................................................................................................... .................................................................................................................. ....................................................................................... .............................  ...................................................................................... .......................................................... ........................................................................................................................................................................................................... .......................................................... ............................................................................................................................................... ....................................................................................... .............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................... .........................................................  ........................................................................ ................................................................................................................................................. ....................................................................................... ............................. ................................................................................................................................. ............................. ........................................................................................................................................................................................................... ............................. ................................................................................................................................. ............................. ....................................................................................... ................................................................................................................................................. ........................................................................  ......................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................

Zeige: die jeweilige Symmetriegruppe ist eine ebene Kristallgruppe. Bestimme jeweils den Typ. (Für eine vollständige Lösung dieser etwas langwierigen Aufgabe gibt es 4 Extrapunkte).

31. Seien k, n ≥ 3 natürliche Zahlen mit \frac{k(n−2)}{n} < 2. Bestimme alle Möglichkeiten für k, n und zeige, daß zu jedem dieser Fälle in natürlicher Weise ein reguläres Polyeder gehört (Tetraeder, Würfel, Oktaeder, Dodekaeder, Isokaeder).

32. Betrachte die Punkte A = [ \begin{matrix}−a \\ 0 \\ 1 \end{matrix} ] , B = [ \begin{matrix}a \\ 0 \\ 1 \end{matrix} ] , C = [ \begin{matrix}0 \\ −a \\ −1 \end{matrix} ] , D = [ \begin{matrix}0 \\ a \\ −1 \end{matrix} ] ,

mit a = \sqrt{2}. Bestimme alle Drehungen des ℝ^{3} , die die Menge \{A, B, C, D\} in sich überführen (gesucht sind die entsprechenden (3 × 3)-Matrizen bezüglich der kanonischen Basis des ℝ^{3}). Bestimme jeweils auch die Drehachse.

Abgabe: 08.06.2000 Die 17 ebenen Kristallgruppen nach A.Schoenfließ (1891) und E.S.Fedorow (1892).

Es gibt 17 verschiedene ebene Kristallgruppen. Hier ein Entscheidungsverfahren zur Bestimmung des jeweiligen Typs. Sei G eine ebene Kristallgruppe, sei d die höchste Ordnung einer Drehung in G. Es sei \overline{G} die zugehörige Punktgruppe.

(Gleitspiegelachsen bezeichnen wir einfach als Achsen. Unter einem Viererzentrum verstehen wir das Drehzentrum einer Drehung der Ordnung 4; analog ist ein Dreierzentrum definiert.)

d  Typ  \overline{G}

Fall 1. Alle Symmetrien in G sind eigentliche Bewegungen.

1  p1  C_{1}
2  p2  C_{2}
3  p3  C_{3}
4  p4  C_{4}
6  p6  C_{6}

Fall 2. Es gibt Symmetrien in G, die uneigentliche Bewegungen sind.

1 Jede Achse ist Spiegelachse.  pm  D_{1}
Es gibt keine Spiegelachse.  pg  D_{1}

Es gibt Spiegelachsen,

aber auch Achsen, die keine Spiegelachsen sind.  cm  D_{1}
2 Jedes Drehzentrum liegt auf zwei orthogonalen Spiegelachsen. pmm  D_{2}
Ein Drehzentrum liegt auf genau einer Achse.  pmg  D_{2}
Ein Drehzentrum liegt auf keiner Achse.  pgg  D_{2}

Es gibt ein Drehzentrum, das auf zwei orthogonalen Achsen,

die keine Spiegelachsen sind, liegt.  cmm  D_{2}
3 Jedes Dreierzentrum liegt auf einer Spiegelachse.  p3m1  D_{3}
Es gibt ein Dreierzentrum, das auf keiner Spiegelachse liegt. p31m  D_{3}
4 Ein Viererzentrum liegt auf einer Spiegelachse.  p4m  D_{4}
Ein Viererzentrum liegt auf keiner Spiegelachse.  p4g  D_{4}
6  p6m  D_{6}

Es gibt genau 230 räumliche Kristallgruppen. Auch sie wurden von A.Schoenfließ und E.S.Fedorow klassifiziert.

Die regulären Polyeder:

._{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}  _{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} Tetraeder  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} Würfel  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.} ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} Oktaeder  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9. Geometrie Abgabe: 15.06.2000

33. Iwasawa-Zerlegung (oder QR-Zerlegung). Sei K = ℝ oder K = ℂ. Jede invertierbare Matrix A ∈ M(n × n, K) läßt sich als Produkt A = P DU schreiben, dabei ist P für K = ℝ eine orthogonale Matrix, für K = ℂ eine unitäre Matrix, D eine Diagonalmatrix mit positiven reellen Diagonalkoeffizienten und U eine unipotente obere Dreiecksmatrix. Beweisen Sie diesen Satz mit Hilfe des Gram-Schmidt’schen Orthonormalisierungsverfahrens. (Anleitung: Die Zeilen von A bilden eine Basis v_{1}, …, v_{n} des ℝ^{n}. — Das Verfahren ersetzt v_{j} durch eine Linearkombination v′_{j} = ∑_{i≤j} b_{ij}v_{i} mit b_{jj} > 0. — Wir erhalten also eine obere Dreiecksmatrix B = (b_{ij})_{ij} mit P := AB orthogonal. — Also ist A = P B^{−1} . — Natürlich kann B^{−1} in der Form DU geschrieben werden.)

(b) Sei P eine obere (n × n)-Dreiecksmatrix mit Koeffizienten in K, die Diagonalkoeffizienten seien positive reelle Zahlen. Zeige: Ist P orthogonal (im Fall K = ℝ) oder unitär (im Fall K = ℂ), so ist P die Einheitsmatrix.

(c) Folgere aus (b): Die in (a) konstruierte Faktorisierung A = P DU ist eindeutig.

34. Das Wurzelsystem G_{2} . Betrachte die Menge P der Vektoren in ℝ^{2}

ε2e_{1}, ε((m − 3)e_{1} + αe_{2}), ε2αe_{2}, mit ε ∈ {1, −1}, m ∈ {0, 2, 4, 6},

dabei ist α = \sqrt{3}. Zeige: (a) Für jedes a ∈ P gilt σ_{a}(P) = P. (b) Für a, b ∈ P gilt \frac{2⟨a,b⟩}{⟨b,b⟩} ∈ ℤ.

35. Abstandsberechnung. Betrachte im ℝ^{3} die Ebenen

E(r) = {^{t}[x, y, z] | x + y + z = r} mit r ∈ ℝ.

(a) Berechne den Abstand des Punkts ^{t}[1, 2, 3] von der Ebene E(1).

(b) Berechne den Abstand der Ebenen E(1) und E(2).

36. (Aus der Biologie). Hier die relativen Häufigkeiten der Blutgruppen A, AB, B, O bei Eskimos, Bantus, Engländern und Koreanern:

Blutgruppe Esk  Ban  Eng  Kor
A  0, 2914 0, 1034 0, 2090 0, 2208
AB  0, 0000 0, 0866 0, 0696 0, 0000
B  0, 0316 0, 1200 0, 0612 0, 2069
O  0, 6770 0, 6800 0, 6602 0, 5723

Betrachte die jeweiligen Meßwertsätze (die Spalten) als Merkmalsvektoren

m^{Esk}, m^{Ban}, m^{Eng}, m^{Kor} ∈ ℝ^{4};

zum Beispiel also m^{Esk} = ^{t}[ 0, 2914 0, 0000 0, 0316 0, 6770 ]. Aufgabe: Bestimme die Winkel zwischen diesen Vektoren.

Interpretation: Den Winkel zwischen zwei derartigen Merkmalsvektoren, etwa zwischen m^{Esk} und m^{Ban} kann man als eine mögliche Definition für den genetischen Abstand (hier der Eskimos und der Bantus) verwenden. In unserem Beispiel: Welches ist der größte Abstand, welches der kleinste?

10. Symmetrische Matrizen

37. (Ein-Zeilen-Beweise). Seien A, B ∈ M(n × n, ℝ) symmetrische Matrizen.

(a) Ist A invertierbar, so ist auch A^{−1} symmetrisch. Ganz allgemein gilt: die komplementäre Matrix A^{♯} ist symmetrisch.

(b) Genau dann ist AB symmetrisch, wenn AB = BA gilt.

(c) Ist A nilpotent, so ist A = 0.

(d) Genau dann ist das charakteristische Polynom von A sein Minimalpolynom, wenn A n paarweise verschiedene Eigenwerte hat.

38. (Andere Grundkörper). Gesucht ist jeweils eine nilpotente symmetrische (2 × 2)-Matrix A ≠ 0 mit Koeffizienten in K, dabei sei

(a) K = 𝔽_{2},  (b) K = ℚ,  (c) K = ℂ.

In zwei der drei Fälle ist dies möglich (je ein Beispiel angeben), in einem Fall nicht (Ein-Zeilen-Beweis).

39. Bestimme zur folgenden Matrix

A = [ \begin{matrix}2 & −1 & 1 \\ −1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{matrix} ] ∈ M(3 × 3, ℝ)

eine orthogonale Matrix S, so daß ^{t}SAS eine Diagonalmatrix ist.

40. Sei K ein Körper, sei V ein n-dimensionaler K -Vektorraum. Sei ⟨−, −⟩ eine Bilinearform auf V . Ist A = (v_{1}, …, v_{n}) eine Basis von V und c_{ij} = ⟨v_{i}, v_{j}⟩, so sagt man, daß die Bilinearform ⟨−, −⟩ (bezüglich der Basis A) durch die Matrix C = (c_{ij})_{ij} beschrieben wird. Zeige: Die Matrizen, die diese Bilinearform (bezüglich irgendwelcher Basen) beschreiben, sind genau die Matrizen der Form ^{t}P CP mit P ∈ GL(n, K).

Abgabe: Mittwoch, 21.06.2000, 14:00

Abgabe 29.06.2000

11. Symmetrische Bilinearformen

41. Sei ⟨−, −⟩ die durch die Matrix [ \begin{matrix}1 \\ & 1 \\ & & −1 \\ & & & 0 \end{matrix} ] gegebene Bilinearform auf V = ℝ^{4}.

Gesucht sind

(a) drei 2-dimensionale Unterräume U ⊂ V , auf denen ⟨−, −⟩ positiv definit ist.

(b) drei 1-dimensionale Unterräume U ⊂ V , auf denen ⟨−, −⟩ negativ definit ist.

(c) drei 2-dimensionale Unterräume U ⊂ V , auf denen ⟨−, −⟩ identisch Null ist.

42. Sei D der ℝ-Vektorraum aller differenzierbaren Funktionen (−1, 1) → ℝ. Zeige, daß wir durch

⟨f, g⟩ = (fg)′(0) (= Auswertung der Ableitung des Produkts an der Stelle 0)

eine symmetrische Bilinearform auf D erhalten und daß das Radikal dieser Bilinearform die Menge der f ∈ D ist mit f(0) = f′(0) = 0.

43. Seien p, q, r natürliche Zahlen mit p + q + r = n. Sei s = min{p, q}. Betrachte auf V = ℝ^{n} die quadratische Form

ϕ(x_{1}, …, x_{n}) = ∑_{i=1}^{p} x_{i}^{2} − ∑_{i=p+1}^{p+q} x_{i}^{2}.

Ein Unterraum U von V heißt total-isotrop, falls ϕ(u) = 0 für alle u ∈ U gilt.

(a) Zeige: Ist U ein total-isotroper Unterraum von V , so ist U ∩span{e_{1}, …, e_{p}} = 0 und U ∩ span{e_{p+1}, …, e_{p+q}} = 0. Folgere daraus: dim U ≤ r + s.

(b) Zeige: Der von den Vektoren e_{i} + e_{p+i} mit 1 ≤ i ≤ s und den Vektoren e_{j} mit p + q < j ≤ n erzeugte Unterraum ist total-isotrop (und hat die Dimension r + s). (c)^{∗} Jeder total-isotrope Unterraum ist in einem total-isotropen Unterraum der Dimension r + s enthalten. (d)^{∗} Sind U_{1}, U_{2} total-isotrope Unterräume der Dimension r + s, so gibt es einen Endomorphismus f von V mit ϕ(f(v)) = ϕ(v) für alle v ∈ V , der U_{1} auf U_{2} abbildet.

44. Sei K ein Körper mit char(K) ≠ 2. In der Vorlesung wird gezeigt, daß jedes quadratische Polynom P (x_{1}, …, x_{n}) in den Unbestimmten x_{1}, …, x_{n} mit Koeffizienten in K in eine der folgenden Normalformen überführt werden kann:

∑_{i=1}^{p} x_{i}^{2} − ∑_{i=p+1}^{p+q} x_{i}^{2}  mit p + q ≤ n,
∑_{i=1}^{p} x_{i}^{2} − ∑_{i=p+1}^{p+q} x_{i}^{2} − 1  mit p + q ≤ n,
∑_{i=1}^{p} x_{i}^{2} − ∑_{i=p+1}^{p+q} x_{i}^{2} − x_{p+q+1} mit p + q < n.

Betrachte den Fall K = ℝ und n = 2. Welche Möglichkeiten gibt es? Für jede der Normalformen P (x_{1}, x_{2}) soll eine Zeichnung der Nullstellenmenge V (P) angefertigt werden

V (P) = {(r_{1}, r_{2}) ∈ ℝ^{2} | P (r_{1}, r_{2}) = 0}.

12. Quadratische Polynome, symmetrische Matrizen.

45. Sei Q einschaliges Hyperboloid oder hyperbolisches Paraboloid im ℝ^{3}. Zeige: Zu jedem Punkt p ∈ Q gibt es genau zwei Geraden g_{1}, g_{2} mit p ∈ g_{i} ⊂ Q, für 1 ≤ i ≤ 2.

Hinweis: Hier die entsprechenden Gleichungen (schon in isometrischer Normalform):

einschaliges Hyperboloid:  r_{1}X_{1}^{2} + r_{2}X_{2}^{2} − r_{3}X_{3}^{2} − 1
hyperbolisches Paraboloid:  r_{1}X_{1}^{2} − r_{2}X_{2}^{2} − X_{3}

mit positiven reellen Zahlen r_{1}, r_{2}, r_{3}.

46. Für c ≠ 0 beschreibt

cT_{1}^{2} + c(c − 1)T_{2}^{2} + cT_{3}^{2} − 2cT_{1}T_{3} + 4T_{1} + 2T_{3}

eine Quadrik im ℝ^{3}. Welche?

47. (a) Sei A ∈ M(n, ℝ) symmetrisch. Setze f(x) = ^{t}xAx für x ∈ ℝ^{n}. Zeige: Die Menge

Z(f) = {z ∈ ℝ^{n} | f(x) = f(x + z) für alle x ∈ ℝ^{n}}

ist ein linearer Unterraum des ℝ^{n}. Bestimme seine Dimension in Abhängigkeit vom Rang der Matrix A.

(b) Nimm die Liste der isometrischen Normalformen reeller quadratischer Polynome f in 3 Variablen und bestimme in allen Fällen Z(f).

48. Betrachte die reellen Matrizen

A = [ \begin{matrix}2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{matrix} ] und B = [ \begin{matrix}0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{matrix} ] .

Gesucht sind orthogonale Matrizen P, Q, so daß P^{−1}AP und Q^{−1}BQ Diagonalmatrizen sind.

Abgabe 05.07.2000