Lineare Algebra II SS 2000

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10. Symmetrische Matrizen

37. (Ein-Zeilen-Beweise). Seien A, B ∈ M(n × n, ℝ) symmetrische Matrizen.

(a) Ist A invertierbar, so ist auch A^{−1} symmetrisch. Ganz allgemein gilt: die komplementäre Matrix A^{♯} ist symmetrisch.

(b) Genau dann ist AB symmetrisch, wenn AB = BA gilt.

(c) Ist A nilpotent, so ist A = 0.

(d) Genau dann ist das charakteristische Polynom von A sein Minimalpolynom, wenn A n paarweise verschiedene Eigenwerte hat.

38. (Andere Grundkörper). Gesucht ist jeweils eine nilpotente symmetrische (2 × 2)-Matrix A ≠ 0 mit Koeffizienten in K, dabei sei

(a) K = 𝔽_{2},  (b) K = ℚ,  (c) K = ℂ.

In zwei der drei Fälle ist dies möglich (je ein Beispiel angeben), in einem Fall nicht (Ein-Zeilen-Beweis).

39. Bestimme zur folgenden Matrix

A = [ \begin{matrix}2 & −1 & 1 \\ −1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{matrix} ] ∈ M(3 × 3, ℝ)

eine orthogonale Matrix S, so daß ^{t}SAS eine Diagonalmatrix ist.

40. Sei K ein Körper, sei V ein n-dimensionaler K -Vektorraum. Sei ⟨−, −⟩ eine Bilinearform auf V . Ist A = (v_{1}, …, v_{n}) eine Basis von V und c_{ij} = ⟨v_{i}, v_{j}⟩, so sagt man, daß die Bilinearform ⟨−, −⟩ (bezüglich der Basis A) durch die Matrix C = (c_{ij})_{ij} beschrieben wird. Zeige: Die Matrizen, die diese Bilinearform (bezüglich irgendwelcher Basen) beschreiben, sind genau die Matrizen der Form ^{t}P CP mit P ∈ GL(n, K).

Abgabe: Mittwoch, 21.06.2000, 14:00