Lineare Algebra II SS 2000

http://www.mathematik.uni-bielefeld.de/birep/linalg/

Abgabe 29.06.2000

11. Symmetrische Bilinearformen

41. Sei ⟨−, −⟩ die durch die Matrix [ \begin{matrix}1 \\ & 1 \\ & & −1 \\ & & & 0 \end{matrix} ] gegebene Bilinearform auf V = ℝ^{4}.

Gesucht sind

(a) drei 2-dimensionale Unterräume U ⊂ V , auf denen ⟨−, −⟩ positiv definit ist.

(b) drei 1-dimensionale Unterräume U ⊂ V , auf denen ⟨−, −⟩ negativ definit ist.

(c) drei 2-dimensionale Unterräume U ⊂ V , auf denen ⟨−, −⟩ identisch Null ist.

42. Sei D der ℝ-Vektorraum aller differenzierbaren Funktionen (−1, 1) → ℝ. Zeige, daß wir durch

⟨f, g⟩ = (fg)′(0) (= Auswertung der Ableitung des Produkts an der Stelle 0)

eine symmetrische Bilinearform auf D erhalten und daß das Radikal dieser Bilinearform die Menge der f ∈ D ist mit f(0) = f′(0) = 0.

43. Seien p, q, r natürliche Zahlen mit p + q + r = n. Sei s = min{p, q}. Betrachte auf V = ℝ^{n} die quadratische Form

ϕ(x_{1}, …, x_{n}) = ∑_{i=1}^{p} x_{i}^{2} − ∑_{i=p+1}^{p+q} x_{i}^{2}.

Ein Unterraum U von V heißt total-isotrop, falls ϕ(u) = 0 für alle u ∈ U gilt.

(a) Zeige: Ist U ein total-isotroper Unterraum von V , so ist U ∩span{e_{1}, …, e_{p}} = 0 und U ∩ span{e_{p+1}, …, e_{p+q}} = 0. Folgere daraus: dim U ≤ r + s.

(b) Zeige: Der von den Vektoren e_{i} + e_{p+i} mit 1 ≤ i ≤ s und den Vektoren e_{j} mit p + q < j ≤ n erzeugte Unterraum ist total-isotrop (und hat die Dimension r + s). (c)^{∗} Jeder total-isotrope Unterraum ist in einem total-isotropen Unterraum der Dimension r + s enthalten. (d)^{∗} Sind U_{1}, U_{2} total-isotrope Unterräume der Dimension r + s, so gibt es einen Endomorphismus f von V mit ϕ(f(v)) = ϕ(v) für alle v ∈ V , der U_{1} auf U_{2} abbildet.

44. Sei K ein Körper mit char(K) ≠ 2. In der Vorlesung wird gezeigt, daß jedes quadratische Polynom P (x_{1}, …, x_{n}) in den Unbestimmten x_{1}, …, x_{n} mit Koeffizienten in K in eine der folgenden Normalformen überführt werden kann:

∑_{i=1}^{p} x_{i}^{2} − ∑_{i=p+1}^{p+q} x_{i}^{2}  mit p + q ≤ n,
∑_{i=1}^{p} x_{i}^{2} − ∑_{i=p+1}^{p+q} x_{i}^{2} − 1  mit p + q ≤ n,
∑_{i=1}^{p} x_{i}^{2} − ∑_{i=p+1}^{p+q} x_{i}^{2} − x_{p+q+1} mit p + q < n.

Betrachte den Fall K = ℝ und n = 2. Welche Möglichkeiten gibt es? Für jede der Normalformen P (x_{1}, x_{2}) soll eine Zeichnung der Nullstellenmenge V (P) angefertigt werden

V (P) = {(r_{1}, r_{2}) ∈ ℝ^{2} | P (r_{1}, r_{2}) = 0}.