Lineare Algebra II SS 2000

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12. Quadratische Polynome, symmetrische Matrizen.

45. Sei Q einschaliges Hyperboloid oder hyperbolisches Paraboloid im ℝ^{3}. Zeige: Zu jedem Punkt p ∈ Q gibt es genau zwei Geraden g_{1}, g_{2} mit p ∈ g_{i} ⊂ Q, für 1 ≤ i ≤ 2.

Hinweis: Hier die entsprechenden Gleichungen (schon in isometrischer Normalform):

einschaliges Hyperboloid:  r_{1}X_{1}^{2} + r_{2}X_{2}^{2} − r_{3}X_{3}^{2} − 1
hyperbolisches Paraboloid:  r_{1}X_{1}^{2} − r_{2}X_{2}^{2} − X_{3}

mit positiven reellen Zahlen r_{1}, r_{2}, r_{3}.

46. Für c ≠ 0 beschreibt

cT_{1}^{2} + c(c − 1)T_{2}^{2} + cT_{3}^{2} − 2cT_{1}T_{3} + 4T_{1} + 2T_{3}

eine Quadrik im ℝ^{3}. Welche?

47. (a) Sei A ∈ M(n, ℝ) symmetrisch. Setze f(x) = ^{t}xAx für x ∈ ℝ^{n}. Zeige: Die Menge

Z(f) = {z ∈ ℝ^{n} | f(x) = f(x + z) für alle x ∈ ℝ^{n}}

ist ein linearer Unterraum des ℝ^{n}. Bestimme seine Dimension in Abhängigkeit vom Rang der Matrix A.

(b) Nimm die Liste der isometrischen Normalformen reeller quadratischer Polynome f in 3 Variablen und bestimme in allen Fällen Z(f).

48. Betrachte die reellen Matrizen

A = [ \begin{matrix}2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{matrix} ] und B = [ \begin{matrix}0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{matrix} ] .

Gesucht sind orthogonale Matrizen P, Q, so daß P^{−1}AP und Q^{−1}BQ Diagonalmatrizen sind.

Abgabe 05.07.2000