Lineare Algebra II SS 2000

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Aufgabenblatt 2: Verschiedenes

5. Sei K ein Körper. Sei A ∈ M(n × n, K) mit n ≥ 1.

(a) Sei 0 ≠ v ∈ K^{n}. Sei g ein Polynom in K[T] mit g(A)v = 0. Zeige: g und χ_{A} sind nicht teilerfremd.

(b) Folgere daraus: Ist χ_{A} irreduzibel, und ist 0 ≠ v ∈ K^{n}, so sind die Vektoren v, Av, …, A^{n−1}v linear unabhängig (bilden also eine Basis).

6. Sei K ein Körper. (a) Seien c_{0}, …, c_{n−1} ∈ K. Zeige: Die Matrix

B(c_{0}, …, c_{n−1}) = [ \begin{matrix}0 & ⋯ & ⋯ & 0 & c_{0} \\ 1 & ... & & ⋮ & c_{1} \\ 0 & 1 & ... & ⋮ & c_{2} \\ ⋮ & ... & ... & 0 & ⋮ \\ 0 & ⋯ & 0 & 1 & c_{n−1} \end{matrix} ]

hat das charakteristische Polynom T^{n} − ∑_{i=0}^{n−1} c_{i}T^{i}. Folgere daraus, daß jedes normierte Polynom in K[T] das charakteristische Polynom einer Matrix ist.

(b) Sei A ∈ M(n × n, K) eine Matrix, deren charakteristisches Polynom χ_{A} = ∑_{i=0}^{n} a_{i}T^{i} (mit a_{n} = 1) irreduzibel ist. Zeige: Die Matrix A ist zur Matrix B(−a_{0}, …, −a_{n−1}) ähnlich.

Hinweis: Wähle einen beliebigen Vektor v ≠ 0 in K^{n}. Zeige A^{n}v = − ∑_{i=0}^{n−1} a_{i}A^{i}v. Warum folgt daraus die Behauptung?

7. Seien U_{1}, …, U_{t} Unterräume eines Vektorraums V . Zeige, daß die folgenden Bedingungen äquivalent sind:

(i) Jedes Element v ∈ V läßt sich eindeutig in der Form v = ∑_{i=1}^{t} u_{i} mit u_{i} ∈ U_{i} schreiben.

(ii) (a) Jedes Element v ∈ V läßt sich in der Form v = ∑_{i=1}^{t} u_{i} mit u_{i} ∈ U_{i} schreiben.

(b) Ist ∑_{i=1}^{t} u_{i} = 0 mit u_{i} ∈ U_{i}, so ist u_{i} = 0 für alle i. (iii) Einerseits ist V = ∑_{i=1}^{t} U_{i} und andererseits gilt U_{j} ∩ ∑_{i≠j} U_{i} = 0 für alle

1 ≤ j ≤ t.

8. (a) Folgere aus dem Satz von Bézout den “Chinesischer Restsatz”: Sei R ein euklid’scher Ring. Seien paarweise teilerfremde Elemente g_{1}, …, g_{s} gegeben. Zeige: Zu jedem s-Tupel von Elementen r_{1}, …, r_{s} ∈ R gibt es ein r ∈ R, so daß r − r_{i} durch g_{i} teilbar ist.

(b) Gesucht ist eine ganze Zahl r mit r ≡ 3 mod 5, r ≡ 5 mod 8 und r ≡ 2 mod 7.

Abgabe: Donnerstag, 27.04.2000