Lineare Algebra II SS 2000

http://www.mathematik.uni-bielefeld.de/birep/linalg/

Abgabe: Donnerstag, 04.05.2000

Aufgabenblatt 3: Die Jordan’sche Normalform

9. Sei K ein Körper. Sei A ∈ M(n × n, K). Das charakteristische Polynom χ_{A} zerfalle in Linearfaktoren. Zeige: Genau dann ist A diagonalisierbar, wenn das Minimalpolynom μ_{A} keine mehrfachen Nullstellen hat.

10. Sei K ein Körper, sei A ∈ M(n × n, K). Sei γ ∈ K ein Eigenwert von A mit eindimensionalem Eigenraum Eig(A, γ). Hat T − γ im charakteristischen Polynom χ_{A} die Multiplizität d, so ist A ähnlich zu einer Matrix der Form (γI_{d}+J((d)))⊕B, dabei ist B eine (n − d) × (n − d) Matrix.

11. Bestimme (ohne Computer) die Jordan’sche Normalform für folgende Matrix in M(4 × 4, ℂ)

[ \begin{matrix}0 & −1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & −1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix} ] .

12. Bestimme für die reelle Matrix

A = [ \begin{matrix}3 & 4 & 3 \\ −1 & 0 & −1 \\ 1 & 2 & 3 \end{matrix} ]

(auch hier ohne Computer) die Potenz A^{50} auf folgende Weise:

(a) Suche eine invertierbare Matrix S, eine Diagonalmatrix D und eine nilpotente Matrix N mit A = S^{−1}(D + N)S und DN = ND.

(b) Zeige: Es ist A^{50} = S^{−1}(D + N)^{50}S, also berechnet man als erstes (D + N)^{50} .

(c) Wegen DN = ND gilt (D + N)^{50} = ∑_{k=0}^{50} \binom{m}{k}D^{k}N^{m−k} (und glücklicherweise sind in dieser Summe nur ganz wenige Summanden von Null verschieden – warum?).