Lineare Algebra II SS 2000

http://www.mathematik.uni-bielefeld.de/birep/linalg/

Abgabe: Donnerstag, 11.05.2000

Aufgabenblatt 4: Euklid’sche Vektorräume (ein Rechenzettel)

13. Zuordnung einer Matrix zu einer Bilinearform. Sei V der von den Polynomen 1, T, T^{2}, T^{3} aufgespannte Unterraum von ℝ[T]. Definiere eine Bilinearform φ(−, −) auf V durch

φ(f, g) = ∫_{−1}^{1} f(T)g(T) d T.

Berechne die Matrix A ∈ M(4 × 4, ℝ), so daß φ bezüglich der Basis 1, T, T^{2}, T^{3} durch die Matrix A beschrieben wird:

φ(∑ c_{i}T^{i}, ∑ d_{i}T^{i}) = [c_{0} c_{1} c_{2} c_{3}] · A · [ \begin{matrix}d_{0} \\ d_{1} \\ d_{2} \\ d_{3} \end{matrix} ] ,

für alle c_{0}, …, c_{3}, d_{0}, …, d_{3} ∈ ℝ.

14. Nachweis, daß eine Bilinearform positiv definit ist. Betrachte die Matrix A = (a_{ij})_{ij} ∈ M(n×n, ℝ) mit Koeffizienten a_{ii} = 2 für 1 ≤ i ≤ n, a_{i,i+1} = a_{i+1,i} = −1 für 1 ≤ i < n und a_{ij} = 0 sonst. Zeige: Die Bilinearform φ_{A} auf dem ℝ^{n} ist positiv definit.

15. Orthonormalisieren. Betrachte den ℝ^{n} mit dem kanonischen inneren Produkt

⟨−, −⟩; es ist also ⟨[ x_{1} ; ⋮ ; x_{n} ] , [ y_{1} ; ⋮ ; y_{n} ]⟩ = ∑ x_{i}y_{i}.

Orthonormalisiere die folgende Folge von Vektoren

[ \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ] , [ \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 2 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ] , [ \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ] , [ \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1 \\ −1 \\ 0 \end{matrix} ] , [ \begin{matrix}0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} ] .

16. Bestimmung des orthogonalen Komplements. Betrachten Sie noch einmal den euklid’schen Vektorraum V , der in Aufgabe 13 gegeben wurde. Sei U der von 1, T erzeugte Unterraum. Bestimmen Sie eine Basis von U^{⊥}, dies ist der Unterraum aller v ∈ V mit φ(u, v) = 0 für alle u ∈ U.