Lineare Algebra II SS 2000

http://www.mathematik.uni-bielefeld.de/birep/linalg/

Abgabe: Donnerstag, 18.05.2000

Aufgabenblatt 5: Unitäre Räume (Beweise, analog zum Fall der euklid’schen Räume)

Sei V = (V, ⟨−, −⟩) ein unitärer Vektorraum. Sei f: V → V ein unitärer Endomorphismus.

17. Orthonormalisierung. (a) Sei U ein Unterraum von V . Sei u_{1}, …, u_{m} eine Orthonormalbasis von U. Ist v ∈ V, so setze

v′ = v − ∑_{i=1}^{m}⟨v, u_{i}⟩u_{i}.

Zeige erstens: v′ ∈ U^{⊥}. Zweitens: Ist v ∈ U, so ist v′ = 0. Drittens: Ist v ∉ U, so sind die Vektoren u_{1}, …, u_{m}, v linear unabhängig.

(b) Folgere daraus: Jeder endlich-dimensionale unitäre Vektorraum besitzt eine Orthonormalbasis.

18. Eigenwerte. (a) Ist γ ein Eigenwert von f, so ist |γ| = 1.

(b) Die Abbildung f ist injektiv. Ist V endlich-dimensional, so ist f bijektiv.

(c) Ist V endlich-dimensional, so ist das charakteristische Polynom von f von der Form (T − γ_{1}) ⋯ (T − γ_{n}) mit |γ_{i}| = 1 für 1 ≤ i ≤ n.

19. Orthogonales Komplement. Zeige: Ist U ein endlich-dimensionaler Unterraum von V , der f -invariant ist, so ist auch U^{⊥} f -invariant.

20. Diagonalisierbarkeit. Zeige: Es gibt eine Orthonormalbasis von V , so daß die zugehörige Matrizendarstellung von f eine Diagonalmatrix ist.