Lineare Algebra II SS 2000

http://www.mathematik.uni-bielefeld.de/birep/linalg/

Abgabe: Donnerstag, 25.05.2000

Aufgabenblatt 6: Isometrien. Diesmal nur Geometrie.

Es gibt hierzu drei Beilagen I, II, III.

21. Es gibt ein Spiel- und Zeichengerät (Spirograph), mit dem man interessante geschlossene Kurven zeichnen kann (siehe Beilage I): Entlang des Inneren eines Kreises A mit einem Zahnkranz wird ein Zahnrad B abgerollt, in dem ein Zeichenstift steckt. Zeige:

(a) Die Anzahl der Zähne von A sei r, die von B sei s (natürlich ist s < r und meist ist s ≥ 5). Bestimme die Symmetriegruppe der Kurve, die entsteht, wenn sich der Zeichenstift in einer Öffnung C befindet, die nicht im Mittelpunkt von B liegt.

(b) Die zweite Abbildung der Beilage I entstand mit einem Kreis A mit 105 Zähnen. Wie viele Zähne hatte das Zahnrad B?

22. In der Beilage II findet man einige Friese: Als erstes einige Beispiel aus der Kunstgeschichte. Dann Keramik-Friese (zum Teil mexikanisch). Als letztes die Fährten des Rothirsches: a ziehend, b flüchtend. Gib jeweils die zugehörigen Symmetriegruppen an.

23. Geben Sie zu jeder der 17 ebenen Kristallgruppen G die Punktgruppe \overline{G} an:

(a) Ist \overline{G} eine Drehgruppe, so soll ein erzeugendes Element von \overline{G} angegeben werden. Ist \overline{G} keine Drehgruppe, so gebe man ein erzeugendes Element der Untergruppe aller Drehungen und zusätzlich Spiegelachsen und Gleitspiegelachsen an, so dass für die zugehörigen Bewegungen h_{1}, …, h_{n} gilt: Die Restklassen \overline{h}_{1}, …, \overline{h}_{n} in \overline{G} sind paarweise verschieden und liefern alle Spiegelungen in \overline{G}.

(b) Es gibt genau einen Fall mit Punktgruppe C_{3} . In diesem Fall, und in einem der Fälle mit Punktgruppe D_{2} zeige man explizit, daß die Punktgruppe keine weiteren Elemente besitzt.

24. Die Beilage III enthält einige Muster. Geben Sie zu jedem Muster den zugehörigen Typ an.