Lineare Algebra II SS 2000

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Abgabe: Mittwoch, 31.05.2000, 12:00

7. Ebene diskrete Gruppen. Schraubungen in ℝ^{3}

Eine Untergruppe L von (ℝ^{n}, +) heißt diskrete Untergruppe, wenn es ein ϵ > 0 mit folgender Eigenschaft gibt: Ist 0 ≠ v ∈ L, so ist ||v|| ≥ ϵ.

25. Zeigen Sie, daß es (zu vorgebenem ϵ > 0 und d) eine explizite Schranke b mit folgender Eigenschaft gibt: Sind v_{1}, …, v_{t} Vektoren in der Ebene ℝ^{2} mit d(x_{i}, x_{j}) ≥ ϵ für i ≠ j und ||v_{i}|| ≤ d für alle i, so ist t ≤ b. Für Tapfere: Man zeige das Gleiche für Vektoren im ℝ^{n}.

Kommentar: In der Vorlesung (wie auch im Leitfaden) wird mit Hilfe des Satzes von Bolzano-Weierstraß gezeigt: Ist L eine diskrete Untergruppe von (ℝ^{2}, +), und ist d ∈ ℝ, so gibt es nur endlich viele Vektoren v ∈ L mit ||v|| ≤ d. Wie wir hier sehen, braucht man dafür aber den Satz von Bolzano-Weierstraß gar nicht.

26. (a) Zeigen Sie: Ist L eine diskrete Untergruppe von (ℝ^{2}, +), so ist die Anzahl der kürzesten von Null verschiedenen Vektoren 2, 4 oder 6.

(b) Die kürzesten von Null verschiedenen Vektoren in L können L erzeugen, müssen dies aber nicht. Geben Sie zu jeder der Zahlen k = 2, 4, 6 jeweils eine diskrete Untergruppe L an, die genau k Vektoren der Länge 1 besitzt und von diesen erzeugt wird, und auch eine diskrete Untergruppe L′, die genau k Vektoren der Länge 1 besitzt, von diesen nicht erzeugt wird, während aber alle von Null verschiedenen Vektoren Länge mindestens 1 haben.

27. Zeige: Sind v_{1}, v_{2} linear unabhängige Vektoren in ℝ^{2}, so ist die Menge L = {z_{1}v_{1} + z_{2}v_{2} | z_{1}, z_{2} ∈ ℤ} eine diskrete Untergruppe von (ℤ^{2}, +) (man nennt eine derartige Untergruppe L ein Gitter und v_{1}, v_{2} eine Gitterbasis von L).

(a) Zeige: Sei v_{1}, v_{2} eine Gitterbasis des Gitters L ⊂ ℝ^{2}. Genau dann ist w = z_{1}v_{1} + z_{2}v_{2} Element einer Gitterbasis w, w′ von L, wenn die ganzen Zahlen z_{1}, z_{2} teilerfremd sind.

(b) Zeige: Die Menge der Vektoren [a, b] ∈ ℤ^{2} , für die a + b eine gerade Zahl ist, ist ein Gitter. Man gebe 10 verschiedene Gitterbasen für dieses Gitter an (mit 10 Zeichnungen).

(c) Zeige: Die Menge K der Vektoren \frac{1}{2}[a, b\sqrt{3}] mit a, b ∈ ℤ und 2|a + b bildet eine diskrete Untergruppe von (ℝ^{2}, +). Bestimme eine Gitterbasis.

Kommentar. K ist ein typischer Zahlbereich, der im Rahmen der algebraischen Zahlentheorie untersucht wird: die Menge der “ganzen” Zahlen in einem Zahlkörper. Wer Lust hat, sollte zeigen, daß K ein Unterring von ℂ ist.)

28. Eine Gerade ℓ im ℝ^{3} ist durch einen Vektor a (Ortsvektor) und einen von Null verschiedenen Vektor b (Richtungsvektor) gegeben: ℓ = {a + rb | r ∈ ℝ}. Sei ϕ eine eigentliche Bewegung des ℝ^{3} . Zeige als erstes: Es gibt eine Fixgerade ℓ. Zweitens: Entweder ist ϕ eine Drehung um diese Gerade, oder es gibt einen Richtungsvektor b zu dieser Geraden, so daß ϕ die Hintereinanderschaltung einer Drehung um die Achse ℓ und der Verschiebung um den Vektor b ist (in diesem Fall spricht man von einer Schraubung).