Lineare Algebra II SS 2000

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9. Geometrie Abgabe: 15.06.2000

33. Iwasawa-Zerlegung (oder QR-Zerlegung). Sei K = ℝ oder K = ℂ. Jede invertierbare Matrix A ∈ M(n × n, K) läßt sich als Produkt A = P DU schreiben, dabei ist P für K = ℝ eine orthogonale Matrix, für K = ℂ eine unitäre Matrix, D eine Diagonalmatrix mit positiven reellen Diagonalkoeffizienten und U eine unipotente obere Dreiecksmatrix. Beweisen Sie diesen Satz mit Hilfe des Gram-Schmidt’schen Orthonormalisierungsverfahrens. (Anleitung: Die Zeilen von A bilden eine Basis v_{1}, …, v_{n} des ℝ^{n}. — Das Verfahren ersetzt v_{j} durch eine Linearkombination v′_{j} = ∑_{i≤j} b_{ij}v_{i} mit b_{jj} > 0. — Wir erhalten also eine obere Dreiecksmatrix B = (b_{ij})_{ij} mit P := AB orthogonal. — Also ist A = P B^{−1} . — Natürlich kann B^{−1} in der Form DU geschrieben werden.)

(b) Sei P eine obere (n × n)-Dreiecksmatrix mit Koeffizienten in K, die Diagonalkoeffizienten seien positive reelle Zahlen. Zeige: Ist P orthogonal (im Fall K = ℝ) oder unitär (im Fall K = ℂ), so ist P die Einheitsmatrix.

(c) Folgere aus (b): Die in (a) konstruierte Faktorisierung A = P DU ist eindeutig.

34. Das Wurzelsystem G_{2} . Betrachte die Menge P der Vektoren in ℝ^{2}

ε2e_{1}, ε((m − 3)e_{1} + αe_{2}), ε2αe_{2}, mit ε ∈ {1, −1}, m ∈ {0, 2, 4, 6},

dabei ist α = \sqrt{3}. Zeige: (a) Für jedes a ∈ P gilt σ_{a}(P) = P. (b) Für a, b ∈ P gilt \frac{2⟨a,b⟩}{⟨b,b⟩} ∈ ℤ.

35. Abstandsberechnung. Betrachte im ℝ^{3} die Ebenen

E(r) = {^{t}[x, y, z] | x + y + z = r} mit r ∈ ℝ.

(a) Berechne den Abstand des Punkts ^{t}[1, 2, 3] von der Ebene E(1).

(b) Berechne den Abstand der Ebenen E(1) und E(2).

36. (Aus der Biologie). Hier die relativen Häufigkeiten der Blutgruppen A, AB, B, O bei Eskimos, Bantus, Engländern und Koreanern:

Blutgruppe Esk  Ban  Eng  Kor
A  0, 2914 0, 1034 0, 2090 0, 2208
AB  0, 0000 0, 0866 0, 0696 0, 0000
B  0, 0316 0, 1200 0, 0612 0, 2069
O  0, 6770 0, 6800 0, 6602 0, 5723

Betrachte die jeweiligen Meßwertsätze (die Spalten) als Merkmalsvektoren

m^{Esk}, m^{Ban}, m^{Eng}, m^{Kor} ∈ ℝ^{4};

zum Beispiel also m^{Esk} = ^{t}[ 0, 2914 0, 0000 0, 0316 0, 6770 ]. Aufgabe: Bestimme die Winkel zwischen diesen Vektoren.

Interpretation: Den Winkel zwischen zwei derartigen Merkmalsvektoren, etwa zwischen m^{Esk} und m^{Ban} kann man als eine mögliche Definition für den genetischen Abstand (hier der Eskimos und der Bantus) verwenden. In unserem Beispiel: Welches ist der größte Abstand, welches der kleinste?