Leitfaden: Lineare Algebra II

Einschub: Euklid’sche Ringe (Das Rechnen in ℤ und in K[T]).

Ist K ein Körper und f ∈ K[T] ein Polynom, so nennt man f normiert, falls f ≠ 0 gilt und der höchste Koeffizient von f gleich 1 ist. (Natürlich gilt: Jedes von Null verschiedene Polynom läßt sich eindeutig als Produkt eines normierten Polynoms und eines Elements c ∈ K \ {0} schreiben.)

Vorbemerkung. Wir diskutieren in diesem Abschnitt gemeinsame Eigenschaften des Rings ℤ der ganzen Zahlen und der Polynomringe K[T], wobei K ein Körper ist. In diesen Ringen ist das “Teilen mit Rest” möglich, dies wird im Begriff eines “euklid’schen Rings” axiomatisiert. Wir werden sehen, daß es in derartigen Ringen eine “eindeutige Primfaktorzerlegung” gibt. Ganz wichtig ist die “Bézout’sche Regel”.

Teilbarkeit. Sei (H, ·) eine kommutative Halbgruppe. Seien a, b ∈ H. Wir schreiben b|a (und sagen b teilt a oder auch: b ist ein Teiler von a) falls es ein b′ ∈ H gibt mit bb′ = a. Für jedes Element a ∈ R schreiben wir T (a) für die Menge aller Teiler von a. Zwei Elemente a, a′ heißen assoziiert, falls T (a) = T (a′) gilt. (Beispiel in ℤ: es ist T (3) = {±1, ±3} = T (−3). Zwei Elemente a, a′ ∈ ℤ sind genau dann assoziiert, wenn sie den gleichen Betrag haben. In ℝ[T] enthält T (T^{2} − 1) die Polynome 1, T + 1, T − 1 und T^{2} − 1, aber auch die skalaren Vielfachen dieser Polynome mit skalarem Faktor c ∈ R \ {0}, also etwa auch 3T + 3 und \frac{1}{2}T − \frac{1}{2} .)

Sind a_{1}, …, a_{n} Elemente von H, so schreiben wir T (a_{1}, …, a_{n}) für die Menge der gemeinsamen Teiler von a_{1}, …, a_{n}, also T (a_{1}, …, a_{n}) = ⋂_{i} T (a_{i}). Gibt es ein Element b ∈ R mit T (b) = T (a_{1}, …, a_{n}), so nennt man b einen größten gemeinsamen Teiler (ggT) der Elemente a_{1}, …, a_{n}. Die Elemente a_{1}, …, a_{n} heißen teilerfremd, falls die Menge T (a_{1}, …, a_{n}) nur die invertierbaren Elemente von H enthält.

Wir nennen p ∈ H ein irreduzibles Element, falls einerseits p nicht invertierbar ist und falls andererseits aus p = p_{1}p_{2} folgt, daß p_{1} oder p_{2} invertierbar ist. Beispiel: In (ℤ, ·) sind die irreduziblen Elemente gerade die Zahlen ±p, wobei p eine Primzahl ist (das gleiche gilt in der Halbgruppe (ℤ \ {0}, ·).)

Wir sagen: (H, ·) ist eine Halbgruppe mit eindeutiger Primfaktorzerlegung, falls die folgenden beiden Bedingungen erfüllt sind:

(1) (Existenz) Jedes nicht-invertierbare Element a läßt sich als Produkt a = p_{1}p_{2} ⋯ p_{n} mit irreduziblen Elementen p_{i} (und n ≥ 1) schreiben,

(2) (Eindeutigkeit) Ist p_{1}p_{2} ⋯ p_{n} = q_{1}q_{2} ⋯ q_{m} mit irreduziblen Elementen p_{i}, q_{i}, so gilt n = m und es gibt eine Permutation σ von {1, …, n} mit: p_{σ(i)} ist zu q_{i} assoziiert, für 1 ≤ i ≤ n.

Warnung: Die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung ist nichts Selbstverständliches! Hier ein Beispiel einer Halbgruppe H ohne eindeutige Primfaktorzerlegung: die der “Viererzahlen” H = ({1, 4, 8, 12, 16, … }, ·) = ({1} ∪ 4ℕ_{1}, ·). Irreduzible Elemente sind:

4, 8, 12, 20, 24, 28, …

dagegen sind nicht irreduzibel: 16 = 4·4, 32 = 4·8 usw. Verschiedene Faktorisierungen haben:

64 = 8^{2} = 4^{3}, 96 = 8 · 12 = 4 · 24.

Eines der Ziele dieses Abschnitts ist zu zeigen, daß sowohl (ℤ \ {0}, ·) als auch (K[T] \ {0}, ·) (dabei sei K ein Körper) Halbgruppen mit eindeutiger Primfaktorzerlegung sind. Wir zeigen dies in zwei Schritten (Satz A und Satz B), dazu führen wir den Begriff eines “euklid’schen Rings” ein.

Unter einem euklid’schen Ring vestehen wir einen kommutativen Ring R mit einer Funktion ρ: R \ {0} → ℕ_{0} mit folgenden Eigenschaften:

(1) (“Nullteilerfreiheit”) Sind a, b ∈ R beide von Null verschieden, so ist auch ab von Null verschieden.

(2) Sind a, b ∈ R beide von Null verschieden und ist b nicht invertierbar, so ist ρ(a) < ρ(ab).

(3) (“Teilen mit Rest”) Sind a, b ∈ R gegeben mit b ≠ 0, so gibt es q, r ∈ R mit a = qb + r und r = 0 oder ρ(r) < ρ(b).

(Teilen mit Rest: r ist der Rest, wenn wir versuchen, a durch b zu teilen. Dabei soll eben entweder r = 0 gelten (dann ist b Teiler von a) oder r soll zumindest “klein” sein, und zwar “kleiner” als b, dies wird durch ρ(r) < ρ(b) formuliert.)

Satz A. Der Ring R = ℤ (mit ρ(z) = |z|) ist ein euklid’scher Ring. Ist K ein Körper, so ist der Polynomring R = K[T] (mit ρ(a) = deg a) ein euklid’scher Ring.

(Beachte den kleinen Unterschied: Im Fall R = ℤ ist ρ auf ganz R definiert, im Fall R = K[T] ist ρ nur für von Null verschiedene Elemente definiert, aber das ist alles, was wir brauchen).

Beweis von (3) im Fall R = K[T]. Ist a = 0, so ist nichts zu zeigen (nimm q = 0, r = 0). Also können wir a ≠ 0 voraussetzen. Sei a = ∑_{i=0}^{m} a_{i}T^{i} und b = ∑_{j=1}^{n} b_{i}T^{i} mit a_{m} ≠ 0 und b_{n} ≠ 0. Ist m < n, so ist nichts zu zeigen: Nimm q = 0 und r = a, es ist a = 0 · b + r und deg r = deg a < deg b. Sei nun m ≥ n. Bilde nun \frac{a_{m}}{b_{n}} T^{m−n} und bilde die Differenz c = a − \frac{a_{m}}{b_{n}} T^{m−n}b. Wir bilden also die Differenz zweier Polynome vom Grad m, diese Differenz hat demnach Grad höchstens m. Der höchste Koeffizient ist a_{m} − \frac{a_{m}}{b_{n}} b_{n} = 0, also ist deg c < m. Nach Induktion über den Grad können wir voraussetzen, daß sich c durch b mit Rest teilen läßt, etwa c = q′b + r′, mit deg r′ < deg b. Demnach ist

a = c + \frac{a_{m}}{b_{n}} T^{m−n}b = q′b + r′ + \frac{a_{m}}{b_{n}} T^{m−n}b = (q′ + \frac{a_{m}}{b_{n}} T^{m−n})b + r′.

Wir setzen also q = q′ + \frac{a_{m}}{b_{n}} T^{m−n} und r′ = r.

Hier ein Beispiel für das Teilen mit Rest: Sei a = T^{4} − T^{3} + T − 1, b = T^{3} − 1. Dann ist

T^{4} − T^{3} + T − 1 = (T − 1)(T^{3} − 1) + (2T − 2)

(hier ist also q = T − 1 und r = 2T − 2). Beim Rechnen geht man wie bei der schriftlichen Division vor:

(T^{4}−T^{3}  +T −1 ): (T^{3} − 1) = \underbrace{T − 1}_{q} T^{4}  −T^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} −T^{3} +2 T^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} −T^{3}  +1 \underbrace{2 T − 2}_{r}

Folgerung. Sei f ∈ K[T] und γ ∈ K. Genau dann gilt f(γ) = 0, wenn T − γ ein Teiler von f ist.

Beweis. Einerseits: Sei (T − γ)g = f. Ersetze T durch γ. Links erhalten wir 0, also f(γ) = 0. Umgekehrt: Sei f(γ) = 0. Teile f duch T − γ mit Rest, also f = q · (T − γ) + r mit Polynomen q, r, wobei entweder r = 0 gilt oder aber r ≠ 0 und deg r < deg(T − γ) = 1. In jedem Fall ist r ein konstantes Polynom. Ersetze in f = q · (T − γ) + r die Variable T durch γ. Wir erhalten r(γ) = 0, d.h. einsetzen von γ in das konstante Polynom r liefert 0, das heißt aber: r = 0.

Satz (Bézout). Sei R ein euklid’scher Ring. Seien g_{1}, …, g_{n} ∈ R: Dann gibt es h mit T (g_{1}, …, g_{n}) = T (h). Und für jedes h mit T (g_{1}, …, g_{n}) = T (h) gibt es Elemente a_{i} ∈ R mit h = ∑ a_{i}g_{i}. (Der Satz besagt also: je n Elemente haben einen größten gemeinsamen Teiler und dieser läßt sich als Linearkombination darstellen.)

Beweis: Es genügt, den Fall n = 2 zu beweisen, der allgemeine Fall folgt dann mit Induktion.

Seien f, g ∈ R. Wir zeigen zuerst: es gibt a, b ∈ R mit T (f, g) = T (af + bg) (also: es gibt einen ggT und dieser ist als Linearkombination darstellbar.)

Ist g = 0, so ist T (f, g) = T (f). Also können wir voraussetzen, daß f, g beide von Null verschieden sind. Sei ρ(f) ≥ ρ(g). Sei f_{0} = f, f_{1} = g. Teile f_{0} durch f_{1} mit Rest, also etwa f_{0} = q_{1}f_{1} + f_{2} . Es ist entweder f_{2} = 0 oder ρ(f_{1}) > ρ(f_{2}). Ist f_{2} ≠ 0, so teilen wir f_{1} durch f_{2} mit Rest, usw. Algemein erhalten wir eine Folge von Gleichungen

f_{0} = q_{1}f_{1} + f_{2}
f_{1} = q_{2}f_{2} + f_{3}
⋯
f_{i−1} = q_{i}f_{i} + f_{i+1}

mit ρ(f_{1}) > ρ(f_{2}) > ⋯ > ρ(f_{i}) > ρ(f_{i+1}). Da jede absteigende Folge natürlicher Zahlen abbricht, muß dieses Verfahren abbrechen, etwa nach n Schritten:

(∗)  f_{n−2} = q_{n−1}f_{n−1} + f_{n}
f_{n−1} = q_{n}f_{n}

Haben wir eine Gleichung der Form f = qg + r, so gilt offensichtlich T (f, g) = T (g, r). Wir sehen also hier:

T (f, g) = T (f_{0}, f_{1}) = T (f_{1}, f_{2}) = ⋯ T (f_{n−1}, f_{n}) = T (f_{n}),

das Element f_{n} ist also ein größter gemeinsamer Teiler.

Die i-te Gleichung zeigt jeweils, daß sich f_{i+1} als Linearkombination von f_{i−1} und f_{i} ausdrücken läßt:

f_{i+1} = f_{i−1} − q_{i}f_{i}.

Wir verwenden nun zuerst die Gleichung (∗), um f_{n} als Linearkombination von f_{n−2} und f_{n−1} auszudrücken

f_{n} = f_{n−2} − q_{n−1}f_{n−1}

und ersetzen jeweils f_{i+1} durch f_{i−1} − q_{i}f_{i}, für i = n − 1, n − 2, …, 3, 2. Dies zeigt: f_{n} läßt sich in der Form af_{0} + bf_{1} = af + bg mit a, b ∈ R schreiben.

Sei nun h beliebig mit T (h) = T (f, g). Wegen T (h) = T (f, g) = T (af + bg) ist af + bg ein Teiler von h, etwa h = c(af + bg) für ein c ∈ R. Dann ist aber h = a′f + b′g mit a′ = ca und b′ = cb. Damit ist der Satz bewiesen.

Man nennt dieses Verfahren den Euklid’schen Algorithmus zur Bestimmung des ggT. (Genauer: eines ggT, denn in einem beliebigen euklid’schen Ring braucht es kein Verfahren zu geben, um in der Menge der Elemente h mit T (h) = T (f, g) ein wohlbestimmten Element auszuwählen. Im Ring ℤ nimmt man im Fall daß mindestens eines der Elemente f, g von Null verschieden ist, die (einzige) positive Zahl h mit T (h) = T (f, g), im Polynomring K[T] das (einzige) normierte Polynom h mit dieser Eigenschaft, und nennt dies den ggT von f und g.)

Beispiel 1. Betrachte die Zahlen 255 und 221. Es ist

(1)  255 = 1 · 221 + 34
(2)  221 = 6 · 34 + 17
(3)  34 = 2 · 17 + 0

demnach ist 17 der ggT von 255 und 221. Zurückrechnen liefert

17 =^{(2)} 221 − 6 · 34

=^{(1)} 221 − 6 · (255 − 221)

= 7 · 221 − 6 · 255

Beispiel 2. Betrachte die beiden Polynome f = T^{3} + 2 und g = T^{3} + T^{2} + 1. Wir teilen mit Rest:

(1)  T^{3} + 2 =  1 · (T^{3} + T^{2} + 1) + (−T^{2} + 1)
(2)  (T^{3} + T^{2} + 1) = (−T − 1) · (−T^{2} + 1)  + (T + 2)
(3)  (−T^{2} + 1) = (−T + 2) · (T + 2)  + (−3)
(4)  (T + 2) = (−\frac{1}{3}T − \frac{2}{3}) · (−3)

Wir sehen also: die Polynome f und g sind teilerfremd. Rechnen wir rückwärts, so erhalten wir:

−3 =^{(3)} (−T^{2} + 1) − (−T + 2)(T + 2)

=^{(2)} (−T^{2} + 1) − (−T + 2)((T^{3} + T^{2} + 1) − (−T − 1)(−T^{2} + 1))

= (1 − (−T + 2)(T + 1))(−T^{2} + 1) − (−T + 2)(T^{3} + T^{2} + 1)

= (T^{2} − T − 1)(−T^{2} + 1) − (−T + 2)(T^{3} + T^{2} + 1)

=^{(1)} (T^{2} − T − 1)((T^{3} + 2) − (T^{3} + T^{2} + 1)) − (−T + 2)(T^{3} + T^{2} + 1)

= (T^{2} − T − 1)(T^{3} + 2) + (−(T^{2} − T − 1) − (−T + 2))(T^{3} + T^{2} + 1)

= (T^{2} − T − 1)f + (−T^{2} + 2T − 1)g,

also auch

1 = \frac{1}{3}(−T^{2} + T + 1) · f + \frac{1}{3}(T^{2} − 2T + 1) · g.

Folgerung. Sei R ein euklid’scher Ring. Ist p ∈ R irreduzibel und ist p ein Teiler von uv (u, v ∈ R), so ist p ein Teiler von u oder von v.

Beweis: Sei etwa pc = uv. Wir nehmen an, daß p kein Teiler von u ist. Dann sind p, u teilerfremd, also gibt es a, b ∈ R mit 1 = ap+bu. Also ist v = (ap+bu)v = apv + buv = apv + bpc = p(av + bc).

Satz B. Ist R ein euklid’scher Ring, so ist (R \ {0}, ·) eine Halbgruppe mit eindeutiger Primfaktorzerlegung.

Beweis: Als erstes zeigen wir die Existenzaussage: jedes nicht-invertierbare Element a läßt sich als Produkt a = p_{1}p_{2} ⋯ p_{n} mit irreduziblen Elementen p_{i} (und n ≥ 1) schreiben. Sei also a ∈ R \ {0} nicht-invertierbar. Wir verwenden Induktion nach ρ(a). Ist a selbst irreduzibel, so ist nichts zu zeigen. Andernfalls können wir a in der Form a = bc schreiben, wobei keiner der beiden Faktoren b, c invertierbar ist. Dann ist aber ρ(b) < ρ(a) und auch ρ(c) < ρ(a), wegen der Bedingung (2) in der Definition eines euklid’schen Rings. Nach Induktion lassen sich b, c beide als Produkte von irreduziblen Elementen schreiben, also auch a.

Nun die Eindeutigkeit: Sei a = p_{1}p_{2} ⋯ p_{n} = q_{1}q_{2} ⋯ q_{m} mit irreduziblen Elementen p_{i}, q_{i}. Hier verwenden wir Induktion nach n. Wir sehen, daß p_{1} ein Teiler von q_{1} ⋯ q_{m} ist, also ist p_{1} ein Teiler von q_{j} für ein j; nach Umnumerieren der q_{i} können wir voraussetzen j = 1, also ist p_{1} ein Teiler von q_{1} , etwa p_{1}p′_{1} = q_{1}. Da q_{1} irreduzibel ist, muß p′_{1} invertierbar sein, also sind die Elemente p_{1} und q_{1} assoziiert. Falls n = 1 folgt aus p_{1} = p_{1}(p′_{1}q_{2} ⋯ q_{m}), daß p′_{1}q_{2} ⋯ q_{m} = 1 gilt, denn R ist nullteilerfrei und p_{1} ≠ 0. Daraus folgt aber m = 1.

Sei nun n > 1. Wieder verwenden wir die Nullteilerfreiheit und schließen aus p_{1}p_{2} ⋯ p_{n} = p_{1}p′_{1}q_{2} ⋯ q_{m}, daß gilt p_{2}p_{n} = p′_{1}q_{2} ⋯ q_{m}. Da p′_{1} invertierbar ist, ist mit q_{2} auch p′_{1}q_{2} irreduzibel, also steht rechts ein Produkt von m − 1 irreduziblen Faktoren. Nach Induktion sehen wir n − 1 = m − 1, und es gibt eine Permutation σ der Indizes 2, …, n, so daß p_{σ(2)} und p′_{1}q_{2} assoziert sind und entsprechend für i > 2 jeweils p_{σ(i)} und q_{i} assoziiert sind. Natürlich ist dann auch p_{σ(1)} zu q_{2} assoziiert. Da wir schon wissen, daß p_{1} und q_{1} assoziert sind, folgt die Behauptung.

Eindeutige Primfaktorzerlegung im Ring ℤ. Jede von Null verschiedene ganze Zahl a läßt sich eindeutig als Produkt

a = ϵp_{1} … p_{n}

schreiben mit ϵ = ±1 und Primzahlen p_{1} ≤ p_{2} ≤ ⋯ ≤ p_{n} mit n ≥ 0.

Eindeutige Primfaktorzerlegung in Polynomringen. Sei K ein Körper. Jedes von Null verschiedene Polynom f ∈ K[T] läßt sich in der Form

f = γp_{1} … p_{n}

schreiben mit γ ∈ K \{0} und normierten irreduziblen Polynomen p_{1}, p_{2}, …, p_{n} mit n ≥ 0. Ist γp_{1} … p_{n} = δq_{1} … q_{m} mit γ, δ ∈ K \ {0} und normierten irreduziblen Polynomen p_{i}, q_{j}, so ist n = m, γ = δ, und es gibt eine Permutation σ von {1, 2, …, n} mit p_{σ(i)} = q_{i} für alle i.

Wir verwenden, daß in ℤ jedes irreduzible Element zu einer positiven Primzahl assoziiert ist, und daß entsprechend in K[T] jedes irreduzible Polynom zu einem normierten irreduziblen Polynom assoziiert ist. In ℤ haben wir zusätzlich die Möglichkeit, die auftretenden Primzahlen der Größe nach zu notieren, auf diese Weise erhalten wir eine eindeutige Faktorisierung. In K[T] erhalten wir Eindeutigkeit bis auf Permutation.

Ist f = γp_{1} ⋯ p_{n} mit γ ∈ K \ {0} und normierten irreduziblen Polynomen p_{i}, so nennt man die Anzahl der Indizes i mit p = p_{i} die Vielfachheit von p in f. Ist p = T − δ mit δ ∈ K, so nennt man die Vielfachheit von T − δ in f die Vielfachheit der Nullstelle δ.

Irreduzible Polynome. Für jeden Körper K sind die Polynome der Form T −a mit a ∈ K irreduzibel. Ob dies die einzigen normierten irreduziblen Polynome sind, hängt vom Körper K ab. Hier einige Spezialfälle:

ℂ. Der “Fundamentalsatz der Algebra” besagt gerade, daß jedes irreduzible Polynom über ℂ linear ist; die einzigen normierten irreduziblen Polynome in ℂ[T] sind also die Polynome der Form T − a mit a ∈ ℂ.

ℝ. Der “Fundamentalsatz der Algebra” läßt sich auch so formulieren: jedes irreduzible Polynom über ℝ hat Grad 1 oder 2. Die normierten irreduziblen Polynome in ℝ[T] vom Grad 2 sind gerade die Polynome der Form T^{2} + a_{1}T + a_{0} mit a_{1}^{2} < 4a_{0} (und dies sind gerade die Polynome der Form (T − a)^{2} + c mit a, c ∈ ℝ und c > 0).

ℚ. Zu jeder natürlichen Zahl n ≥ 1 gibt es irreduzible Polynome in ℚ[T] vom Grad n, zum Beispiel T^{n} − 2. Das Studium der irreduziblen Polynome in ℚ[T] ist eine wichtige Aufgabe von Algebra und Zahlentheorie.

ℤ/pℤ, mit p Primzahl. Auch hier gibt es zu jeder natürlichen Zahl n ≥ 1 irreduzible Polynome in ℤ/pℤ[T] vom Grad n.

Bemerkung. Wir haben gesehen: In euklid’schen Ringen kann jedes von Null verschiedene Element als Produkt von irreduziblen Elementen geschrieben werden. Eine derartige Faktorisierung zu finden kann aber mit viel Aufwand verbunden sein! Man verwendet dies heute zum Verschlüsseln von Nachrichten. Leicht dagegen ist die Bestimmung größter gemeinsamer Teiler, denn hier gibt es ein effektives Verfahren, den euklid’schen Algorithmus.

Das Minimal-Polynom einer quadratischen Matrix. Sei K ein Körper und A ∈ M(n × n, K). Sei μ_{A} ∈ K[T] ein normiertes Polynom kleinstmöglichen Grads mit μ_{A}(A) = 0. Ist f ∈ K[T] ein Polynom mit f(A) = 0, so ist μ_{A} ein Teiler von f. (Beweis: Teile f durch μ_{A} mit Rest, etwa f = qμ_{A} +r und setze die Matrix A ein, wir erhalten r(A) = 0. Da nach Voraussetzung μ_{A} den kleinstmöglichen Grad hat, muß r = 0 gelten.) Daraus folgt:

(a) Das Polynom μ_{A} ist eindeutig bestimmt (man nennt μ_{A} das Minimalpolynom von A).

(b) Das Minimalpolynom μ_{A} ist ein Teiler des charakteristischen Polynoms χ_{A}.

(c) Ähnliche Matrizen haben das gleiche Minimalpolynom. (Seien A, B ähnliche Matrizen, also B = S^{−1}AS mit einer invertierbaren (n × n)-Matrix S. Es ist 0 = μ_{B}(B) = μ_{B}(S^{−1}AS) = S^{−1}μ_{B}(A)S, also μ_{B}(A) = 0 und demnach ist μ_{A} ein Teiler von μ_{B}. Entsprechend ist aber μ_{B} auch ein Teiler von μ_{A}).

Lemma. Sei K ein Körper, sei A ∈ M(n × n, K). Hat das Minimalpolynom μ_{A} den Grad m, so gilt: Alle Potenzen A^{i} mit i ∈ ℕ_{0} liegen im Unterraum span(I, A, A^{2}, …, A^{m−1}) des Vektorraums M(n × n, K).

Beweis: Sei μ_{A}(T) = ∑_{j=0}^{m} a_{j}T^{j} mit a_{j} ∈ K und a_{m} = 1. Wegen μ_{A}(A) = 0 gilt ∑_{j=0}^{m} a_{j}A^{j} = 0, also

A^{m} = − ∑_{j=0}^{m−1} a_{j}A^{j}.

Multiplizieren wir diese Gleichung mit A^{s} mit s ≥ 0, so erhalten wir

A^{m+s} = − ∑_{j=0}^{m−1} a_{j}A^{j+s}.

Dies zeigt: Die Matrizen der Form A^{m+s} mit s ≥ 0 lassen sich als Linearkombinationen von Matrizen der Form A^{r} mit r < m + s schreiben. Induktiv sieht man, daß sich die Matrizen der Form A^{m+s} mit s ≥ 0 als Linearkombination der Matrizen der Form A^{r} mit r < m schreiben lassen.

Folgerung. Sei K ein Körper, sei A ∈ M(n × n, K). Das Minimalpolynom μ_{A} habe den Grad m. Ist v ∈ K^{n}, so sind die Vektoren v, Av, …, A^{m}v linear abhängig.

Beweis: Es ist A^{m} ∈ span(I, A, A^{2}, …, A^{m−1}), also A^{m} = ∑_{i=0}^{m−1} c_{i}A^{i} mit c_{i} ∈ K. Dann ist A^{m}v = ∑_{i=0}^{m−1} c_{i}A^{i}v.

Lemma. Seien c_{0}, …, c_{n−1} ∈ K. Die Matrix

A = [ \begin{matrix}0 & ⋯ & ⋯ & 0 & c_{0} \\ 1 & ... & & ⋮ & c_{1} \\ 0 & 1 & ... & ⋮ & c_{2} \\ ⋮ & ... & ... & 0 & ⋮ \\ 0 & ⋯ & 0 & 1 & c_{n−1} \end{matrix} ]

hat das Minimalpolynom T^{n} − ∑_{i=0}^{n−1} c_{i}T^{i}. (Man nennt diese Matrix A die Begleitmatrix zum Polynom T^{n} − ∑_{i=0}^{n−1} c_{i}T^{i}).

Beweis: Man rechnet leicht nach χ_{A} = T^{n} − ∑_{i=0}^{n−1} c_{i}T^{i}. Zu zeigen ist, daß das Minimalpolynom den Grad n hat. Es ist Ae_{i} = e_{i+1}, für 0 ≤ i ≤ n−1, demnach ist A^{i}e_{1} = e_{i+1}, ebenfalls für 0 ≤ i ≤ n − 1. Insbesondere sehen wir, daß die Vektoren A^{i}e_{1} mit 0 ≤ i ≤ n − 1 linear unabhängig sind. Also hat das Minimalpolynom μ_{A} den Grad n. Da μ_{A} Teiler von χ_{A} ist, muß μ_{A} = χ_{A} gelten.

Folgerung. Ist p ein normiertes Polynom in K[T] vom Grad n, so gibt es A ∈ M(n × n, K) mit μ_{A} = p.

Wir wissen, daß das Minimalpolynom μ_{A} ein Teiler des charakteristischen Polynoms χ_{A} ist. Schreiben wir also χ_{A} = p_{1}^{e_{1}} ⋯ p_{s}^{e_{s}} mit paarweise verschiedenen normierten irreduziblen Polynomen p_{1}, …, p_{s} und natürlichen Zahlen e_{i} ∈ ℕ_{1} , so sieht man

μ_{A} = p_{1}^{d_{1}} ⋯ p_{s}^{d_{s}} mit Vielfachheiten 0 ≤ d_{i} ≤ e_{i}.

Bemerkung: Man kann zeigen, daß immer 1 ≤ d_{i} gilt: Jeder irreduzible Faktor von χ_{A} ist auch Faktor von μ_{A}; die beiden Polynome χ_{A} und μ_{A} unterscheiden sich höchstens durch die Vielfachheiten, mit denen ein solcher Faktor auftritt. (Für den allgemeinen Fall muß auf die Vorlesung Algebra verwiesen werden. Ist p_{i} = T − γ ein linearer Faktor von χ_{A}, so sieht man sehr einfach, daß p_{i} auch ein Faktor von μ_{A} sein muß: Ist T −γ Teiler von χ_{A}, so ist γ ein Eigenwert von A, es gibt also einen Vektor 0 ≠ v ∈ K^{n} mit Av = γv. Wäre T − γ kein Faktor des Minimalpolynoms μ_{A}, so wären die Polynome μ_{A} und T − γ teilerfremd. Es gäbe dann Polynome a, b mit a · μ_{A} + b · (T − γ) = 1. Setze hier die Matrix A ein und wende beide Seiten, also a(A) · μ_{A}(A) + b(A) · (A − γI_{n}) und I_{n}, auf v an: links erhalten wir den Nullvektor, rechts den Vektor v. Dies ist unmöglich, denn Eigenvektoren sind von Null verschieden.)

(4.5) A-invariante Unterräume.

Sei A ∈ M(n × n, K). Ein Unterraum U ⊆ K^{n} heißt A-invariant, falls gilt: Ist u ∈ U, so ist Au ∈ U. Entsprechend wird definiert: Ist f: V → V ein Endomorphismus eines Vektorraums V , so heißt ein Unterraum U ⊆ V f -invariant, falls f(u) ∈ U für alle u ∈ U gilt.

Ist v ein Eigenvektor von f: V → V , so ist span(v) ein f -invarianter Unterraum von V , der eindimensional ist. Auch umgekehrt gilt: Ist U ein eindimensionaler f -invarianter Unterraum von V , so ist jeder von Null verschiedene Vektor v ∈ U ein Eigenvektor.

Wofür braucht man A-invariante Unterräume?

Offensichtlich gilt: Sei U ein A-invarianter Unterraum von K^{n} der Dimension m. Sei u_{1}, …, u_{m} eine Basis von U, setze sie durch u_{m+1}, … u_{n} zu einer Basis von K^{n} fort. Bezüglich dieser Basis (u_{1}, …, u_{n}) hat f_{A} eine Matrizen-Darstellung der Form

[ \begin{matrix}B & D \\ 0 & C \end{matrix} ] ,

dabei ist B eine (m × m)-Matrix.

Sind A-invariante Unterräume U, V mit U ∩ V = 0 und U + V = K^{n} gegeben, so nennt man das Paar (U, V) eine A-invariante Zerlegung des K^{n}. Wählt man eine Basis u_{1}, …, u_{m} von U und eine Basis u_{m+1}, …, u_{n} von V , so hat f_{A} bezüglich dieser Basis (u_{1}, …, u_{n}) eine Matrizen-Darstellung der Form

[ \begin{matrix}B & 0 \\ 0 & C \end{matrix} ] ,

dabei ist B wieder eine (m × m)-Matrix.

Seien U, W Unterräume eines Vektorraums V . Gilt U ∩W = 0 und U +W = V , so schreibt man U ⊕ W = V und sagt, daß V die direkte Summe der Unterräume U und W ist. Beachte: genau dann gilt V = U ⊕ W, wenn sich jedes Element v ∈ V eindeutig in der Form v = u + w mit u ∈ U, w ∈ W schreiben läßt.

Allgemeiner: Sind U_{1}, …, U_{s} Unterräume eines Vektorraums V und läßt sich jedes Element v ∈ V eindeutig in der Form v = ∑_{i=1}^{s} u_{i} mit u_{i} ∈ U_{i} schreiben, so nennt man V die direkte Summe der Unterräume U_{i} und schreibt V = ⨁_{i=1}^{s} U_{i} = U_{1} ⊕ U_{2} ⊕ ⋯ ⊕ U_{s}. Genau dann gilt V = ⨁_{i=1}^{s} U_{i}, wenn einerseits V = ∑_{i=1}^{s} U_{i} gilt und andererseits U_{j} ∩ ∑_{i≠j} U_{i} = 0 für alle 1 ≤ j ≤ s gilt.

Ist f: V → V ein Endomorphismus und läßt sich V als direkte Summe V = ⨁_{i=1}^{s} U_{i} schreiben mit f -invarianten Unterräumen U_{i}, und wählen wir Basen der Unterräume U_{γ_{i}}, so erhalten wir als Vereinigung eine Basis von K^{n} und bezüglich dieser Basis hat f eine Matrizendarstellung der Form

A = [ \begin{matrix}A_{1} & 0 & ⋯ & 0 \\ 0 & A_{2} & ... & ⋮ \\ ⋮ & ... & ... & 0 \\ 0 & ⋯ & 0 & A_{s} \end{matrix} ] ,

dabei ist A_{i} eine Matrizendarstellung der Einschränkung der Abbildung f auf U_{i}. Zur Abkürzung schreibt man A = ⨁_{i=1}^{s} A_{i} oder auch nur A = ⨁_{i} A_{i}.

Wie findet man A-invariante Unterräume?

Lemma. Sind A, B ∈ M(n × n, K) mit AB = BA, so ist Ker f_{B} = {v ∈ K^{n} | Bv = 0} ein A-invarianter Unterraum.

Beweis: Sei Bu = 0. Dann ist auch B(Au) = 0, denn BAu = ABu = A0 = 0.

Wie findet man zu einer Matrix A Matrizen B mit AB = BA? Am einfachsten: man nimmt für B eine Matrix der Form B = p(A) mit p ∈ K[T].

Sei A ∈ M(n × n, K) mit charakteristischem Polynom χ_{A}. Schreibe

χ_{A} = g_{1} ⋯ g_{s}

mit paarweise teilerfremden Polynomen g_{1}, …, g_{s}. Für jedes Polynom g_{i} setze

U(g_{i}) = {v ∈ K^{n} | g_{i}(A)v = 0}.

Lemma. Alle Unterräume U(g_{i}) sind A-invariant und es ist K^{n} = ⨁_{i=1}^{s} U(g_{i}).

Beweis: Für jedes i schreiben wir

χ_{A} = g_{i}h_{i}, dabei ist h_{i} = g_{1} ⋯ g_{i−1}g_{i+1} ⋯ g_{s}.

Beachte: Die Polynome h_{1}, …, h_{s} sind teilerfremd, also gibt es Polynome a_{i} mit ∑_{i=1}^{s} a_{i}h_{i} = 1. Da g_{i} und h_{i} teilerfremd sind, gibt es Polynome b_{i}, c_{i} mit b_{i}g_{i} + c_{i}h_{i} = 1.

(1) Wegen A · g_{i}(A) = g_{i}(A) · A wissen wir, daß U(g_{i}) ein A-invarianter Unterraum ist.

(2) Es ist V = ∑ U(g_{i}). Denn sei v ∈ K^{n}. Setze v_{i} = a_{i}(A)h_{i}(A)v. Dieser Vektor v_{i} gehört zu U(g_{i}), denn

g_{i}(A)v_{i} = g_{i}(A)a_{i}(A)h_{i}(A)v = a_{i}(A)χ_{A}(A)v = 0.

Wegen ∑_{i=1}^{s} a_{i}h_{i} = 1 ist ∑ v_{i} = v.

(3) Für jedes i gilt U(g_{i}) ∩ ∑_{j≠i} U(g_{j}) = 0. Zum Beweis bemerken wir, daß h_{i}(A)U(g_{j}) = 0 für jedes i ≠ j gilt, da g_{j} ein Teiler von h_{i} ist. Daraus folgt h_{i} ∑_{j≠i} U(g_{j}) = 0. Ist nun u im Durchschnitt U(g_{i})∩∑_{j≠i} U(g_{j}) = 0, so ist sowohl g_{i}(A)u = 0 als auch h_{i}(A)u = 0. Also ist u = (b_{i}(A)g_{i}(A) + c_{i}(A)h_{i}(A))u = 0.

(4.4) Die Jordan’sche Normalform.

Sei K ein Körper. Sei A ∈ M(n × n, K) eine Matrix, deren charakteristisches Polynom in Linearfaktoren zerfällt. Sei also

χ_{A} = (T − γ_{1})^{e_{1}} ⋯ (T − γ_{s})^{e_{s}}

mit paarweise verschiedenen γ_{i} ∈ K und mit natürlichen Zahlen e_{i} ∈ ℕ_{1}.

Wir wenden die Überlegungen des letzten Abschnitts mit g_{i} = (T − γ_{i})^{e_{i}} an. Wir betrachten also für jedes i den Unterraum

U_{γ_{i}} = {v ∈ K^{n} | (A − γ_{i}I_{n})^{e_{i}}v = 0},

man nennt ihn den Hauptraum zum Eigenwert γ_{i}.

Alle Unterräume U_{γ_{i}} sind A-invariant und es ist

K^{n} = ⨁_{i=1}^{s} U_{γ_{i}}.

Wählen wir Basen der Unterräume U_{γ_{i}}, so erhalten wir eine Basis von K^{n} und bezüglich dieser Basis hat A eine Matrizendarstellung der Form

[ \begin{matrix}A_{1} & 0 & ⋯ & 0 \\ 0 & A_{2} & ... & ⋮ \\ ⋮ & ... & ... & 0 \\ 0 & ⋯ & 0 & A_{s} \end{matrix} ] ,

dabei ist A_{i} eine Matrizendarstellung der Einschränkung der Abbildung u ↦ Au auf U_{γ_{i}}.

Nach Definition von U_{γ_{i}} ist die Einschränkung der Abbildung u ↦ Au auf U_{γ_{i}} eine Abbildung g_{i} mit (g_{i}−γ_{i}·1)^{e_{i}} = 0. Es bleibt also die Aufgabe, Endomorphismen f eines endlich-dimensionalen Vektorraums zu beschreiben, für die (f − γ · 1)^{e} = 0 für ein γ ∈ K und e ∈ ℕ_{1} gilt.

Satz. Sei V ein n-dimensionaler Vektorraum, sei γ ∈ K. Sei f: V → V ein Endomorphismus mit (f − γ · 1)^{e} = 0. Dann gibt es eine Partition λ von n, so daß f bezüglich einer geeigneten Basis von V die Matrix-Darstellung γI_{n} + J(λ) hat.

Die Matrizen, die wir hier betrachten, haben also die Form γI_{n} + J(λ); hier als typisches Beispiel wieder der Fall λ = (5, 4, 2, 2, 1, 1) :

γI_{15} + J((5, 4, 2, 2, 1, 1)) = _{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  _{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{γ} ^{γ} ^{γ} ^{γ} ^{γ} ^{γ} ^{γ} ^{γ} ^{γ} ^{γ} ^{γ} ^{γ} ^{γ} ^{γ} ^{γ}^{1} ^{1} ^{1} ^{1} ^{1} ^{1} ^{1} ^{1} ^{1}

Satz. Sei K ein Körper. Sei A ∈ M(n × n, K) eine Matrix, deren charakteristisches Polynom in Linearfaktoren zerfällt. Dann gibt es paarweise verschiedene Elemente γ_{1}, …, γ_{s} ∈ K und zu jedem γ_{i} eine Partition λ^{(i)} , so daß A ähnlich zur Matrix ⨁_{i}(γ_{i}I_{n_{i}} + J(λ^{(i)})) ist.

Ist A ähnlich zur Matrix ⨁_{i=1}^{s}(γ_{i}I_{n_{i}} + J(λ^{(i)})), wobei γ_{1}, …, γ_{s} paarweise verschiedene Elemente aus K sind, jedes λ^{(i)} eine Partition von n_{i} ist, für 1 ≤ i ≤ s (mit ∑_{i} n_{i} = n), so sind die γ_{i} die Eigenwerte von A, die Vielfachheit von T − γ_{i} in χ_{A} ist n_{i}, die Vielfachheit von T − γ_{i} in μ_{A} ist λ_{1}^{(i)}.

Man nennt eine Matrix der Form ⨁_{i}(γ_{i}I_{n_{i}} +J(λ^{(i)})) eine Jordan’sche Normalform.

Eindeutigkeit. Vertauscht man die einzelnen Blöcke γ_{i}I_{n_{i}} + J(λ^{(i)}) untereinander, so erhält man eine zur gegebenen Matrix ähnliche Matrix. Bis auf derartige Vertauschungen ist die Jordan’sche Normalform eindeutig: Sind zwei Matrizen ⨁_{i}(γ_{i}I_{n_{i}} + J(λ^{(i)})) und ⨁_{i}(δ_{i}I_{n_{i}} + J(ν^{(i)})) ähnlich, so gibt es eine Permutation σ mit γ_{i} = δ_{σ(i)} und λ^{(i)} = ν^{(σ(i))}. Dies folgt zum Beispiel daraus, daß man zu jedem Eigenwert γ_{i} die zugehörige Partition λ^{(i)} wie folgt berechnen kann:

Verfahren zur Bestimmung der Jordan’schen Normalform. Sei γ = γ_{i} ein Eigenwert von A. Wie sieht die zugehörige Partition λ = λ^{(i)} aus? Betrachte die Matrizen der Form

γI_{n} − A, (γI_{n} − A)^{2}, (γI_{n} − A)^{3}, …

Leitfaden 12

Sei r_{i} der Rang der Matrix (γI_{n} − A)^{i} für i ≥ 1 und r_{0} = n (dies ist natürlich gerade der Rang der Matrix (γI_{n} − A)^{0} = I_{n}). Es ist (r_{0} − r_{1}, r_{1} − r_{2}, …) die zu λ duale Partition.

Hier alle Jordan’schen Normalformen von Matrizen mit charakteristischem Polynom (T − 2)^{4}(T − 3)^{2} :

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Folgerung. Sei K ein Körper. Sei A ∈ M(n × n, K) eine Matrix, deren charakteristisches Polynom in Linearfaktoren zerfällt. Dann läßt sich A als Summe einer diagonalisierbaren Matrix A′ und einer nilpotenten Matrix A′′, mit A′A′′ = A′′A′ schreiben.

Beweis: Wir wissen, daß A zu einer Matrix der Form B = ⨁_{i}(γ_{i}I_{n_{i}} + J(λ^{(i)})) ähnlich ist, es gibt also eine invertierbare Matrix S mit A = S^{−1}BS. Wir können B = B′ + B′′ schreiben mit B′ = ⨁_{i} γ_{i}I_{n_{i}} und B′′ = ⨁_{i} J(λ^{(i)}). Die Matrix B′ ist eine Diagonalmatrix, B′′ ist nilpotent, und man sieht leicht, daß B′B′′ = B′′B′ gilt. Setze A′ = S^{−1}A′S und A′′ = S^{−1}B′′S. Dann ist A′ diagonalisierbar, A′′ nilpotent, und es ist

A′A′′ = S^{−1}B′SS^{−1}B′′S = S^{−1}B′B′′S = S^{−1}B′′B′S = A′′A′.

Warnung: Ob ein Polynom in Linearfaktoren zerfällt oder nicht, ist davon abhängig, welchen Körper man als Grundkörper betrachtet. Ist f ein Polynom, so gibt es einen endlichen Erweiterungskörper, über dem f in Linearfaktoren zerfällt. (Algebra I) Jeder Körper ist einbettbar in einen “algebraisch abgeschlossenen” Körper: in ihm zerfällt jedes Polynom in Linearfaktoren (Algebra I). Arbeiten wir mit dem Körper ℝ der reellen Zahlen, und ist f ∈ ℝ[T], so zerfällt f über dem Körper ℂ der komplexen Zahlen in Linearfaktoren (dies ist der schon öfters erwähnte “Fundamentalsatz der Algebra”).